高三寒假讲义第09讲　三角函数的图象与性质.docx

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1、第九讲三角函数及解三角形第一讲三角函数的图象与性质高考考点考点解读三角函数的定义域、值域、最值1.求三角函数的值域或最值2根据值域或最值求参数三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性2根据单调性、奇偶性、周期性求参数三角函数的图象及应用1.考查三角函数的图象变换2根据图象求解析式或参数备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图预测2019年命

2、题热点为：(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式Z 1三角函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx|xk，kZ值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22单调性在！ 2k，2k(kZ)上递增在！ 2k，2k(kZ)上递减在！ 2k，2k(kZ)上递增在！ 2k，2k(kZ)上递减在！ (k，k)(kZ)上递增最值当x2k，kZ时，y取得最大值1.当x2k，kZ时，y取得最小值1当x2k，kZ时，y取得最大值1.当x2k，kZ时，y取得最小值

3、1无最值对称性对称中心：！ (k，0)(kZ).对称轴：！ xk(kZ)对称中心：！ (k，0)(kZ).对称轴：！ xk(kZ)对称中心：！ (，0)(kZ)2.函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0、2，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得3三角函数的奇偶性(1)函数yAsin(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(2)函数yAcos(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(3)函数yAtan(x)是奇函数k(kZ)4三角函数的对称性(1)函数yAsin(x)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(2)函数yAcos(x

4、)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(3)函数yAtan(x)的图象的对称中心由x(kZ)解得Y 1忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域2重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3忽视A，的符号在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，若0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的4易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误1(2018全国卷，8)已知函数f2cos2xs

5、in2x2，则( B )Af的最小正周期为，最大值为3Bf的最小正周期为，最大值为4Cf的最小正周期为2，最大值为3Df的最小正周期为2，最大值为4解析f(x)2cos2x(1cos2x)23cos2x1cos2x，所以最小正周期为，最大值为4.2(文)(2018全国卷，10)若f(x)cosxsinx在0，a上是减函数，则a的最大值是( C )ABCD解析f(x)cosxsinxcos在上单调递减，所以0，a，故0a.(理)(2018全国卷，10)若f(x)cosxsinx在a，a上是减函数，则a的最大值是( A )A B C D解析f(x)cosxsinxcos在上单调递减，所以a，a，故

6、a且a，解得00,2|x|sin2x0，所以图象在x轴的上方，当x时，sin2x0,2|x|sin2x0，所以图象在x轴的下方，排除C，故选D4(2018江苏卷，7)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是.解析正弦函数的对称轴为xk(kZ)，故把x代入得k(kZ)，k(kZ)，因为，若x，则2x，2x，若2m即m，因为f(x)在，m上的最大值为，所以ysin(2x)在，m上的最大值为1，又因为当且仅当2x2k，即xk(kZ)时，ysin(2x)1.所以，mx|xk(kZ)，令k(kZ)得k，即k0,1,2，所以x0，m，即m，所以m的最小值为. 例1 (1)(2018石家庄一模

7、)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在，上的最小值是( B )A1BCD解析f(x)2sin(2x)，又图象关于(，0)中心对称，所以2k，kZ.所以k，又00)在(，)上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为( C )ABCD解析依题意，函数f(x)sinxcosxsin(x)，又函数f(x)在x(，)上仅有1个最值，且为最大值，根据三角函数的图象与性质知，2k2k，kZ，且2k2k，kZ，即为12k12k且kk3，kZ.当k0时，经检验时不在上面的公共区域2已知函数f(x)12sin(2x)，x，若不等式f(x)m2在x，上恒成

8、立，则实数m的取值范围为(1，).解析因为x，所以2x，即12sin(2x)2,3，所以f(x)max3，不等式f(x)mf(x)max2，即m的取值范围是(1，) 例2 已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f()的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解析(1)由sin，cos，得f()()2()22()，所以f()2.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx得f(x)cos2xsin2x2sin(2x)，所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是k，k

9、(kZ)规律总结1求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的“x”，采用整体代入求解令xk(kZ)，可求得对称轴方程令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0)的单调区间时，令xz，则yAsinz(或yAcosz)，然后由复合函数的单调性求得图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间(2)判断对称中心与对称轴：利用

10、函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断(3)三角函数周期的求法利用周期定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.利用图象G 1已知0，在函数y2sinx与y2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则.解析由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|为函数y2sinx2cosx2sin(x)的两

11、个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2()2(2)2，.2设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()f()，则f(x)的最小正周期为.解析由f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()知，f(x)有对称中心(，0)，由f()f()知f(x)有对称轴x().记f(x)的最小正周期为T，则T，即T.故，解得T. 例3 (1)将函数ycosxsinx(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( A )ABCD解析设f(x)cosxsinx2(cosxsinx)2sin(x)，向

12、左平移m个单位长度得g(x)2sin(xm)g(x)的图象关于y轴对称，g(x)为偶函数，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值为.(2)已知A，B，C，D是函数ysin(x)(0,0)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则( A )A2， B2，C， D，解析由题意可知，T，2.又sin2()0,0，.故选A规律总结1函数yAsin(x)的解析式的确定(1)A由最值确定，A；(2)由周期确定；(3)由图象上的特殊点确定提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降

13、分清零点的类型2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向G 1将f(x)sin2x的图象右移(0)个单位后，得到g(x)的图象，若对于满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|的最小值为，则的值为( B )ABCD解析g(x)sin2(x)sin(2x2)，则f(x)，g(x)的最小正周期都是T.若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，则|x1x2|，从而.2函数f(x)sin(x)(|)的部分图象如图，且f(0)，则图中m的值为( B )A1 B C2 D

14、或2解析f(0)sin，又|0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f()的值为( B )ABCD解析由函数f(x)sin(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到其最小正周期为，所以2，f()sin(2)cos.2函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( D )A，kZB，kZC，kZD，kZ解析由五点作图知，kZ，可得，所以f(x)cos.令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，故单调减区间为，kZ.故选D .3(2017天津卷，7)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f()2，f()0，且f(x)的最小正周期大于2，则( A )A

15、， B，C， D，解析f()2，f()0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为4()3，f(x)2sin(x)2sin()2，得2k，kZ.又|0)，f()f()0，且f(x)在区间(，)上递减，则( B )A3 B2 C6 D5解析f(x)2sin(x)，f()f()0.当x时，f(x)0.k，kZ，3k1，kZ，排除A，C；又f(x)在(，)上递减，把2，5代入验证，可知2.5已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为( B )A11 B9 C7 D5解析由题意知：则2k1，其中kZ.f(x)在上单调，12

16、.接下来用排除法若11，此时f(x)sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足f(x)在上单调，若9，此时f(x)sin，满足f(x)在上单调递减6(2017开封市高三一模)已知函数f(x)2sin(x)sin(x)的图象关于原点对称，其中(0，)，则.解析本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式因为f(x)2sin(x)sin(x)的图象关于原点对称，所以函数f(x)2sin(x)sin(x)为奇函数，则ysin(x)为偶函数，又(0，)，所以.7如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数给出下列四个函数：f(x)sinxcosx; f(x)(sinxcosx

17、)；f(x)sinx; f(x)sinx.其中为“互为生成”函数的是(填序号)解析首先化简题中的四个解析式可得：f(x)sin(x)，f(x)2sin(x)，f(x)sinx，f(x)sinx，可知f(x)sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以f(x)sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理f(x)sin(x)的图象与f(x)2sin(x)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而f(x)sinx的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到f(x)sin(x)的图象，所以为“互为生成”函数8已知函数f(x)(2cos2 x1)sin2xc

18、os4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求a的值解析(1)因为f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin(4x)所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin(4)1.因为(，)，所以4(，)，所以4，故.9某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0，|0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为(，0)，求的最小值解析(1)根据表中已知数据，解得A5，2，数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin(2x)(2)由(

19、1)知f(x)5sin(2x)，则g(x)5sin(2x2)因为函数ysinx图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点(，0)成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.B组1若函数f(x)asinxbcosx(00，f()0，排除选项A，D由1cosx0，得x2k(kZ)，故函数f(x)的定义域关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B故选C3(2017全国卷，9)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin(2x)，则下面结论正确的是( D )A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

20、标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析因为ysin(2x)cos(2x)cos(2x)，所以曲线C1：ycosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos2x，再把得到的曲线ycos2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos2(x)cos(2x)故选D4(2018长沙二模)已

21、知函数f(x)2sin(x)1(0，|)，f()1，f()1，若|的最小值为，且f(x)的图象关于点(，1)对称，则函数f(x)的单调递增区间是( B )A2k，2k，kZB3k，3k，kZC2k，2k，kZD3k，3k，kZ解析由题设条件可知f(x)的周期T4|min3，所以，又f(x)的图象关于点(，1)对称，从而f()1，即sin()0.因为|0，0，|0)在(，)上单调递减，则的取值范围是，.解析f(x)sinxcosxsin(x)，令2kx2k(kZ)，解得x(kZ)由题意，函数f(x)在(，)上单调递减，故(，)为函数单调递减区间的一个子区间，故有解得4k2k(kZ)由4k2k，解

22、得k0，可知k0，因为kZ，所以k0，故的取值范围为，8已知函数f(x)sin(2x)sin(2x)2cos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间，上的最大值和最小值解析(1)f(x)sin2xcoscos2xsinsin2xcoscos2xsincos2x1sin2xcos2x1sin(2x)1，f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知，f(x)sin(2x)1.x，令2x得x，f(x)在区间，上是增函数；在区间，上是减函数，又f()0，f()1，f()2，函数f(x)在区间，上的最大值为1，最小值为0.9已知函数f(x)sinxcosxcos2x.(1)若tan2，求f()的值；(2)若函数yg(x)的图象是由函数yf(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到，且g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数m的最大值解析(1)因为tan2，所以f()sincoscos2sincos(2cos21)sincoscos2.(2)由已知得f(x)sin2xcos2xsin(2x)依题意，得g(x)sin2(x)，即g(x)sin(2x)因为x(0，m)，所以2x，2m，又因为g(x)在区间(0，m)内是单调函数，所以2m，即m，故实数m的最大值为.