专题四 第1讲 空间几何体.docx

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1、第1讲空间几何体考情分析几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度考点一表面积与体积核心提炼1旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧2rl，S圆柱表2r(rl)(r为底面半径，l为母线长)(2)S圆锥侧rl，S圆锥表r(rl)(r为底面半径，l为母线长)(3)S球表4R2(R为球的半径)2空间几何体的体积公式V柱Sh(S为底面面积，h为高)；V锥Sh(S为底面面积，h为高)；V球R3(R为球的半径)例1(1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积

2、为_答案40解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形设底面圆的半径为r，则母线长lr.在SAB中，cosASB，所以sinASB.因为SAB的面积为5，即SASBsinASBrr5，所以r240，故圆锥的侧面积为rlr240.(2)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥DBB1C1的体积为_答案解析如图，取BC的中点O，连接AO.正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AC2，OC1，则AO.AA1平面BCC1B1，点D到平面BCC1B1的距离为.又222，2.易错提醒(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复

3、计算)(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值跟踪演练1(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10答案B解析设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意可知2rh2，圆柱的表面积S2r22rh4812.故选B.(2)如图，在RtABC中，ABBC1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DEBC，将CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥PABDE，则四棱锥PABDE的体积的最大值为_答案解析设C

4、DDEx(0x0；当x时，V0.当x时，Vmax.考点二多面体与球核心提炼解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径(2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心例2(1)已知三棱锥PABC满足平面PAB平面ABC，ACBC，AB4，APB30，则该三棱锥的外接球的表面积为_答案64解析因为ACBC，所以ABC的外心为斜边AB的中点，因为平面PAB平面ABC，所以三棱锥PABC的外接球球心在平面PAB上，即球心就是PAB的外心，根据正弦定理2R，解得R4，所以外接球的表面积为4R264.(2)(2020全国)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该

5、圆锥内半径最大的球的体积为_答案解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB中，PAPB3，D为AB的中点，AB2，E为切点，则PD2，PEOPDB，故，即，解得r，故内切球的体积为3.规律方法(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长(2)三棱锥SABC的外接球球心O的确定方法：先找到ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OSOA，点O即为三棱锥SABC的外接球的球心(3)多面体的内切球可利用等积法求半径跟踪演练2(1)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球

6、面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256答案C解析如图所示，设球O的半径为R，因为AOB90，所以SAOBR2，因为VOABCVCAOB，而AOB的面积为定值，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144.(2)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形

7、ABCD为正方形，AD，ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为9，则阳马PABCD的外接球的表面积为_答案20解析四边形ABCD是正方形，ADCD，即ADCE，且AD，ED，ADE的外接圆半径为r1，设鳖臑PADE的外接球的半径为R1，则R9，解得R1.PA平面ADE，R1，可得，PA.正方形ABCD的外接圆直径为2r2ACAD，r2，PA平面ABCD，阳马PABCD的外接球半径R2，阳马PABCD的外接球的表面积为4R20.专题强化练一、单项选择题1.水平放置的ABC的直观图如图，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等

8、的三角形答案A解析AO2AO2，BCBOCO112.在RtAOB中，AB2，同理AC2，所以原ABC是等边三角形2(2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.答案C解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h，则由已知得h2ah.如图，设O为正四棱锥SABCD底面的中心，E为BC的中点，则在RtSOE中，h2h22，h2aha2，20，解得(负值舍去)3已知一个圆锥的侧面积是底面积的2

9、倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于()A. B. C. D.答案C解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则lR2r2，即2rR2r2，解得R2r，故ADC30，则DEF为等边三角形，设B为DEF的重心，过B作BCDF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则，故.4(2020大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻

10、璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为()A4 500元 B4 000元 C2 880元 D2 380元答案B解析因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.920.31.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.80.22(米)，则正四棱柱的体积V1.5224.5(立方米)因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.50.54(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用

11、最少为41 0004 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BEx，A1Fy，则三棱锥OAEF的体积()A与x，y都有关B与x，y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关答案B解析由已知得V三棱锥OAEFV三棱锥EOAFSAOFh(h为点E到平面AOF的距离)连接OC，因为BB1平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值又AOA1C1，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，所以AOF的面积是定值，所以三棱锥OAEF的体积与x，y都无关6在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2A

12、D2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121.7(2020全国)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64 B48 C36 D32答案A解析如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形AB

13、C的边长为a.由r24，得r2，则a2，a2，OO1a2.在RtOO1A中，由勾股定理得R2r2OO22(2)216，所以S球4R241664.8(2020武汉调研)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若ABAC1，AA12，BAC，则球O的体积为()A. B3 C. D8答案A解析设ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O平面ABC，ABAC1，AA12，BAC，2r2，即O1A1，O1OAA1，OA2，球O的体积VOA3.故选A.9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆

14、柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A. B.C81 D128答案B解析小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内设小圆柱下部分的高为h(0h5)，底面半径为r(0r5)由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2h252，所以小圆柱的体积Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，把V看成是关于h的函数，求导得V(3h5)(h5)当0h0，V单调递增；当h5时，V0，V单调递减所以当h时，小圆柱的体积取得最大值即Vmax，故选B.10已知在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等若点P，A，B，C都在半径为1

15、的球面上，则球心到平面ABC的距离为()A. B. C. D.答案C解析在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球O的半径为1，正方体的边长为，即PAPBPC，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积VSABCh SPABPC 3，ABC为边长为的正三角形，SABC，h，球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为.二、多项选择题11(2020枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容

16、器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图所示时，AEAH为定值答案AD解析由于AB固定，所以在倾斜的过程中，始终有CDHGEFAB，且平面AEHD平面BFGC，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；因为水面EFGH所在四边形，从图，图可以看出，EF，GH长度不变，而EH，FG的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错；假设A1C1与水面所在的平面始终

17、平行，又A1B1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A1B1C1D1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C错；水量不变时，棱柱AEHBFG的体积是定值，又该棱柱的高AB不变，且VAEHBFGAEAHAB，所以AEAH，即AEAH是定值，故D正确12. (2020青岛检测)已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC1DD12，则下列叙述正确的是()A该四棱台的高为BAA1CC1C该四棱台的表面积为26D该四棱台外接球的表面积为16答案AD解析将四棱台补为如图所示的四棱锥PABCD，并取E，E1分别为BC，B1C1的

18、中点，记四棱台上、下底面中心分别为O1，O，连接AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，OE，OP，PE.由条件知A1，B1，C1，D1分别为四棱锥的侧棱PA，PB，PC，PD的中点，则PA2AA14，OA2，所以OO1PO，故该四棱台的高为，故A正确；由PAPC4，AC4，得PAC为正三角形，则AA1与CC1所成角为60，故B不正确；四棱台的斜高hPE，所以该四棱台的表面积为(2)2()24106，故C不正确；易知OA1OB1OC1OD12OAOBOCOD，所以O为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为42216，故D正确三、填空题13(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位

19、：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧rl2，即rl2.由于侧面展开图为半圆，可知l22，可得l2，因此r1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S_cm2.答案2 600解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积S(40)(5080)2 600(cm2)15已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为_答案解析将正四面体补成正方体，则正

20、四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R2，则球O的体积VR3.16(2020新高考全国)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_答案解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则D1E且D1E平面BCC1B1，E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r.又由题意可得EPEQ，球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P，B1P1，同理C1Q1，P，Q分别为BB1，CC1的中点，PEQ，知的长为，即交线长为.