数学分析 (21).pdf

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1、定理定理 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面围成由分片光滑的闭曲面围成, , 函数函数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( 奥奥- -高高 公公 式式 dSRQP dv z R y Q x P )coscoscos( )( 或或 这里这里 是是 的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧， cos,cos,cos是是 上点上点),(zyx处的法向处的法向 量的方向余弦量的方向余弦. . 证明证明 ),( 1:1 yxzz ),( 2:2

2、yxzz 3 z y x yx D O 2 3 1 根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法 dxdydz z R dv z R xy D yxz yxz ),( ),( 2 1 .),(,),(, 12 xy D dxdyyxzyxRyxzyxR 根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法 ,),(,),( 1 1 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR ( ( 1 取下侧取下侧, , 2 取上侧取上侧, , 3 取外侧取外侧) ) ,),(,),( 2 2 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR ,),(,),(, 12 xy D dxdyyxzyxRyxzyxR dxdyz

3、yxR),(于于是是 .0),( 3 dxdyzyxR ,),( dxdyzyxRdv z R ,),( dydzzyxPdv x P 同理同理 ,),( dzdxzyxQdv y Q RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( -奥奥- -高公式高公式 和并以上三式得：和并以上三式得： GaussGauss公式的实质公式的实质 表表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系之间的关系. . .)coscoscos( )( dSRQP dv z R y Q x P 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积

4、分之间的关系知 解解 , ,0,)( yxR QxzyP x 3 z 1 y ,0,0, z R y Q zy x P dxdydzzy)(原原式式 dzrdrdzr )sin( . 2 9 ( (利用柱面坐标得利用柱面坐标得) ) 213 000 ( sin)ddrrz rdz x 3 z 1 y x y z o h 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为 xoy xy D )(: 222 1 hyxhz 补充补充 曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, , 为利用高为利用高 斯公式斯公式 取取上上侧侧， 1 构构成成封封闭闭曲曲面面， 1 . 1 围围成成空空间间区区域域 ,

5、上上使使用用高高斯斯公公式式在在 h x y z o xy D 1 dvzyx dSzyx )(2 )coscoscos( 1 222 xy D h yx dzzyxdxdy 22 ,)(2 .|),( 222 hyxyxD xy 其其中中 22 0(), x y h xy D d x d yxy d z因因 1 222 222 (coscoscos) () xy D xyzdS hxydxdy 所所 以以 . 2 1 4 h 11 2222 (coscoscos )xyzdSz dS 而而 xy D dxdyh 2 . 4 h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos( 222 4 2 1 h 4 h . 2 1 4 h