数学分析 (1).pdf

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1、场论初步场论初步 一、梯度一、梯度 三三、旋度、旋度 二、散度二、散度 四、微分算子四、微分算子 一、梯度一、梯度 方向导数公式方向导数公式 coscoscos z f y f x f l f 令向量令向量 这说明这说明 方向：方向：f f 变化率最大的方向变化率最大的方向 模模 : : f f 的最大变化率之值的最大变化率之值 方向导数取最大值：方向导数取最大值： )cos,cos,(cos 0 l ),cos( 0 lGG)1( 0 l 0 lG l f , 0 方向一致时与当Gl :G G l f max , fff G xyz 1. 1. 定义定义 即即 同样可定义二元函数同样可定义二

2、元函数),(yxf),(yxP 称为函数称为函数 f f ( (P P) ) 在点在点 P P 处的梯度处的梯度 记作记作 (gradient),(gradient), 在点在点处的梯度处的梯度 G 说明说明: : 函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向上的投影. . 向量向量 2. 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义 grad,f z f y f x f , fff ijk xyz grad f grad, ffff fij xyxy 函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面( (或等值线或等值线) ,) , 面上的投面上的投在在曲线曲线xo

3、y Cz yxfz ),( CyxfL),(: * 影影称为函数称为函数 f f 的的等值线等值线 . . ,不同时为零不同时为零设设 yx ff则则L L* *上点上点P P 处的法向量为处的法向量为 Pyx ff),( P fgrad o y x 1 cf 2 cf 3 cf )( 321 ccc设 P 同样同样, , 对应函数对应函数 , ),(zyxfu 有等值面有等值面( (等量面等量面) ) ,),(Czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, , 其上其上 点点P P处的法向量为处的法向量为 .grad P f , ),(yxfz 对函数对函数 指向函数增大的方向指

4、向函数增大的方向. . 3. 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式 0grad(1) C uCuCgrad)(grad(2) vuvugradgrad)(grad(3) uvvuvugradgrad)(grad(4) uufufgrad)()(grad(5) 例例1 1 证证 )(r f y rf)( )( 1 )(kzjyix r rf r r rf 1 ) ( r z rf z rf )( )( 0 )(rrf j y rf )( k z rf )( 222 zyx x ,)( r y r f i x rf )( 试证试证 r x rf) ( 处矢径处矢径 r r 的模的模 , P

5、x o z y r ( )f r x 222 ( , , )rxyzP x y z其其中中为为点点( ),f r设设可可导导 0 grad( )( ).f rfr r ( ) r fr x grad ( )f r所所以以 RdxdyQdzdxPdydz dSnASdA 0 二二. . 散度散度: : 极限极限 V SdA MV lim存在存在, , 散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdv z R y Q x P n )( dSv V dv z R y Q x P V n 1 )( 1 dSv Vz R y Q x P n 1 )( ),( dSv Vz R y Q x P

6、 n M 1 lim 积分中值定理积分中值定理, , 两边取极限两边取极限, , z R y Q x P Adiv 高斯公式可写成高斯公式可写成 dSAdvAdiv n )coscoscos( 0 RQPnAAn 的的边边界界曲曲面面，是是空空间间闭闭区区域域其其中中 .的的外外侧侧法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量量 AA n 三、旋度三、旋度 . ),(),(),(),( 按按所所取取方方向向的的环环流流量量沿沿曲曲线线称称为为向向量量场场 上上的的曲曲线线积积分分中中某某一一封封闭闭的的有有向向曲曲线线则则沿沿场场 设设向向量量场场 CA RdzQdyPdxsdA CA

7、kzyxRjzyxQizyxPzyxA CC sd RQP zyx kji sdA C 环环流流量量 利用利用StokesStokes公式公式, , 有有 . )(Arot RQP zyx kji 为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 .)()()(k y P x Q j x R z P i z Q y R RQP zyx kji Arot 旋旋度度 斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式 其中其中 ,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为 kjit coscoscos的的单单位位切切向向量量为为 dS y P x Q x R z P z Q y R cos)(

8、cos)(cos)( dsRQP)coscoscos( 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dsAdSArot tn )( 或或 其中其中 cos)(cos)(cos)( )( y P x Q x R z P z Q y R nArotArot n coscoscosRQPnAA t StokesStokes公式的物理解释公式的物理解释: : 向量场向量场A 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场 A 的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量.(.( 的的 正向与正向与 的侧符合右手法则的侧符合右手法则) ) 四、向量

9、微分算子四、向量微分算子 定义向量微分算子定义向量微分算子: : kji zyx 它又称为它又称为( ( NablaNabla ) )算子算子, , 或哈密顿或哈密顿( Hamilton ) ( Hamilton ) 算子算子. . ),()1(zyxuu 设 则则 kjiu z u y u x u ugrad uu 2 ugrad 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u A ,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxPA则则 z R y Q x P Adiv A RQP kji zyx SAvA n dd Arot 高斯公式与斯托克斯公式可写成高斯公式与斯托克斯公式可

10、写成: : sASA n dd)( ,2 .,.uxyzx y z 例例设设 12 3 (1),0, 0, 0,1,1,1 2,1,1234 uxy zPP Pbijk 求求在在 点点 及及处处 ， 沿沿的的 方方 向向 导导 数数 。 2uM（） 在在 上上 述述 三三 点点 处处 ，的的 最最 大大 方方 向向 导导 数数 为为 何何 值值 ？ 3() (). div grad u M rot grad u M （） 在在 上上 述述 三三 点点 处处 ， 求求 及及 解：解： 234 co s,co s,co s. 2 92 92 9 b ( ( 1 1 ) ) 向向 量量的的 方方 向向 余余 弦弦 为为 , c o sc o sc o s Uxyzb uuuu bxyz 在在 点点沿沿的的 方方 向向 导导 数数 为为 234 2 92 92 9 yzx zx y 123 1 0 ,0 . 2 9 PPP uuu bbb 故故 2 2 1 . 2 9 P uM u b 在在 上上 述述 三三 点点 处处 ，的的 最最 大大 方方 向向 导导 数数 为为 ( 3 ),g ra d uyz ix z jx y k 0, yzxzxy divgrad uM xyz ()0. ijk rotgrad u M xyz yzxzxy