高三寒假讲义第08讲三角恒等变换与解三角形.docx

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1、第八讲三角恒等变换与解三角形高考考点考点解读三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用1.根据三角函数的定义、诱导公式及同角公式化简、求值2应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变换三角恒等变换1.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值或求角2与三角函数图象与性质交汇考查解三角形1.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算2结合正、余弦定理进行面积计算3利用正、余弦定理解决距离、高度、角度等实际问题备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式(2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式(3)掌握正弦定理及余弦定，掌握求

2、三解形面积的方法预测2020年命题热点为：(1)三角函数的概念与其他知识相结合；(2)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质(3)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形Z 1同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系tan.2诱导公式(1)公式：S2k；S；S.(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin；(2)cos()coscossinsin；(3)tan()；(4)辅助角公式：asinbcossin()cos().4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1

3、)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降幂公式(1)sin2；(2)cos2.6正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCsinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC7余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC8面积公式SABCbcsinAacsinBabsinCY 1同角关系应用错误：利用同角三角

4、函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误2诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错3忽视解的多种情况如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况4忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围5忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合1(2018全国卷，6)函数f的最小正周期为( C )ABCD2解析f(x)sinxcosxsin2x，所以f(x)的最小正周期为T.2(2018全国卷，8)ABC的内角A，B，C的对边分别

5、为a，b，c，若ABC的面积为，则C( C )A B C D解析由题意SABCabsinC，即sinC，由余弦定理可知sinCcosC，即tanC1，又C(0，)，所以C.3(2018全国卷，11)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A，B，且cos2，则( B )A B C D1解析由cos22cos21可得cos2，化简可得tan；当tan时，可得，即a，b，此时|ab|；当tan时，仍有此结果，故|ab|.4(2018天津卷，6)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单

6、调递减解析选A因为将函数ysin的图象向右平移个单位长度，得到函数ysin2x的图象用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A正确，其他都不正确5(文)(2018全国卷，15)已知tan，则tan.解析因为tantan，所以，解得tan.(理)(2018全国卷，15)已知sincos1，cossin0，则sin().解析由sincos1与cossin0分别平方相加得sin22sincoscos2cos22cossinsin2 1，即22sincos2cossin1，所以sin().6(2018北京卷，15)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解析方法一：(1)由

7、余弦定理，cosB，解得c5(舍)，或c3，所以cosA，又因为0A，所以A.(2)设AC边上的高为h，则sinA，所以hcsinA3sin，即AC边上的高为.方法二：(1)因为cosB0，sinB，由正弦定理，即sinAsinB，又因为0A，所以A.(2)设AC边上的高为h，则hasinC，由(1)及已知，sinCsin(AB)sinAcosBsinBcosA()，所以hasinC7，即AC边上的高为. 例1 (1)若cos，则sin2( D )ABCD解析因为cos，sin2cos2cos21.(2)(2018佛山二模)已知tan()，则cos2()( B )A B C D解析tan()，

8、解得tan，故cos2()sincos，其中sincos，故sincos.(3)若tan2tan，则( C )A1 B2 C3 D4解析，因为tan2tan，所以上式3.规律总结1化简求值的方法与思路(1)方法：采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一；通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值；(2)基本思路：找差异，化同名(同角)，化简求值2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数

9、值，然后结合角的取值范围，求出角的大小G 1(2018武汉模拟)已知cos(2)，sin(2)，0，则.解析由0易得2，2，故sin(2)，cos(2)，cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)，故.2(2018合肥质检)已知cos()cos()，(，)(1)求sin2的值；(2)求tan的值解析(1)cos()cos()cos()sin()sin(2)，即sin(2).(，)，2(，)，cos(2)，sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin.(2)(，)，2(，)，又由(1)知sin2，cos2.tan22. 例2 在ABC中，角A，B，C

10、所对的边分别为a，b，c，且满足sin2sinBsin.(1)求角A(2)若a，b2，求ABC的面积解析(1)由已知，化简得sinBsinC，sinBsinC，整理得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC)，由于0BC0，所以c3，故ABC的面积为SbcsinA.规律总结1正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理2解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知

11、量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形(3)设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的角(4)涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解G 如图，有一个码头P和三个岛屿A，B，C，PC30n mile，PB90n mile，AB30 n mile，PCB120，ABC90.(1)求B，C两个岛屿间的距离；(2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程解析(1)在PBC中，PB90，PC30，PCB120，由正弦定理得，

12、即，解得sinPBC，又因为在PBC中，0PBC60，所以PBC30，所以BPC30，从而BCPC30，即B，C两个岛屿间的距离为30n mile.(2)因为ABC90，PBC30，所以PBAABCPBC903060，在PAB中，PB90，AB30，由余弦定理得，PA30，根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“PABCP”或“PCBAP”，其航程为SPAABBCCP30303030306030，所以应按航线“PABCP”或“PCBAP”航行，其航程为(306030)n mile. 例3 (1)(2018河南百校联盟)已知ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asi

13、nBcosCcsinC，则ABC面积的最大值为( C )ABCD解析asinBcosCcsinC，cosCc22，可得c22，即a2b22c28，故a2b282c2，又SabsinC，S2a2b2(1cos2C)a2b2c4c2，ab且c2时，ABC的面积的最大值为.(2)(2018江淮十校三模)已知向量m(sinx，1)，向量n(cosx，)，函数f(x)(mn)m.求f(x)的最小正周期T；已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a2，c4，且f(A)恰是f(x)在0，上的最大值，求A和b的值解析f(x)(mn)msin2x1sinxcosx1sin2xcos2x2sin

14、(2x)2，T.由知：f(x)sin(2x)2，所以当x0，时，2x，当2x时f(x)取得最大值3，此时x.由f(A)3得A.由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以12b21624b，即b24b40，则b2.规律总结与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式G 已知向量a(cos(x)，sin(x)，b(sinx，sinx)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f()1，a2，求ABC面积的最大值解析(

15、1)易得a(sinx，cosx)，则f(x)absin2xsinxcosxcos2xsin2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期T，当2x2k，kZ时，即xk(kZ)时，f(x)取最大值是.(2)因为f()sin(A)1，所以sin(A)A.因为a2b2c22bccosA，所以12b2c2bc，所以b2c2bc122bc，所以bc12(当且仅当bc时等号成立)，所以SbcsinAbc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值是3.A组1若2sin()3sin()，则tan等于( B )A B C D2解析由已知得sincos3sin，即2sincos，所以tan，故选B2(文)如果sin

16、，那么sin()cos等于( A )A BC D解析sin()cossincoscossincos.(理)已知R，sin2cos，则tan2( C )A B C D解析本题考查三角函数同角间的基本关系将sin2cos两边平方可得，sin24sincos4cos2，4sincos3cos2，.将左边分子分母同除以cos2得，解得tan3或tan，tan2.3若三角形ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形的形状是( B )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析sin(AB)sin(AB)sin2C，sin(AB)sinC0，sin(AB)sin(AB)，

17、cosAsinB0，sinB0，cosA0，A为直角4钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC( B )A5 B C2 D1解析本题考查余弦定理及三角形的面积公式SABCacsinB1sinB，sinB，B或.当B时，经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去B，根据余弦定理，b2a2c22accosB，解得b，故选B5设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA，且bc，则b( B )A B2 C2 D3解析由余弦定理得：a2b2c22bccosA，所以22b2(2)22b2，即b26b80，解得：b2或b4.因为bc，所以b2.6已知tan，sin()，

18、其中，(0，)，则sin的值为( A )A B C D或解析依题意得sin，cos，注意到sin()(否则，若，则有0，0sinsin()，这与“sin()sin”矛盾)，则cos()，sinsin()sin()coscos()sin.7(2018淮北二模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsinA，则C等于.解析由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，2sin(A)2，因此bc，AA，所以C.8(2018长沙三模)在锐角ABC中，D为BC的中点，满足BADC90，则角B，C的大小关系

19、为BC.(填“BC”)解析设BAD，CAD，因为BADC90，所以90C，90B，因为D为BC的中点，所以SABDSACD，所以cADsinbADsin，所以csinbsin，所以ccosCbcosB，由正弦定理得，sinCcosCsinBcosB，即sin2Csin2B，所以2B2C或2B2C，因为ABC为锐角三角形，所以BC9为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为2.解析由题意设BCx(x1)米，ACt(t0)米，依题设ABAC0.5(t0.5)米，在ABC中，由余弦定理得：A

20、B2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得：t(x1)，即tx12，因为x1，故tx122，当且仅当x1时取等号，此时取最小值2.10(2018全国卷，17)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解析(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.11(文)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a

21、，b，c.已知asinA4bsinB，ac(a2b2c2)(1)求cosA的值；(2)求sin(2BA)的值解析(1)由asinA4bsinB及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cosA.(2)由(1)，可得sinA，代入asinA4bsinB中，得sinB.由(1)知，A为钝角，所以cosB.于是sin2B2sinBcosB，cos2B12sin2B，故sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA().(理)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，sinB.(1)求b和sinA的值；(2)求sin(2A)的值解析(1)在ABC中，因为a

22、b，所以由sinB，得cosB.由已知及余弦定理，得b2a2c22accosB13，所以b.由正弦定理，得sinAa.所以b的值为，sinA的值为.(2)由(1)及ac，得cosA，所以sin2A2sinAcosA，cos2A12sin2A.所以sin(2A)sin2Acoscos2Asin.B组1(2018福州三模)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点M为ABC的重心若abc0，则C( D )A B C D解析M为ABC的重心，则0，abc0，a()bc0.即(ba)(ca)0，与不共线，ba0，ca0.得abc111，令a1，b1，c，则cosC，C，故选D2(2018唐

23、山市一模)若sin()，则cos(2)( A )A B C D解析cos(2)cos(2)12sin2()(1).3(2018威海二模)已知等腰ABC满足ABAC，BC2AB，点D为BC边上的一点且ADBD，则sinADB的值为( C )A B C D解析如图，设ABACa，ADBDb，由BC2AB，得BCa，在ABC中，由余弦定理得，cosABC.ABAC，ABC是锐角，则sinABC，在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcosABD，b2a2b22ab，解得ab，由正弦定理得，解得sinADB.4钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC( B )A5 B C2 D1解

24、析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.5设，且tan，则( C )A3 B3C2 D2解析因为tan，去分母得sincoscoscossin，所以sincoscossincos，即sin()cossin.又因为，则，0，所以故2.6已知，tantan3，则cos()的值为.解析因为tantan3，且，所以coscos，cos()coscoss

25、insin，所以sinsin，所以cos()coscossinsin.7已知点O是ABC的内心，BAC30，BC1，则BOC面积的最大值为.解析根据角平分线的性质可知，BOC105，所以在BOC中，根据余弦定理有cos105，等价于OBOCOB2OC21，即OBOC2OBOC1，所以OBOC，而SBOCOBOCsin105sin105.8已知向量m与n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角(1)求角A的大小；(2)若BC2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状解析(1)因为mn，所以sinA(sinAcosA)0.所以sin2A0，即sin2Acos2A1，即

26、sin1.因为A(0，)，所以2A.故2A，A.(2)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则由余弦定理，得4b2c2bc.而b2c22bc，bc42bc，bc4(当且仅当bc时等号成立)，所以SABCbcsinAbc4，当ABC的面积取最大值时，bc.又A，故此时ABC为等边三角形9(2018天津卷，15)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解析(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以sinBcosBs

27、inB，可得tanB.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，即c，10分所以SABCacsinB.12分第一步找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向第二步定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化第三步求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果第四步再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.评分细则(1)第(1)问：没求sinA而直接求出sinB的值，不扣分；写出正弦定理，但b计算错误，得1分(2)第(2)问：写出余弦定理，但c计

28、算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sinC，利用SabsinC计算，同样得分G 已知a，b，c分别为ABC三个内角的对边，且cosCsinC.(1)求B的大小；(2)若ac5，b7，求的值解析(1)cosCsinC，由正弦定理可得cosCsinC，cosCsinBsinBsinCsinAcosCsinBsinBsinCsin(BC)cosCsinBsinBsinCsinBcosCcosBsinC，sinBsinCsinCcosB，sinC0，sinBcosB，tanB，又0B0，f(x)mn，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.(1)

29、若f()，(0，)求cos的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)的单调递增区间思路探究 (2).规范解答分步得分构建答题模板解：f(x)mncosxsinxcos(x)cosxcosxsinxcosxcosxsin(2x).3分f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，T，1，f(x)sin(2x).4分(1)f()sin()，sin()，(0，)，sin()0，(0，)，cos().6分coscos()cos()cossin()sin.8分(2)f(x)经过变换可得g(x)sin(x)，10分

30、令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，g(x)的单调递增区间是2k，2k(kZ).12分第一步化简：利用辅助角公式将f(x)化成yAsin(x)的形式第二步求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值第三步整体代换：将“x”看作一个整体，确定f(x)的性质第四步反思：查看角的范围的影响，评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.评分细则(1)化简f(x)的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cos时，算对cos()给1分；由cos()计算sin()时没有考虑范围扣1分；(3)第(2)问直接写出x的

31、不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出kZ不扣分；没有2k的不给分G 设函数f(x)sin(x)sin(x)，其中03，已知f()0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在，上的最小值解析(1)因为f(x)sin(x)sin(x)，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosx(sinxcosx)sin(x)由题设知f()0，所以k，kZ.所以6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，所以g(x)sin(x)sin(x)因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.