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1、 分布分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性函数能够完整地描述随机变量的统计特性,但在一些实际问但在一些实际问 题中题中,分布函数不容易确定分布函数不容易确定,而且有时不而且有时不需要全面考查随机变量的变需要全面考查随机变量的变 化化,只需知道随机变量的某些数字特征就够只需知道随机变量的某些数字特征就够了了. . 评定评定某企业的经营能力时某企业的经营能力时,只要知道该企业只要知道该企业年平均赢利年平均赢利水平水平; 例如:例如: 研究研究水稻品种优劣时水稻品种优劣时,关心关心的是稻穗的的是稻穗的平均粒数平均粒数及及平均重量平均重量; 考察考察一射手的水平一射手的水平,既要看他的既要看他的平
2、均环数平均环数是否高是否高,还要还要看弹着点看弹着点 的范围是否小的范围是否小,即即数据的波动数据的波动是否是否小小. . 由上面的例子由上面的例子看到看到,平均盈利水平平均盈利水平、平均粒数平均粒数、平均环数平均环数、数据的数据的 波动大小等波动大小等,都是与都是与随机变量有关的随机变量有关的某个数值某个数值,能能清晰地描述随机变量清晰地描述随机变量 在某些方面的重要特征在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义意义. . 体现随机变量平均取值的数字特征体现随机变量平均取值的数字特征数学期望数学期望 体现随机变量取值波动性大小的数字特征
3、体现随机变量取值波动性大小的数字特征方差方差 引例引例1 1. .历史上有一职业赌徒德历史上有一职业赌徒德梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他 苦恼很久的分赌本问题:甲苦恼很久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技相同乙两赌徒赌技相同,各出赌注各出赌注3030金币金币, 每局中无平局每局中无平局. . 他们约定他们约定,谁先赢三局谁先赢三局,则得到全部则得到全部6060金币金币的赌本的赌本. . 当甲赢了当甲赢了2局局,乙赢了乙赢了1局时局时,因故要中止赌博因故要中止赌博. . 现问这现问这6060金币金币如何如何 分才算公平分才算公平? 解:解: 假如比赛继续进行下去
4、,直到结束为止假如比赛继续进行下去,直到结束为止. . 则需要则需要2局局. . 这时,可能的结果为:甲甲,甲乙,乙甲,乙乙这时,可能的结果为:甲甲,甲乙,乙甲,乙乙 甲胜甲胜2 2局乙胜局乙胜1 1局局前三局前三局: : 后二局后二局: :甲甲甲甲甲乙甲乙乙甲乙甲乙乙乙乙 甲胜甲胜乙胜乙胜 即:甲赢得赌局的概率为即:甲赢得赌局的概率为3/4,而乙赢的概率为,而乙赢的概率为1/4. . 设:设:X、Y分别分别表示甲和乙得到的赌金数表示甲和乙得到的赌金数. . 则分布律分别为:则分布律分别为: X0 60 P1/4 3/4 Y0 60 P3/4 1/4 设:设:X、Y分别分别表示甲和乙得到的赌金
5、数表示甲和乙得到的赌金数. . 则分布律分别为:则分布律分别为: X0 60 P1/4 3/4 Y0 60 P3/4 1/4 01/4+603/4=45 03/4+601/4=15 即甲、乙应该按照即甲、乙应该按照3:1的比例分配全部的赌本的比例分配全部的赌本. . 因此因此, ,甲能甲能“期望期望”得到的数目应”得到的数目应为:为: 乙能乙能“期望期望”得到的数目应”得到的数目应为为: 设:某设:某射击手在同样的条件下射击手在同样的条件下,对靶子对靶子相继射相继射 击击90次次,(每次射击命中每次射击命中的环数是的环数是一随机一随机 变量变量). . 射中射中次数记录如下次数记录如下 引例引
6、例2 2:射击射击问题问题 试问:该试问:该射手每次射击平均命中靶多少环射手每次射击平均命中靶多少环? ? 命中环数命中环数 Y0 1 2 3 4 5 命中次数命中次数 nk2 13 15 10 20 30 频率频率nk/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90 解:解:平均命中环数平均命中环数 这是以频率为这是以频率为 权的加权平均权的加权平均 命中环数命中环数 Y0 1 2 3 4 5 命中次数命中次数 nk2 13 15 10 20 30 频率频率nk/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90 0 21 132 153 104
7、205 30 90 21315102030 012345 909090909090 5 0 k k n k n 3.37. 射射中中靶靶的的总总环环数数 射射击击次次数数 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动 随机波动随机波动 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值 ? 由频率的稳定性知:由频率的稳定性知: 当当n很大时:很大时: 事件事件 Y=k 的频率的频率nk/n稳定稳定于于PY=k=pk 稳定于稳定于 5 0 k k n k n 5 0 k k k p 5 0 k k n k n 是以概率为权是以概率为权 的加权平均的加权平均 定义定义1:设设X是离散型随机变量是离散
8、型随机变量,其其分布律为:分布律为:PX=xk=pk, k=1, 2 , 如果级数如果级数绝对收敛绝对收敛,则,则称它为称它为X的的数学期望,简称期望,数学期望,简称期望, 又称又称均值,记为均值,记为E(X). . 即即 若若发散,则称发散,则称X的的数学期望不数学期望不存在存在. . 1 kk k x p 1 () kk k E Xx p kk k x p 1 | (Expected value, Mean, Expectation, Mathematical Expectation) 注注1:随机变量随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的的数学期望完全是由它的概率分布确定的,而不
9、应受而不应受X 的的可能取值的排列次序的影响可能取值的排列次序的影响,因此因此要求要求级数级数 1 kk k x p 11111 (1)1ln2 234212 1111111 (2)1ln2 2436852 nn 绝对收敛绝对收敛 注注2:E(X)是一个实数是一个实数,而非随机变量而非随机变量,它它是是X的取值的取值以以概率为权的概率为权的加权平加权平 均均,与一般的与一般的算术平均值算术平均值不同不同,它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X取可能取可能 值的值的真正的真正的平均值平均值. . 当随机变量当随机变量X是是等概率分布时等概率分布时,X的期望值与算术平均值的期望值与算术
10、平均值相等相等. . 随机变量随机变量X的的算术平均值为算术平均值为 1 2 假设假设 X P 1 2 0.020.98 12 1.5 2 ()1 0.022 0.981.98.E X O x 随机变量随机变量X的数学期望为的数学期望为 乙射手乙射手 甲射手甲射手 例例1. .甲甲、乙两个射击手,他们射击的分布律如下表所、乙两个射击手,他们射击的分布律如下表所示示 ,问,问:甲和乙谁的技术更好:甲和乙谁的技术更好? ? 击中环数击中环数8 9 10 概率概率0.3 0.1 0.6 击中环数击中环数8 9 10 概率概率0.2 0.5 0.3 故从平均值的角度看,甲射手的技术更故从平均值的角度看
11、,甲射手的技术更好好. . 解解:设甲:设甲,乙两个射击手击中的环数分别为,乙两个射击手击中的环数分别为X1,X2 E(X1)=80.3+90.1+100.6=9.3(环)(环) E(X2)=80.2+90.5+100.3=9.1(环)(环) 例例2 2. .按按规定规定,某公交车站每天某公交车站每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆车点都恰有一辆车到站到站,各各 车到站的时刻是随机的车到站的时刻是随机的,且各车到站的时间是相互独立的且各车到站的时间是相互独立的,其规律为其规律为 到站时刻到站时刻8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率0.2 0.4 0
12、.4 某乘客某乘客8:20到站,求他候车时间的数学到站,求他候车时间的数学期望期望. . 解:设解:设乘客的候车时间为乘客的候车时间为X. . P(X=10)=0.4 则则X可能的取值为可能的取值为 10, 30, 50, 70, 90 X=10意味着意味着8:009:00的车是的车是8:30到达的到达的. . 即即 同理同理 P(X=30)=0.4 例例2 2. . 到站时刻到站时刻8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率0.2 0.4 0.4 某乘客某乘客8:20到站,求他候车时间的数学到站,求他候车时间的数学期望期望. . 解解:X=50意味着意味着8:00-
13、9:00的车是的车是8:10到站到站,且且9:00-10:00的车是的车是9:10到到 站的站的. . 即即 P(X=50)=0.20.2=0.04 同理同理 P(X=70)=0.20.4=0.08 P(X=90)=0.20.4=0.08 X10 30 50 70 90 P0.4 0.4 0.04 0.08 0.08 从而该乘客候车时间的数学期望为从而该乘客候车时间的数学期望为 ()10 0.430 0.450 0.0470 0.0890 0.0830.8E X 于是于是候车时间候车时间X的分布列为的分布列为 例例3 3. .如何如何确定投资决策方向确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金万元现金,想投资于某项目想投资于某项目,预估成预估成 功的机会为功的机会为30%,可得利润可得利润8万元万元,失败的机会失败的机会 为为70%,将损失将损失2万万元元. . 若若存入银行存入银行,同期间的同期间的 利率为利率为5%,问问是否做此是否做此项投资项投资? ? 解:解:设设X为此项投资的利润为此项投资的利润,则则 存入银行的存入银行的利息:利息:故应该选择该项故应该选择该项投资投资. . X8 2 P0.3 0.7 此项投资的平均利润为:此项投资的平均利润为:E(X)=80.3+(2)0.7=1(万元万元) 100.05=0.5(万元万元)
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