微积分史之伯努利兄弟-终版.pdf
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1、微积分史 The History of Calculus 第三讲伯努利兄弟 伯努利兄弟 伯努利家族 内容提要 伯努利兄弟生平 伯努利兄弟重要贡献概览 伯努利兄弟与无穷级数 伯努利兄弟与微分方程 伯努利兄弟与变分法 雅各布与概率论 约翰的积分法 逸闻趣事 结语 家族简介 家族简介 伯努利家族 (Bernoulli family), 又译作贝努利家族, 是1718 世纪瑞士的一个出过多个数理科学家的著名家族, 原籍比利 时安特卫普. 1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福, 最后 定居瑞士巴塞尔. 其中以雅各布I 伯努利 (Jakob Bernoulli, 也叫詹姆斯 伯努利 (James Ber
2、noulli), 约翰I 伯努利 (Johann Bernoulli, 也叫让 伯努利 (Jean Bernoulli), 丹尼尔 I 伯努利 (Daniel Bernoulli) 这三个人的成就最大. 家族简介 伯努利家族最大的成就是推广和传播莱布尼茨 (Leibniz) 的微积 分. 其中伯努利兄弟 (雅各布I和约翰I) 都是莱布尼茨的学生, 最 早认识到微积分的巨大威力, 并成为莱布尼茨的忠实拥护者. 约 翰I堪称 “牛顿 (Newton) 和莱布尼茨关于微积分优先权之争” 的 斗牛犬, 他极力为莱布尼茨辩护, 并猛烈批评甚至嘲笑英国人. 雅各布I还在概率论研究上做出了巨大贡献, “伯努
3、利大数定律” 对现代统计学科产生深远影响. 丹尼尔I的研究领域极为广泛, 他最出色的工作是将微积分、微 分方程等数学方法应用到物理学, 研究流体问题、物体振动和 摆动问题等, 被推崇为数学物理方法的奠基人和流体力学之父. 伯努利家族还培养了一大批著名的学者, 如法国数学家洛必达 (LHospital), 瑞士数学家克莱姆 (Cramer) 以及18世纪最伟大的 瑞士数学家欧拉 (Euler) 等. 伯努利家族族谱伯努利家族族谱 尼古拉斯 I (Nicolaus, 16231708) 雅各布 I Jakob, 数学家 (16541705) 尼古拉斯 II Nicolaus (16621716)
4、约翰 I Johann, 数学家 (16671748) 丹尼尔 II Daniel (17511834) 雅各布 II Nicolaus, 数学家 (17591789) 约翰 III Johann, 数学家 (17441807) 丹尼尔 I Daniel 数学家、力学家 (17001782) 尼古拉斯 III Nicolaus 数学家 (16871759) 约翰 II Johann 数学家 (17101790) 尼古拉斯 IV Nicolaus 数学家 (16951726) 雅各布 . 伯努利 (Jakob Bernoulli) 16541705, 瑞士数学家 约翰 . 伯努利 (Johann
5、 Bernoulli) 16671748, 瑞士数学家 伯努利兄弟 伯努利兄弟生平 雅各布的成长经历 雅各布于1654年12月27日生于瑞士巴塞尔, 1705年8月16 日卒于同地. 他出身于一个商人世家, 青年时是一名牧师. 1671年, 雅各布毕业于巴塞尔大学, 获艺术硕士学位. (这里 的艺术指 “自由艺术”, 包括算术、几何学、天文学、数理 音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类). 后来雅各布遵照父 亲意愿, 于1676年取得神学硕士学位. 雅各布曾自学笛卡尔的几何学和沃利斯的无穷小算 术等经典著作, 之后对数学产生了浓厚的兴趣. 他对莱布 尼茨的微积分有巨大的兴趣, 就违背了父亲要他献
6、身神学的 意愿, 转而投身数学. 他对数学几乎是无师自通的. 他的座 右铭是: 我违背父亲的意愿, 但我功成名就. 雅各布的工作经历 1676年, 雅各布到日内瓦做家庭教师, 从1677年起, 他开始 在那里写内容丰富的沉思录. 雅各布于1678年和1681年两次遍游欧洲学习旅行, 结识了 莱布尼茨、惠更斯等著名科学家, 他从此与莱布尼茨一直保 持通讯联系, 互相探讨微积分的有关问题. 1682年, 雅各布回到巴塞尔, 讲授力学. 1687年, 雅各布开始担任巴塞尔大学数学教授, 讲授实验 物理和数学, 直至逝世. 1699年, 雅各布当选为巴黎科学院外籍院士; 1701年, 被 柏林科学协会
7、 (后为柏林科学院) 接纳为会员. 伯努利兄弟生平 约翰的成长经历 约翰于1667年8月6日生于瑞士巴塞尔, 1748年1月1日卒于 同地. 约翰青年时被父亲送去学经商, 后改学医学 约翰于1683年进入巴塞尔大学学习, 1685年获得艺术硕士 学位; 接着他攻1690年获医学硕士学位, 1694年获得医学博 士学位, 其博士论文是关于肌肉的收缩问题. 约翰发现他骨子里的兴趣是数学, 在其哥哥雅各布的熏陶和 指导下在数学上崭露头角. 1691年, 约翰去巴黎留学, 在巴黎 期间他会见了洛必达, 并于16911692年间为其讲授微积 分 伯努利兄弟生平 1693年, 约翰开始与莱布尼茨等通信联系
8、, 信中就一些数学 问题交换意见. 他与莱布尼茨一人就交换了275封极为有趣 的长信, 又与其他一百多位学者写了2500封书信, 这些极大 丰富了微积分学. 1695年, 28岁的约翰取得了他的第一个学术职位-荷兰格 罗宁根大学数学教授; 1699年, 当选为巴黎科学院外籍院士; 1701年, 被柏林科学协会 (后为柏林科学院) 接纳为会员; 1705年, 约翰接替雅各布接任巴塞尔大学数学教授, 讲授 实验物理和数学; 1712、1724和1725年, 约翰分别当选为 英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外 籍院士. 约翰的工作经历 伯努利兄弟生平 伯努利兄弟作为伯努利家族中重要的
9、两个成员, 在数学方面 取得了许多重大成果. 伯努利兄弟重要贡献概览 雅各布不仅在微积分的发展中作出了很多贡献, 而且还 指明了应当怎样把这一技术运用到应用数学的广阔领 域中去, 他提出的伯努利大数定律也使他名垂青史. 雅各布还首先命名了积分符号(1690年) , 莱布尼茨听了他 的建议把积分微分并列, 为宣传普及微积分做出巨大贡献. 1694年, 雅各布首次给出极坐标下的曲率半径 公式, 这也是系统地使用极坐标的开始. 这一年, 雅各布还还研究了伯努利双纽线. 雅各布还对对数螺线情有独钟, 要求后人在其 墓碑上刻对数螺线. 约翰首先使用“变量”这个词, 并且使函数概念公式化. 1698年,
10、约翰从解析的角度提出了函数的概念:由变量x 和常数所构成的式子叫做 x 的函数, 记作X 或. 1718年, 他又改用 (x) 表示 x 的函数. 约翰引入了超越函数, 包括三角函数、对数函数、指数函 数、变量的无理数次幂函数及某些用积分表达的函数, 指 出对数函数是指数函数的反函数 1715年, 约翰提出了三维空间直角坐标系,并指出可以 用以三个坐标变量为元的三元方程表示空间曲面. 约翰在微积分方面取得的成果最多. 他的大量论文涉及到 曲线的求长、曲面的求积、等周问题和微分方程. 指数 运算也是他发明的. 伯努利兄弟重要贡献概览 雅各布和约翰都研究过无穷级数. 像在他们之前的牛顿 和莱布尼茨
11、以及许多后来的数学家一样, 他们也认为无 穷级数是进入分析学的必由之路. 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布于1689年所写的专题论文论无穷级数及其有 限和是对无穷级数的最高水平的讨论, 被认为是级数 理论方面的第一部教科书. 在这篇论文中, 雅各布给出了调和级数的发散性, 他的证 明是与他的前辈们的证明迥然不同的另一种方法. 他还考 察了一类相似的级数, 例如等比级数、二项式级数、反正 切级数和对数级数, 以及某些以前从未讨论过的级数. 这篇论文也刊载了弟弟约翰对于调和级数的发散性的证 明, 这个证明比雅各布的证明更简洁一些. 雅各布证明调和级数的发散性的目标是要证明: 无穷调 和级数的和超过任意
12、给定的数. 因此, 它的和为无穷大. 定理调和级数发散: 1111 1 234n 雅各布的证明思路: 选择任意正整数N, 雅各布首先试图从调和级数中去除从第 一项开始的相继若干项, 这些项的和大于或等于1. 再从剩下的项中去除等于或大于1的相继若干项, 按这种方式进行下去, 直到N 次把这样的有限项去除, 使整 个调和级数之后减少的值至少为N, 由于N 是任意的正整数, 所以调和级数之和为无穷大. 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布很清楚它的重要意义. 他强调:“一个通项趋近0的 无穷级数的和也许是有限的, 也许是无限的.” 约翰证明调和级数的发散性则以下面的莱布尼茨的收敛级 数为基础: 11111
13、 1 26122030 约翰去掉调和级数的第一项, 引入 1111112345 2345626122030 A 约翰设定前述的莱布尼茨收敛级数为C, 然后依次减去1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30 等, 伯努利兄弟与无穷级数 . 11111 1 26122030 C 1111111 1 6122030222 DC 1111111 1220306263 ED 111111 2030123124 FE 11111 30204205 GF 将这一方程阵列的最左边一列和最右边一列相加, 约翰发现 A = 1 + A, 即 “整体等于部分”, 伯努利兄弟与无穷级数 约翰的证明其实有不严
14、谨的地方, 就是约翰将作为 “ 整体 ” 的 无穷级数视为独立个体随意处置 (忽略了它的敛散性). 今天的数学家会采用如下更为严谨的证明方法 (比较接近雅各 布的证明思想):首先任意选定正整数N (不论其数值多大), 并 证明该级数必定大于N. 由N的任意性, 得出这个级数一定趋向 无穷大. 但没有任何有限数会等于比自己大的数, 因此约翰认为这只能 说明1 + A 是无穷大, 而1 + A 正是调和级数的和. 必须承认, 在约翰作出这一论证之后150年, 真正严谨的级数 理论才出现. 因此, 我们或许可以不致过分批评约翰的证明. 而且约翰的证明包含了一种独特的思维. 调和级数之所以被关注, 是
15、因为它的不良特性 - 发散性. 调 和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣和对无穷级 数敛散性的关注. 受到同样关注的是具有有限和这种良好特性的无穷级数 (即现代意义下的收敛级数). 雅各布从等比数列开始并巧 妙地对其变形, 计算了一些非同一般的级数的精确值. 这 就是下一部分我们要讲述的雅各布和他的垛积级数. “垛积数”是同某些几何形体 (如三角形、棱锥体和立方体) 相关的整数家族. 伯努利兄弟与无穷级数 棱锥体数 1, 4, 10, 20, , 是以三角形为底的棱锥垛中 弹丸的数量. 第 k 个棱锥体数是 正方形数1, 4, 9, 16, 25, 例如: 三角形数 1, 3, 6, 10
16、, 15, , 第 k 个为 1(1) 12. 22 kk k k 2(1)(2) . 63 kk kk 立方体数1, 8, 27, 64, 都是垛积数. 其中a, b, c, d, 是一组垛积数, A, B, C, D, 是等比数列. 雅各布希望求出无穷级数的精确和, abcd ABCD 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布采用由简单到复杂的解决方式, 通过证明下面的一 系列定理, 并代入特殊值求解出了很多的垛积级数的值. 定理N (分子为自然数) 如果 d 1, 那么 2 232 1234 . (1) d bbdbdbdb d 定理T (分子为三角形数) 如果 d 1, 那么 3 2343 136
17、1015 . (1) d bbdbdbdbdb d 定理P (分子为棱锥体数) 如果 d 1, 那么 4 2344 14102035 . (1) d bbdbdbdbdb d 伯努利兄弟与无穷级数 定理C (分子为立方体数) 如果 d 1, 那么 22 2344 182764125(41) . (1) ddd bbdbdbdbdb d 在定理N和定理T中分别令 b = 1, d = 7 和 b = 2, d = 4 得到 23449 1, 74934336 在定理P和定理T中分别令 b = 5, d = 5和 b = 2, d = 2 得到 136101532 , 283212851227 1
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- 关 键 词:
- 概率论与数理统计
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