第六章 典型例题.pdf

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1、典型例题 第六章 参数估计 例例1 1 2 2 1 e0 (,)( , ) 00 0.12 . x n x x XXXXf x x 设设为为取取自自 的的样样本本, , 的的概概率率密密度度为为, , 为为未未知知参参数数 求求（ ） 的的矩矩估估计计量量; ;（ ） 的的最最大大似似然然估估计计量量, ,并并问问 这这个个估估计计量量是是不不是是无无偏偏估估计计量量 2 2 2 0 1( )dd 2 x x EXxf xxex （ ），解解 , 2 X 令令 2 2 .X 矩矩估估计计量量 12 , n xxx(2)(2)设设为为样样本本观观察察值值0,1,2, i xin当当时时, , 2

2、 2 12 11 1 ( )exp()exp, 22 n nn ii ni ii xx Lx xxx 2 11 1 ln ( )lnln, 2 nn ii ii Lxnx 2 2 1 dln ( )1 0, d2 n i i Ln x 2 1 1 2 n i i x n 解解得得， 2 1 1 . 2 n i i X n 最最大大似似然然估估计计量量 2 3 22 2 0 ( )dd2 , x x EXx f xxex 2 1 1 , 2 n i i EEX n .因因此此 是是 的的无无偏偏估估计计量量 2 3 12 3 ,0, ( ), 0, ,. n x x Xf xXXX X 设设总总

3、体体 的的概概率率密密度度为为, ,是是来来自自 其其它它， 总总体体 的的样样本本 试试求求未未知知参参数数 的的矩矩估估计计量量及及最最大大似似然然估估计计量量 解解 2 3 0 3 1()( )d3d, 4 x E Xxf xxxx （ ） 3 4 X 令令， 4 . 3 X 矩矩估估计计量量 12 , n xxx(2)(2)设设为为样样本本观观察察值值, , 2 3 1 3 , 0,1, , ( ) 0, nn iin i xxin L 其其它它， 2 13 1 3 , max, 0, nn inn i xxx 其其它它， 则则似似然然函函数数为为 1 max, n xx 当当时时,

4、,( )L 取取得得最最大大值值， 1( ) max,. nn XXX故故 的的最最大大似似然然估估计计量量为为 例例2 2 10121 , 0. 22122 16 X 设设总总体体现现从从该该总总体体中中 抽抽取取样样本本容容量量为为的的简简单单随随机机样样本本如如下下: : 1. 2?. ML M （ ）求求 的的矩矩估估计计和和最最大大似似然然估估计计 （ ）矩矩估估计计量量是是否否为为 的的无无偏偏估估计计 给给出出理理由由 取值取值 -1 0 1 2 频数频数 3 2 5 6 解解 9 ()10/ 21/ 22 (12 )2 2 E X (1)(1)， 2 (2). 9 M X得得

5、的的矩矩估估计计量量 7 , 8 x 又又 1 . 4 M 得得 1012 ,1, 0, 1, 2NNNN 为为求求最最大大似似然然估估计计, ,以以分分别别表表示示取取值值为为的的样样本本个个数数, , 1012 .NNNNn 满满足足样样本本容容量量 0112 ( )( )(12 ), 2 NNNN L 似似然然函函数数为为 ln ( )0L 对对求求导导并并令令其其为为 ， 2 2 L nN n 得得 的的最最大大似似然然估估计计， 2 16 , 6 n N 5 . 16 L 得得 9 2, 2 X 令令 例例3 3 22 2(2)(2) 99 M EEXEX （ ）, , . M 所所

6、以以是是 的的无无偏偏估估计计量量 取值取值 -1 0 1 2 频数频数 3 2 5 6 10121 ,0. 22122 16 X 设设总总体体现现从从该该总总体体中中 抽抽取取样样本本容容量量为为的的简简单单随随机机样样本本如如下下: : 1. 2?. ML M （ ）求求 的的矩矩估估计计和和最最大大似似然然估估计计 （ ）矩矩估估计计量量是是否否为为 的的无无偏偏估估计计 给给出出理理由由 解解 9 ()10/ 21/ 22 (12 )2 2 E X (1)(1)， 2 (2). 9 M X得得 的的矩矩估估计计量量 7 , 8 x 又又 1 . 4 M 得得 9 2, 2 X 令令 例

7、例3 3 123 112321233123 (0, ), 2111 3222 XUXXX XXXXXXXXX 设设总总体体, ,是是来来自自该该总总体体的的样样本本, ,判判断断 ,是是否否为为 的的 无无偏偏估估计计量量？在在无无偏偏估估计计量量中中, ,哪哪个个估估计计量量更更有有效效？ 解解 2 13 ()3, 224 E 1 (), 2 E X 3 11 (), 2 222 2 E 1 2 ()3 32 E 所所以以， 13 ,.因因此此为为 的的无无偏偏估估计计量量 2 1 (), 12 D X 2 2 2 1 21 ()3 3129 D 所所以以， 22 2222 3 111111

8、 (). 212122128 D 1 . 因因此此最最有有效效 例例4 4 22 1211 22 22 2222 ( ,)( ,)., , .,. . nn XY XY XYXY XYNNXXYY XYXY SS SSZXY SSSS Z 设设总总体体和和 分分别别服服从从正正态态分分布布和和和和 分分别别为为来来自自总总体体和和的的两两个个相相互互独独立立的的简简单单随随机机样样本本, ,其其样样本本均均值值为为 和和 样样本本方方差差分分别别为为和和令令, , 试试证证：为为的的无无偏偏估估计计量量 2 1 ( ,),XN n 2 2 ( ,),YN n 解解 22 , XY XYSS且且

9、与与独独立立 2 22 X XY S X SS 则则 与与独独立立, , 2 22 Y XY S Y SS 与与独独立立, , 222 222222 (), XXX XYXYXY SSS EXEXEE XE SSSSSS 22 2222 (). YY XYXY SS EYEYE SSSS ()()E ZEXY 22 2222 XY XYXY SS EE SSSS 例例5 5 () 1 1 e, ( ;, )0 0, .,. x n x Xf x XX 设设总总体体 的的概概率率密密度度为为, ,其其中中, , 否否则则 和和 为为未未知知参参数数为为来来自自总总体体的的一一个个样样本本, ,求

10、求 和和 的的最最大大似似然然估估计计量量 12 (,) n xxx设设为为样样本本观观察察值值，则则似似然然函函数数为为 1 ( , )(; , ) n i i Lf x 解解 () 1 1 1 e, 0, i n x n i xx 否否则则 1 1 () 1 1 e, 0, n i i x nn xx 否否则则 2 1 ln ( , )1 ()0, n i i Ln x 11(1) ,min, nn xxxxx当当即即时时， 1 1 ln ( , )ln() n i i Lnx x得得. . (1) ( , ).xL 而而当当, ,似似然然函函数数最最大大 (1) X 所所以以和和的的最最

11、大大似似然然估估计计量量为为, , (1) .XXX 例例6 6 12 ( )0, 0. n XPXXXX P X 设设总总体体服服从从泊泊松松分分布布, ,其其中中未未知知, ,是是来来自自 的的样样本本, ,求求的的最最大大似似然然估估计计量量 解解 0e,P X . 为为此此先先求求 的的最最大大似似然然估估计计量量 12 (,) n XXX则则的的联联合合概概率率密密度度为为 1 1 1 ( )e, ! n i i x n n ii i n LP Xx xx 12 (,), n xxx设设一一组组样样本本值值为为 11 ln ( )lnln(!) nn ii ii Lxxn 1 dln

12、 ( )1 0, d n i i L xn .x 得得 .X 所所以以参参数数 的的最最大大似似然然估估计计量量为为 最最大大似似然然估估计计量量的的性性质质: : 设设 是是总总体体参参数数 的的最最大大似似然然估估计计量量， ( )( ).ff则则是是的的最最大大似似然然估估计计量量 ( )yf x 具具有有单单值值反反函函数数， 0eP X 因因此此, ,的的最最大大似似然然估估计计量量为为 ee. X 例例7 7 12 2 011(01), 12(1). n XP XpppXX XXppp 设设总总体体服服从从分分布布, ,即即, ,其其中中未未知知, , 是是来来自自 的的样样本本,

13、 ,求求（ ）的的一一个个无无偏偏估估计计量量;(;( ）的的一一个个无无偏偏估估计计量量 解解 ()(1).D Xpp(1)()E Xp , ,()(),E XE Xp所所以以 ()(1) (). D Xpp D X nn 2 222 (1)1 ()()() ppnp E XE XD Xpp nnn 222 1 1111 nXn EXEXEXp nnnn 因因此此, , 2 p所所以以 的的一一个个无无偏偏估估计计量量为为 2 . 11 nX X nn 22 (2)(1). 1111 nXnX E XXEXEXpp nnnn 2 (1). 111 nXn XXXX nnn (1)pp 所所以

14、以的的一一个个无无偏偏估估计计量量为为 例例8 8 ( ,1)20 14.(0.525)0.7 XN aX a 设设总总体体 服服从从正正态态分分布布，今今对对总总体体 观观察察次次， 其其中中有有次次是是取取负负值值，试试求求 的的估估计计值值 （） 解解 14 0 20 X 事事件件的的频频率率为为， 0()P XP Xaaa 而而， 用用频频率率估估计计概概率率， 14 ()0.7, 20 a 0.525.aa 所所以以 的的估估计计值值为为 例例9 9 1 1 1 ( ),( )() . A( )( )B( )( ) C( )D( )( ) n nni i nn nn XF xXXXF

15、xI Xx n FxF xFxF x FxFxF x 设设总总体体 的的分分布布函函数数为为, ,是是来来自自 的的样样本本, , 是是经经验验分分布布函函数数, ,下下列列结结论论正正确确的的是是（ ） （ ）是是的的无无偏偏估估计计量量 （ ）是是的的相相合合估估计计量量 （ ）是是一一个个分分布布函函数数 （ ）依依概概率率收收敛敛到到 C.利利用用分分布布函函数数的的定定义义, ,可可知知（ ）正正确确 解解 (),YI Xx令令(),1,2, , ii YI Xxin 1, , n YY则则相相互互独独立立， Y且且与与 具具有有相相同同的的分分布布: :(0)()1( ),(1)(

16、 ).P YP XxF xP YF x ( )( )(1( ),D YF xF x 1, , n YYY所所以以可可看看作作是是来来自自总总体体的的样样本本, , ( )( )E YF x 而而, , 11 11 ( )(), nn nii ii FxI XxYY nn ( )( )( )( ). n YFxE YF xE Y因因此此是是的的无无偏偏估估计计量量, ,相相合合估估计计量量, ,并并且且依依概概率率收收敛敛到到 ABCD.所所以以（ ）（ ）（ ）（ ）都都正正确确 例例1010 12121 212 ,(,25) (,25)90% 2 nn XXXY YYXN YN n 设设和和

17、分分别别是是来来自自于于正正态态总总体体和和 的的两两个个独独立立简简单单样样本本, ,为为使使的的置置信信度度为为的的置置信信 区区间间长长度度不不超超过过 , ,问问样样本本容容量量 应应取取多多大大？ 解解 12 50 (,)XYN n 由由于于, , 12 0.050.05 () 0.9 5 2/ XY Puu n 因因此此 12 90% 所所以以的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间为为 12 () (0,1) 5 2/ XY N n 所所以以， 0.050.05 22 5,5XYuXYu nn 0.05 2 102u n 由由区区间间长长度度， 0.05 1.645u 及及，13

18、5.3n 解解得得，136.n所所以以 至至少少取取为为 例例1111 0.0250.05 0.5,1.25, 0.8, 2ln ( ,1)()();0.95; 30.95.=1.96,=1.645 XYX NXE XE Xb buu 设设是是来来自自总总体体 的的简简单单随随机机样样本本值值, ,已已知知服服从从分分布布 , ,求求(1)(1) 的的数数学学期期望望（记记）(2)(2) 置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间 （ ）利利用用上上述述结结果果, ,求求 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间 （） 解解 eYX 于于是是的的数数学学期期望望为为 2 () 2 1 ()(

19、e )e ed 2 y Yy bE XEy 2 () 2 1 (1)( )e 2 y Yf y 的的密密度度函函数数为为, , 2 2 1 eed 2 t t t 2 1(1) 22 1 eed 2 t t 1 2 e 0.025 2()0.95PYu 所所以以, , 0.95 所所以以 置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为 1 ( , ), 2() (0,1), 4 YNYN (2)(2) 1 (ln0.5ln0.8ln1.25ln2)0 4 y而而, , 0.0250.025 11 ,. 22 YuYu 0.95 故故 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为 ( 0.98

20、,0.98). 0.025 1.96,u 0.0250.025 11 0.95 22 P YuYu , , 例例1212 x (3)(3)由由于于e e 是是严严格格单单调调增增函函数数, ,所所以以 1 0.98 0.50.98 0.5 2 eee0.95P 0.980.98P 0.481.48 (e,e). ()0.95bE X 因因此此的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为 0.0250.05 0.5,1.25, 0.8, 2ln ( ,1)()();0.95; 30.95.=1.96,=1.645 XYX NXE XE Xb buu 设设是是来来自自总总体体 的的简简单单随随

21、机机样样本本值值, ,已已知知服服从从分分布布 , ,求求(1)(1) 的的数数学学期期望望（记记）(2)(2) 置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间 （ ）利利用用上上述述结结果果, ,求求 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间 （） 解解 1 2 (1)eb (2)0.980.980.95P , , 例例1212 22 112212 2222 1212 0.975 (,)(,)1015 8256.57652.46449 0.951.96 A( 0.0939,12.0939)B( 0.0939,0.0939) C( 0.0939,10.0939) xy NNnn xsys u 设

22、设从从总总体体和和中中分分别别抽抽取取容容量量和和的的独独立立样样本本, , 计计算算可可得得,.,.已已知知,则则的的置置信信 度度为为的的置置信信区区间间为为（ ）. .（） （ ） （ ） （ ） D( 12.0939,12.0939) （ ） 解解 12 22 12 12 () (0,1). XY UN nn 选选取取枢枢轴轴量量 12 1的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间 2222 1212 121222 ,XYuXYu nnnn 22 1212 10,15,64,49,82,76,nnxy 0.975 1.96u ， ( 0.0939,12.0939). 代代入入得得 A 例

23、例1313 22 111 22 222 1212 22 22 121222 (,), (,) .1. A(,) x y yy xx NnX S NnY S n n SS SS XYuXYu nnnn 从从总总体体中中抽抽取取容容量量为为 的的样样本本, ,样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别为为, , 从从中中抽抽取取容容量量为为的的样样本本, ,样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别为为 ,且且两两组组样样本本相相 互互独独立立, ,所所有有参参数数都都未未知知, ,且且, ,较较大大 则则的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间为为（ ） （ ） 22 22 1212 121

24、222 2222 1212 121222 22 12 12 12122 22 12 1 12122 B(2),(2) C(,) (1)(1) 11 D(2), 2 (1)(1) 11 ( 2 yy xx xy xy SS SS XYtnnXYtnn nnnn XYuXYu nnnn nSnS XYtnn nnnn nSnS XYtn nnnn （ ） （ ） （ ） 2 2)n 例例1414 22 12 , ,未未知知且且不不一一定定相相等等, , 12 n n, ,比比较较大大. . .只只能能用用大大样样本本区区间间估估计计 12 2 2 12 () (0,1). y x XY UN S

25、S nn 近近似似 选选取取枢枢轴轴量量 12 2 2 2 12 () 1 y x XY Pu S S nn 所所以以 解解 12 1的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间为为 22 22 121222 (,). yy xx SS SS XYuXYu nnnn A因因此此应应选选（ ）. . 22 12 2 00 22 ,( ,) 1. A (1)B C (1)D n XXXN X S SS XtnXuXtnXu nnnn 设设是是来来自自正正态态总总体体的的样样本本, ,其其中中 , ,均均未未知知, , 样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别为为 ,则则 的的置置信信度度为为的的单单侧侧置置信信下下限限为为（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 解解 2 ( ,)XN 设设， () (0,1) n X N 则则， 2 2 2 (1) (1) nS n ， () (1)1 n X Ptn S 所所以以， 1 所所以以 的的置置信信度度为为的的单单侧侧置置信信下下限限为为 () (1). n X Tt n S 从从而而 (1). S Xtn n A 例例1515