0208第二章单元总结.pdf

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1、 1 2 导导数数的的概概念念 函函数数的的求求导导法法 1 3函函数数的的微微分分 主主要要内内容容 4典典型型例例题题 学学习习要要点点 1 1. .导导数数与与微微分分是是微微积积分分中中两两个个重重要要的的概概念念，必必须须深深刻刻理理解解这这 这这两两个个重重要要概概念念以以及及它它们们之之间间的的联联系系和和区区别别. . 2 2. .求求导导运运算算是是微微积积分分中中两两大大主主要要运运算算之之一一，是是后后继继内内容容的的基基础础， 必必须须熟熟练练掌掌握握( (多多做做练练习习）. .求求导导法法则则中中，复复合合函函数数求求导导法法是是核核心心. . 1. 导导数数的的概

2、概念念 定定义义 左左右右导导数数 几几何何意意义义 可可导导与与连连续续的的关关系系 基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式表表 若若 则则称称存存在在， 00 0 lim x fxxfx x fx 在在点点可可导导， 0 x并并把把该该极极限限值值叫叫做做函函数数 在在 处处的的导导数数. . 0 x fx 00 0 lim x fxxfx x 0 0 0 lim xx fxfx xx 0 0 lim x y fx x 0 0 lim h fxhfh h 导导数数的的定定义义 左左导导数数： 右右导导数数： 00 0 lim x fxxfx x 0 0 0 lim xx fxfx x

3、x 00 0 0 lim x fxxfx fx x 0 0 0 lim xx fxfx xx 可可导导左左右右导导数数存存在在且且相相等等 0 fx 导导数数的的几几何何意意义义 处处切切线线的的斜斜率率. . 切切线线方方程程 法法线线方方程程 000 yyfxxx 00 0 1 yyxx fx 导导数数 在在几几何何上上表表示示曲曲线线 0 fx 在在点点 yfx 0 ,0 ()xfx x y o 0 x 0 xx T x yfx y A B C 可可导导性性与与连连续续性性的的关关系系 设设函函数数 在在 处处可可导导，则则该该函函数数必必在在 0 :fUxR 0 x 处处连连续续. .

4、 0 x 可可导导 连连续续 fxx 基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式表表 10cc 为为 常常 数数 1 2, 0 xxRx 3ln0,1 xx aaaaa 1 4log0,1 ln x aaa xa 5sincosxx cossinxx 2 tansecxx 2 cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx 2 1 6arc sin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 arc cot 1 x x 2. 函函数数的的求求导导法法 和和差差积积商商的的导导数数 复复合合函函数数求求导导法法 隐隐函函数数的的

5、求求导导法法 反反函函数数求求导导法法 高高阶阶导导数数 参参数数方方程程的的求求导导法法 特特殊殊的的， 可可推推广广到到有有限限个个函函数数的的情情形形 设设都都可可导导，则则 ,u xv x (1)uvuv (2)u vu vu v cucu 特特殊殊的的， 2 (3)0 uu vu v v vv 2 1 0 v v vv 和和、差差、积积、商商的的导导数数 反反函函数数求求导导法法则则 设设区区间间 上上严严格格单单调调且且 连连续续的的函函数数I 在在处处可可导导 ，且且 ，则则它它的的反反函函数数 xfy y 1 1 fx fy 在在对对应应点点可可导导，且且 1 yfx 1dy

6、dx dx dy 0fy 复复合合函函数数求求导导法法则则 dydydu dxdudx （链链式式法法则则）设设在在可可导导， ugx x yfu 在在对对应应处处可可导导，则则在在处处可可导导，且且u yfgx x d y fugx d x xux yyu 设设都都是是阶阶可可导导，则则 ,u xv xn 1, , n nn u xv xuxvxR 0 2 n n n kkk n k Leibnizu x v xC ux vx 公式： 高高阶阶导导数数 一一般般的的， ( )( , )0yy xF x y 设设是是由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数，则则 ( , ( )0F x y x

7、 注注意意： y 要要看看成成 x 的的函函数数 隐隐函函数数的的求求导导法法 参参数数方方程程求求导导法法 设设有有参参数数方方程程 xx t yy t 在在 , 1 若若函函数数 xx t 与与 yy t 内内可可导导，且且 0 x t ，则则 dyy dxx 与与 2 二二阶阶可可导导，则则 若若 xx t yy t 2 23 d yx yx y dxx 3. 函函数数的的微微分分 微微分分的的定定义义 微微分分的的几几何何意意义义 可可导导、可可微微与与连连续续的的关关系系 微微分分在在近近似似计计算算中中的的应应用用 微微分分定定义义 0 x xa )(xf 0 x在在点点可可微微，

8、称称为为在在 点点的的微微分分. 记记为为 若若 则则称称 00 ,fxxfxa xox fx 关关于于定定义义的的几几点点说说明明： (1)dya x 叫叫的的线线性性主主部部；dyy 是是 的的线线性性函函数数，故故x (2)();ydyoxx 是是比比高高阶阶的的无无穷穷小小 0 (3),( );axf xx 是是与与无无关关的的常常数数 但但与与和和有有关关 (4),.xydy 当当很很小小时时 dya x 微微分分的的几几何何意意义义 0 x M N T dy y ()ox ） x y o x 0 xx P 000 ,fxfxxxfx 0 ()dyfxx ,.xMMPMN 当当很很小

9、小时时 在在点点的的附附近近 切切线线段段可可近近似似代代替替曲曲线线段段 0 xyff xdy 0 x在在附附近近，用用线线性性函函数数代代替替非非线线性性函函数数 用用均均匀匀变变化化替替代代非非均均匀匀变变化化 局局部部线线性性化化 可可微微、可可导导及及连连续续间间的的关关系系 可可微微可可导导 连连续续 4. 典典型型例例题题 导导的的一一个个充充要要条条件件为为【 】. . 00 1 A lim n nfxfx n （） 存存在在； 2 00 2 0 lim x fxxfx x （ B B） 存存在在. . 00 0 lim 2 x fxxfxx x （ C C） 存存在在； 00

10、 0 lim x fxfxx x （ D D） 存存在在； 例例1 1 设设 在在 的的某某邻邻域域内内有有定定义义，则则 在在 处处可可 fx 0 x fx 0 xx 例例2 2 设设 1 sin,0, 0, 0, xx fxx x 试试讨讨论论实实数数 分分别别满满足足 什什么么条条件件时时， （1 1） 在在 处处连连续续； （2 2） 在在 处处可可导导； （3 3） 在在 处处连连续续. . fx fx fx fx 0 x 0 x 0 x 例例3 3 求求下下列列函函数数的的导导数数. . 44 44 44 1111 (1)arctan 1ln; 24 11 x yx x 解解 令令

11、 44 1,xu 111 arctanln 241 u yu u 111 arctanln1ln1 244 uuu 2 1111 4112 1 dy duuuu 3 43 4 1 14 4 du xx dx 4 1 1 dy duu 3 3 4 4 1 dux dx x dydy du dxdu dx 44 1,xu 3 4 4 1 . 1xx 2 (2), f x xx yf eeefx 其其中中可可导导. . 例例4 4 设设 由由方方程程组组 所所确确定定，求求 2 02 . t d y dx ( )yy x 2 323, sin10 y xtt ety 2 323xtt 62,02.x ttx sin10 y ety sincos0, yy e ytety coscos , 1sin2 yy y etet y t ety 0.ye cos , (2) 62 y y tdyet dxx tyt 2 2 1 () y td yd dxdt x tx t 解解 03,x 01,y 2 2 2 2 (cossin )(2) 62cos6 262 (2)62 yyy d y dx e ytetytetyyt yt 0,01,0tyye 代代入入 22 02 23 =. 4 t d yee dx