21.2.1 第二型曲线积分.pdf

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1、第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题.例如例如 一质点受力一质点受力 的作用的作用 ( , )F x y 沿平面曲线沿平面曲线 从点从点A 移动到移动到L 点点 B, 求力求力 所做的功所做的功. ( , )F x yO y x A M0() ( , )x y M1 M2 n M 1 n B M() F L P Q AB1n 121 , n MMM 为此在曲线为此在曲线 内插入内插入 个分点个分点 0,n AMBM它它们们与与 AB 一起把有向曲线一起把有向曲线 分成分成 n 个个有向小曲线段有向小曲线段 1

2、(1,2, ). ii MM in 若记小曲线若记小曲线 1 ( )max. i i n Ts ( , )F x yxy轴轴和和设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为 ( ,)( ,),P x yQ x y与与那么那么 ( , )( ( ,),( ,).F x yP x yQ x y 1ii MM , i sT的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的细度为段段 1ii MM xy轴轴和和又设小曲线段又设小曲线段 在在 轴上的投影分别为轴上的投影分别为 11 (,) ii xy 1ii MM与与 分别为点分别为点 的坐标的坐标. 记记 1 (,), ii MMii Lxy ( ,

3、)F x y 1ii MM于是力于是力 在小曲线段在小曲线段 上所作的功上所作的功 1 (,)(,)(,), ii iiiMMiiiiii WFLPxQy (,) ii 1ii MM其中其中 为小曲线段为小曲线段 上任一点上任一点. AB 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于 11,iiiiii xxxyyy与与 其中其中 (,) ii xy与与 ( , )F x y因而力因而力 111 (,)(,). nnn iiiiiii iii WWPxQy 当细度当细度 ( )0T 时时, 上式右边和式的极限就应该是所求的功上式右边和式的极限就应该是所求的功. 这种类型的和式极限就是下面

4、所要讨论的第二型曲线积分这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 定义定义21.2.1 设函数设函数 ( ,)( ,)P x yQ x y与与定义在平面有向可求长度定义在平面有向可求长度 :L ABL,TL 求长度曲线求长度曲线 上上. 对对 的任一分割的任一分割 它把它把 分成分成n个小曲个小曲 线段线段 1 (1,2, ), ii MM in 0 ,. n MA MB 1ii MM其中其中 记个小曲线段记个小曲线段 的弧长的弧长 , i sT 1 ( )max. i i n Ts T为为 分割分割 的细度的细度 又设又设 的分点的分点 1,iii xxx 1,( 1,2, ).

5、 iii yyyin 1ii MM(,), ii 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限 ()0()0 11 lim(,)lim(,) nn iiiiii TT ii PxQy 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点 ( ,) ii 的取法无关的取法无关, 则称此极则称此极 限限为函数为函数 ( ,),( ,)P x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 L 上的上的第二型第二型 i M 的坐标为的坐标为 并记并记(,), ii xy 曲线积分曲线积分, 记为记为 ( ,)d( ,)d L P x yxQ x yy ( ,)d( ,)d(1) AB P x yxQ x

6、 yy 或或 ( ,)d( ,)d LL P x yxQ x yy ( ,)d( ,)d ABAB P x yxQ x yy 上述积分上述积分(1)也可写作也可写作 或或 为书写简洁起见为书写简洁起见, (1)式常简写成式常简写成 dd L P xQ ydd . AB P xQ y 或或 式可写成向量形式式可写成向量形式 dd .(2) L P xQ y 若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线, 则记为则记为 若记若记( ,)( ( ,),( ,),d(d ,d ),F x yP x y Q x ysxy 则则(1) d L Fs d .(3) AB Fs 或或 于是于是, 力力( ,)( (

7、 ,),( ,)F x yP x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 :L AB对质点所作的功为对质点所作的功为 ( ,)d( ,)d . L WP x yxQ x yy ( , , ),P x y z( , ),Q x y z若若L为空间有向可求长曲线为空间有向可求长曲线, ( , )R x y z为定义在为定义在L上的函数上的函数, 则可按上述办法类似的定则可按上述办法类似的定 义沿空间有向曲线义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分, 并记为并记为 ( , )d( , )d( , )d ,(4) L P x y zxQ x y zyR x y zz 或简写成或简写成 dd

8、d . L P xQ yR z ( ,)( ( ,),( ,),( ,)F x yP x y Q x y R x y 与与d(d ,d ,d )sxyz 当把当把 看作三维向量时看作三维向量时, (4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式. 第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关的方向有关. 对同一曲线，当方向对同一曲线，当方向 由由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时时, 每一小曲线段的方向改变，从而所每一小曲线段的方向改变，从而所 得的得的 , ii xy 也随之改变符号也随之改变符号, 故故 dddd .(5) ABBA P xQ yP xQ

9、 y 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 ( ,)f x y与弧长与弧长 的乘积的乘积, 它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关. 这是两种类型曲线积分的一这是两种类型曲线积分的一 个重要区别个重要区别. 类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下一些主要性质：第二型曲线积分也有如下一些主要性质： dd(1,2, ) ii L P xQ yik 若若存存在在，则则 1 11 ()d()d kk iiii L ii c Pxc Qy 也存在也存在, 且且 111 ()d()d(dd ); kkk iiiiiii LL iii c Px

10、c QycP xQ y L 12 , k L LL2. 若有向曲线若有向曲线 由有向曲线由有向曲线 首尾衔接而成，首尾衔接而成， dd ,(1, ) i L P xQ y ik 都存在都存在, 则则 1 dddd . i k LL i P xQ yP xQ y dd L P xQ y 也存在也存在, 且且 第二型曲线积分的计算 第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算. 设光滑可求长曲线设光滑可求长曲线 且点且点 ( ), : , ( ), xt Lt yt AB与与 ( ( ),( )( (),(). 与与 的坐标分别为的坐标分别为 又设又设 ( ,)Q x yL

11、为为上的连续函数上的连续函数, 则沿则沿 L AB从从到到的第二型曲线积的第二型曲线积 分分 ( ,)d( ,)d L P x yxQ x yy ( ( ),( )( )( ( ),( )( )d .(6)PtttQtttt ( ,)P x y 与与 ( ,)d( ( ),( )( )d , L P x yxPtttt ( ,)d( ( ),( )( )d , L Q x yxQtttt 可仿照可仿照1中定理中定理21.1.1的方法分别证明的方法分别证明 由此便可得公式由此便可得公式(6). 类似的我们有类似的我们有 3 RC设设三三维维欧欧氏氏空空间间中中可可求求长长光光滑滑有有向向曲曲线线

12、的的参参数数方方程程为为： ( ),( ),( ),.xx tyy tzz tt ( ( ), ( ), ( )( ( ), ( ), ( ). ( , , ),AxyzBxyzP x y z，若若函函数数 ( , , ),( , , )( , , ),( , , ),( , , )Q x y zR x y zP x y z Q x y zR x y z在在上上连连续续，则则函函数数 C在在有有向向曲曲线线 上上的的第第二二型型曲曲线线积积分分存存在在，且且 ( , , )( , , )( , , ) ( , , )( , , )d( , , ), C CCC P x y z dxQ x y

13、z dyR x y z dz P x y z dxQ x y zyR x y z dz (,) (,) (,) ( , , )( ), ( ), ( )( ) ( , , )( ), ( ), ( )( ) ( , , )( ), ( ), ( )( ). C A B C A B C A B P x y z dxP x ty tz tx t dt Q x y z dyQ x ty tz ty t dt R x y z dzR x ty tz tz t dt 其其中中 ， ， 第二型曲线积分化成定积分的口诀：第二型曲线积分化成定积分的口诀： ( ),( )( , ),( , )xx tyy tP

14、 x y dx Q x y dy一一代代，即即将将代代入入中中， 二定限，起点参数放下限，终点参数放上限二定限，起点参数放下限，终点参数放上限. ( )( )yy xaCxby x ，若若光光滑滑有有向向曲曲线线 的的方方程程是是其其中中 ,( , ( )( , ( ). ( , )( , )a bAa y aBb y bP x yQ x y在在上上连连续续，若若，在在 C上连续，则有上连续，则有 ( , )+ ( , ), ( ) +, ( )( ) b Ca P x y dx Q x y dyP x y xQ x y xy xdx 实际上，只要把实际上，只要把C的方程化成参数方程的方程化成

15、参数方程: 由公式由公式(6)，即得，即得. ,( ).xx yy xaxb， 例1 ()cos ,sin 0 C y dxxdyCxat yatt 求求，其其中中 是是上上半半圆圆：， 取顺时针方向取顺时针方向. 解(,0)( ,0)0atat 起起点点对对应应参参数数终终点点对对应应参参数数，所所以以 0 ()(sin )(sin )coscos C y dxxdyatatatatdt 2 .a 例2 1 23 2 2(1)(2) C xydxx dyCyxyx 计计算算，其其中中 分分别别是是：都都是是 (0,0)(1,1).从从原原点点到到点点 解 1 2 (1, 0)1yxx沿沿曲曲

16、线线，有有 113 11 22 222 00 15 221. 22 C xydxx dyxxxxdxx dx 3 (2),01yxx沿沿曲曲线线，有有 11 23224 00 22351. C xydxx dyx xxxdxx dx 例3有质量为有质量为m 的质点，在重力作用下，沿铅垂面上的光滑曲的质点，在重力作用下，沿铅垂面上的光滑曲 线线C 由点由点A 到点到点 B， 求重力求重力F 所做的功所做的功. 解设平面光滑曲线设平面光滑曲线C 的参数方程是的参数方程是 ( ),( ),xx tyy tt， ( ( ), ( )( ( ), ( )BxyAxy， (0,).Fmg 重力所做的功为重力所做的功为 (,) 0( )( ( )( ). C A B Wdxmgdymgy t dtmg yy