高三数学寒假作业3.docx

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1、关注公众号品数学高三数学寒假作业3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z13+4i，z21+i，则z1z2=（）A7+iB7iC7+iD7i2已知集合Ax|2x4，Bx|x2，则A（RB）（）A（2，4）B（2，4）C（2，2）D（2，23已知直线l：yk（x+3）和圆C：x2+（y1）21，若直线l与圆C相切，则k（）A0B3C33或0D3或04已知为第三象限角，tan=43，则cos(4+)=（）A210B-210C7210D-72105已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）=ln|x|

2、exBf（x）exln|x|Cf(x)=ln|x|xDf（x）（x1）ln|x|6已知a=(12)0.5，blog20.3，cab，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCbacDacb7如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东30方向走10m到位置D，测得BDC45，则铁塔AB的高为（）A30+103B30-103C10+1033D10-10338执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是n6，则输出的结果为（）A72B30C42D569某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名

3、称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A计算机行业好于化工行业B建筑行业好于物流行业C机械行业最紧张D营销行业比贸易行业紧张10双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（）A3B2+3C2D2+111历史上数列的发展，

4、折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n2），（n3，nN*）此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4除后的余数构成一个新的数列bn，又记数列cn满c1b1，c2b2，cnbnbn1（n3，nN*），则c2020（）A1B2C1D012不等式ax2a2xlnx4（a0）解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是（）A（ln3，2）B2ln3，2）C（0，2ln3D（0，2

5、ln3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 14已知向量a=(2，1)，b=(3，4)，c=(k，2)，若向量3a-b与c共线，则实数k 15已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=a(2-3cosB)，b4，点D为边AB上的一点，CD2，锐角ACD的面积为15，则c 16已知点P，A，B，C均在表面积为81的球面上，其中PA平面ABC，BAC=30，AC=3AB，则三棱锥PABC的体积的最大值为 三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，

6、第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）17（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率）：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特

7、点，现从D、E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率18（12分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a11，a2a416（1）设bnlog2an，求数列bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn19（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，底面ABCD是矩形，EFBC（1）证明：EF平面ABCD；（2）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍”（chmng），书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为：术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一其意

8、思是：若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a，“上袤”EF的长为b，“广”AB的长为c，“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h，则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为：V=16(2a+b)ch，证明该体积公式高三数学寒假作业3（答案解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z13+4i，z21+i，则z1z2=（）A7+iB7iC7+iD7i【解答】解：z21+i，z2=1-i，又z13+4i，z1z2=（3+4i）（1i）3+4i3i+47+i故选：A2已知集合Ax|2x4，Bx|x2，则A（RB）（）A（2，4）

9、B（2，4）C（2，2）D（2，2【解答】解：RBx|x2；A（RB）（2，2）故选：C3已知直线l：yk（x+3）和圆C：x2+（y1）21，若直线l与圆C相切，则k（）A0B3C33或0D3或0【解答】解：由圆的方程得到圆心C（0，1），半径r1，圆心C（0，1）到直线l：yk（x+3）和的距离d=|3k-1|k2+1=1，k=3或0，故选：D4已知为第三象限角，tan=43，则cos(4+)=（）A210B-210C7210D-7210【解答】解：为第三象限角，tan=43，cos=-11+tan2=-35，sin=-1-cos2=-45，cos(4+)=22cos-22sin=22（-

10、35）-22（-45）=210故选：A5已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）=ln|x|exBf（x）exln|x|Cf(x)=ln|x|xDf（x）（x1）ln|x|【解答】解：由图象可知，f（x）是非奇非偶函数，排除C；当0x1时，图象在x轴的上方，ln|x|0，ex0，排除A，B；故选：D6已知a=(12)0.5，blog20.3，cab，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCbacDacb【解答】解：0(12)0.51，log20.3log21=0，即0a1，b0，aba01，bac故选：C7如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使

11、C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东30方向走10m到位置D，测得BDC45，则铁塔AB的高为（）A30+103B30-103C10+1033D10-1033【解答】解：在BCD中，B18045（90+30）15，sin15sin（4530）=2232-2212=6-24BCsin45=10sin15，解得BC10（3+1）在RtABC中，ABBCtan6010（3+1）3=10（3+3）故选：A8执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是n6，则输出的结果为（）A72B30C42D56【解答】解：模拟程序的运行，可得s0，a2，n1；s2，a4；不满足条件n6，执

12、行循环体，n2，s6，a6；不满足条件n6，执行循环体，n3，s12，a8；不满足条件n6，执行循环体，n4，s20，a10；不满足条件n6，执行循环体，n5，s30，a12；不满足条件n6，执行循环体，n6，s42，a14；不满足条件n6，执行循环体，n7，s56，a16；此时，满足条件n6，退出循环，输出s的值为56故选：D9某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应

13、聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A计算机行业好于化工行业B建筑行业好于物流行业C机械行业最紧张D营销行业比贸易行业紧张【解答】解：用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436，物流行业是供大于求，就业形势是建筑行业好于物流行业，故选：B10双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60的直线与y轴和双曲线的右支分别交

14、于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（）A3B2+3C2D2+1【解答】解：由题意可得直线方程为y=3（x+c），当x0时，y=3c，A（0，3c），F1（c，0），设B（x，y），20xc，23cy+0，xc，y23c，B（c，23c），c2a2-12c2b2=1，即12c2b2=-1+c2a2=b2a2b412a2c2，即（c2a2）212a2c2，整理可得e414e2+10，即e27+43=（2+3）2，解得e2+3故选：B11历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”

15、：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n2），（n3，nN*）此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4除后的余数构成一个新的数列bn，又记数列cn满c1b1，c2b2，cnbnbn1（n3，nN*），则c2020（）A1B2C1D0【解答】解：记“兔子数列”为an，则数列an每一项被4除后的余数构成新的数列bn为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，可得数列bn是周期为6的循环数列，由题意可知数列cn为1，1，1，1，2，1，1，0，1，1，2，1，观察数列cn可知该数列从第三项开始后面

16、所有的数列构成一个周期为6的周期数列，所以c2020c41，故选：A12不等式ax2a2xlnx4（a0）解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是（）A（ln3，2）B2ln3，2）C（0，2ln3D（0，2ln3）【解答】解：由题意可知，ax2a2xlnx4，设g（x）2xlnx4，h（x）ax2a由g（x）2-1x=2x-1x可知g（x）2xlnx4在（0，12）上为减函数，在（12，+）上为增函数，h（x）ax2a的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出g（x），h（x）的图象如图，若有且只有两个整数x1，x2，使得f（x1）0，且f（x2）0，则a0h(1)g(1)h(3)g(

17、3)，即a0-a-2a2-ln3，解得0a2ln3，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为3【解答】解：求导函数得：y=x2-3x（x0），又由曲线的一条切线的斜率为12，令x2-3x=12即（x3）（x+2）0，解得x3，x2（不合题意，舍去），则切点的横坐标为3故答案为：314已知向量a=(2，1)，b=(3，4)，c=(k，2)，若向量3a-b与c共线，则实数k6【解答】解：3a-b=(3，-1)，c=(k，2)，且3a-b与c共线，6+k0，解得k6故答案为：615已知ABC

18、的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=a(2-3cosB)，b4，点D为边AB上的一点，CD2，锐角ACD的面积为15，则c15+192【解答】解：bsinA=a(2-3cosB)，由正弦定理得sinBsinAsinA（2-3cosB）sinA0，sinB2-3cosB即sinB+3cosB2，即2sin（B+3）2，即sin（B+3）10B，B+3=2，即B=6，ACD的面积为S=1224sinACD=15，即sinACD=154，ACD是锐角三角形cosACD=1-sin2ACD=14，由余弦定理得AD222+4222414=16，则AD4，在ACD中，CDsinA=

19、ADsinACD，sinA=158，则ABC中，BCsinA=ACsinB，得BC=15，ABC中，由余弦定理可得：42=(15)2+c2215ccos3，解得c=15+192故答案为：15+19216已知点P，A，B，C均在表面积为81的球面上，其中PA平面ABC，BAC=30，AC=3AB，则三棱锥PABC的体积的最大值为818【解答】解：点P，A，B，C均在表面积为81的球面上，可得球的半径为：814=92，BAC=30，AC=3AB，可得BC=AB2+AC2-2ACABcos30=AB外接圆的半径为：r=AB2sin30=AB三棱锥的高PA2(92)2-AB2则三棱锥PABC的体积：V

20、=1312ABACsin302814-AB2=36AB2814-AB2，令AB2x，则V2=1312x12x(814-x)13(12x+12x+814-x3)3=81243，可得V818当且仅当x=272，即AB=362时取等号故答案为：818三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）17（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率）：根据以

21、上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D、E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率【解答】解：（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，112200=1425，则该校高三年级学生获得

22、成绩为B的人数约有16001425=896，（2）这200名学生成绩的平均分为91.3，91.390，该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D级3个，E级2个，从而任意选取2个学生，共有n=C52=10个基本事件记事件“至少1位学生来自D级别”为F，则事件F包含基本事件个数m=C32+C31C21=9，事件“至少1位学生来自D级别”的概率为P(F)=91018（12分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a11，a2a416（1）设bnlog2an，求数列bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn【解答】解：（1）a11

23、，a2a416由等比数列的性质可得，a2a4a3216且an0a34，q2=a3a1=4，q2，q2（舍去），an2n1，bnlog2an，bnn1；（2）由（1）可知anbn（n1）2n1，Sn020+121+222+（n1）2n1，2Sn021+122+223+（n1）2n，两式相减可得，Sn2+22+23+2n1（n1）2n=2-2n1-2-（n1）2n2n（2n）2，Sn（n2）2n+219（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，底面ABCD是矩形，EFBC（1）证明：EF平面ABCD；（2）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍”

24、（chmng），书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为：术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一其意思是：若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a，“上袤”EF的长为b，“广”AB的长为c，“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h，则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为：V=16(2a+b)ch，证明该体积公式【解答】证明：（1）ABCD是矩形，BCAD，又AD平面ADEF，BC平面ADEF，BC平面ADEF，又BC平面BCEF，平面ADEF平面BCEFEF，BCEF，又BC平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD（2）设G，H分别是棱BC，AD上的点，且满足GCHDEF，

25、连接FG，FH，GH由第（1）问的证明知，GCHDEF，四边形GCEF和GCDH为平行四边形GFCE，GHCD，又CDCEC，平面GHFCDE，多面体CDEGHF为三棱柱刍甍ABCDEF可别分割成四棱锥FABGH和三棱柱CDEGHF由题意知，矩形ABGH中，BGBCCGBCEFab，ABc，矩形ABGH的面积SABGH（ab）c，又四棱锥FABGH的高，即“点F到平面ABCD的距离”为h，四棱锥FABGH的体积VF-ABGH=13SABGHh=13(a-b)ch；三棱柱CDEGHF的体积可以看成是以矩形GCDH为底，以点F到平面ABCD的距离h为高的四棱柱体积的一半又矩形GCDH的面积SABGHbc，三棱柱CDEGHF的体积VCDE-GHF=12SGCDHh=12bch刍甍ABCDEF的体积：VVFABGH+VCDEGHF=13(a-b)ch+12bch=ch(a-b3+b2)=16(2a+b)ch刍甍ABCDEF体积公式得证高中数学资料共享群（284117036）