第四周 函数的连续性.pdf

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1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 1.10 函数的连续性函数的连续性 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 3 4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 3 4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 1 1 函数连续的概念函数连续的概念 0 xxx改变量改变量 00 ()()yf xxf x 定义定

2、义1(1(连续连续) ) 设设 在在 的邻域的邻域 有定义，若有定义，若 0 ( )f xx 0 ()Ux 0 lim0 x y 0 0 lim( )() xx f xf x 或或 则称则称 在在 点连续点连续. . 0 ( )f xx )(xfy x o y 0 xx x y 0, 0, 当当 时时， 0 xx 0 ( )().f xf x 用用 语言可表述为语言可表述为: : 则称则称 在在 点点连续连续. . 0 ( )f xx 0 0 lim( )(), xx f xf x 如果如果 则称则称 在在 点点左连续左连续. . 0 ( )f xx 0 0 lim( )(), xx f xf

3、 x 如果如果 则称则称 在在 点点右连续右连续. . 0 ( )f xx 在在 点连续点连续 0 ( )f xx在在 点左、右都连续点左、右都连续. . 0 ( )f xx 区间上连续函数的定义区间上连续函数的定义 在在 内每点都连续内每点都连续. . ( )f xI 若若 为开区间，为开区间， I则称则称 在开区间在开区间 内连续内连续. . ( )f xI 在在 内连续，内连续， ( ),f xa b若若 为闭区间，为闭区间， ,Ia b 且在且在 右连续，右连续， xa 在在 左连续，左连续， xb 则称则称 在闭区间在闭区间 上连续上连续. . ( )f xI 在区间在区间 上连续，

4、上连续， ( )f xI则称则称 为该为该区间上的连续函数区间上的连续函数. . ( )f x 连续函数的几何图形是连续函数的几何图形是 坐标平面上的一条连绵不断的曲线坐标平面上的一条连绵不断的曲线. . xoy 用用 表示区间表示区间 上所有连续函数构成的集合，上所有连续函数构成的集合， ( )C II ( )( )|( ).C If xf xI 在在 上连续上连续 即即: : 例例1 1 证明证明: : (N ) sin(0,1)C(,). nx xnxaaa 、 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的

5、连续性初等函数的连续性 3 4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 2 2 连续函数的运算连续函数的运算 定理定理1(1(有理运算有理运算) ) 设设 在在 处连续，则处连续，则 ( ),( )f xg xx ( ) ( )( ),( )( ),( ( )0) ( ) f x f xg xf xg xg x g x 在在 处都连续处都连续. . x 定理定理2(2(复合复合) ) 在相应在相应 处连续处连续. . ( )yf uu 设设 在在 处连续，处连续， x( )ux 则则 在在 处连续处连续. . ( )yfx x 设设 是区间是区间 上严格单调增（减）的连续函数，上严格

6、单调增（减）的连续函数， ( )f xI定理定理3 3 则其反函数则其反函数 在值域在值域 上也是严格单调增（减）的连续函数上也是严格单调增（减）的连续函数. . 1( ) ( )fxf I )(xfy xy x y o 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 3 4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 3 3 初等函数的连续性初等函数的连续性 (1)(1)三角函数在它们的定义域上处处连续三角函数在它们的定义域上处处连续 由复合函数连续性知，由复合函数连续性知， x 在它

7、们的定义域上处处在它们的定义域上处处连续连续. . 由例由例1 1知知 sin,xC cossin(), 2 xxC 由连续四则运算知，由连续四则运算知， sin1 tan,sec, coscos x xx xx (2)(2)反三角函数的连续性反三角函数的连续性 sinyx 在在 严格单调增且连续严格单调增且连续. . , 22 sinyarcx在在 严格单调增且连续严格单调增且连续. . 1,1 x y O 1 -1 y=arcsinx y=sinx 2 2 (3)(3)指数函数与对数函数的连续性指数函数与对数函数的连续性 由例由例1 1知知, ,指数函数指数函数 在在 上连续，上连续， (

8、0,1)(,) x yaaa 且当且当 时，时， 严格单调减；严格单调减； 01a x ya 时，时， 严格单调增严格单调增. . 1a x ya 因此它的反函数因此它的反函数 在在 与与 时分别是严格单调减时分别是严格单调减 与严格单调增的连续函数与严格单调增的连续函数. . a log011yxaa x y o logayx 01a logayx x y o 1a (4)(4)幂函数的连续性幂函数的连续性 lnx yxe 在在 时连续时连续 0 x 初等函数的连续性初等函数的连续性 初等函数在其有定义的区间上处处连续初等函数在其有定义的区间上处处连续. . 例例2 2 证明证明 0 1 (

9、2)lim1; x x e x 0 ln(1) (1)lim1; x x x 0 (1)1 (3)lim. x x x 即即 时，时， 0 x ln(1) e1, x xx (1)1xx 例例3 3 求求 2 1 0 lim(cos ). x x x 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 3 4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 4 4 函数的间断点函数的间断点 在在 处，它们都不连续处，它们都不连续. . 0 x 1,0 (2)0,0; 1,0 x yx x sin

10、 (1); x y x 考察下列几个函数的连续问题：考察下列几个函数的连续问题： 1 (3).y x x y o 1 1 x y o x y o 定义定义2(2(间断点间断点) ) 则称则称 为为 的一个的一个间断点间断点. . 0 ( )xf x 但在但在 点不连续点不连续, , 0 x 间断点的分类间断点的分类 第一类间断点：第一类间断点： 左、右极限都存在的间断点左、右极限都存在的间断点. . （1 1）当左、右极限相等时）当左、右极限相等时可去型可去型; ; （2 2）当左、右极限不相等时）当左、右极限不相等时跳跃型跳跃型. . 第二类间断点：第二类间断点： 其它间断点其它间断点. .

11、 设设 在在 的去心邻域的去心邻域 有定义，有定义， 0 ( )f xx 0 ()U x O 例例4 4 求下列函数的间断点求下列函数的间断点, ,并判断其所属类型并判断其所属类型. . (2) ( ); sin x f x x 2 2 1 (1) ( ); 32 x f x xx 1 1 (3) ( ); x f x ee 1 (4) ( )sin;f x x 2 2 0 1 (5) ( ) 1cos 0. x x x f x x x x 1 2 函数连续的概念函数连续的概念 1 主要内容主要内容 连续函数的运算连续函数的运算 函数的间断点函数的间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 3

12、4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 5 ( (2 2)()(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续的函数必能取到最小在闭区间上连续的函数必能取到最小 值值m m和最大值和最大值M M. . ( (1 1) )（有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数必定有界在闭区间上连续的函数必定有界. . 定理定理4 4 设 设 ，则，则 ( )C,f xa b 5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 abx y o )(xfy ( )f b ( )f a ( )C,f xa b )(xfy 设设 ， ( )C,f xa b 定理定理5 (5 (零点定

13、理零点定理) ) 若若 ， ( ) ( )0,f a f b 则至少存在一点则至少存在一点 使使 ( , ),( )0.a bf a b x y o ( )f b ( )f a 设设 ， ( )C,f xa b 定理定理6 (6 (介值定理介值定理) ) ( )( ),f af b 则至少存在一点则至少存在一点 使使 ,( ).a bf 为介于为介于 与与 之间的任一值，之间的任一值， ( )( )f af b abx y o ( )f b ( )f a )(xfy 例例5 5 证明：方程证明：方程 在在(0,1)(0,1)内至少有一个根内至少有一个根. . 3 310 xx 例例6 6 设设 ( )C( ),f xI 12 , n x xx为为 内任意内任意 个点个点. . In 证明：证明： 使使 12 ()()() ( ). n f xf xf x f n , I 存在存在