专题8 等差等比的概念和性质（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc

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1、专题8等差等比的概念与性质一、单选题1若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ）ABC1D【答案】D【分析】利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，所以，所以的值为，故选：D.2已知等差数列的前项和为，若，若，成等比数列，则（ ）A11B13C15D17【答案】A【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，再由，成等比数列，列出式子求解即可.【详解】解：由，解得：，又，成等比数列，即，解得：.故选：A3设等差数列an的前n项和为Sn，若a44，S972，则a10（ ）A20B23C2

2、4D28【答案】D【分析】根据已知条件，利用等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程组，求解得到首项和公差，然后利用通项公式求得.【详解】设等差数列an的公差为d,由a44，S972，得,解得,故选：D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题，关键是要熟练准确掌握等差数列的通项公式和求和公式，利用基本量思想求解.4在函数的图像上有点列，若数列是等比数列，数列是等差数列，则函数的解析式可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】把点列代入函数解析式，根据xn是等比数列，可知为常数进而可求得的结果为一个与n无关的常数，可判断出yn是等差数列【详解】对于A，函数上的点列xn，y

3、n，有yn，由于xn是等比数列，所以为常数，因此这是一个与n有关的数，故yn不是等差数列；对于B，函数上的点列xn，yn，有yn，由于xn是等比数列，所以为常数，因此这是一个与n有关的数，故yn不是等差数列；对于C，函数上的点列xn，yn，有yn，由于xn是等比数列，所以为常数，因此，这是一个与n有关的数，故yn不是等差数列；对于D，函数上的点列xn，yn，有yn，由于xn是等比数列，所以为常数，因此为常数，故yn是等差数列；故选：D【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.5已知等差数列，且，则数列的前13项之和为（ ）A24B39C104D52【答案】D【分析】根

4、据等差数列的性质计算求解【详解】由题意，故选：D6在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项（ ）A2B3C4D5【答案】D【分析】先求得二项式的展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列，由求得，从而由展开式中中间项二项式系数最大求解.【详解】二项式的展开式的通项为：，因为前三项的系数成等差数列，所以，即，解得（舍去）所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，故选：D7已知为等差数列，是其前项和，且，下列式子正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】由可计算出，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.【详解】由等差数列的求和公式可得，由等差

5、数列的基本性质可得.故选：B.8正数a，b的等差中项是，且，则的最小值是（ ）A3B4C5D6【答案】C【分析】由等差中项的性质得出，再由基本不等式求出最小值.【详解】由题意可知，当且仅当时，取等号故选：C9设等差数列的前项和为，若，则（ ）A60B120C160D240【答案】B【分析】利用等差数列的性质，由，得到，然后由求解.【详解】因为，所以由等差数列的性质得，解得，所以故选：B10已知数列xn满足x11，x2，且(n2)，则xn等于（ ）A()n1B()nCD【答案】C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故

6、选：C11在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A3、8、13、18、23B4、8、12、16、20C5、9、13、17、21D6、10、14、18、22【答案】C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则，则，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C12已知等比数列的前n项和为，若，公比，则（ ）A4B8C73D256【答案】C【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出的值.【详解】因为等比数列的前n项和为，且，又公比，又因为，所以.故选：C.二、填空题13_.

7、【答案】【分析】正负号可用来调节，分式可整理为同分母的分数，以便观察总结规律.【详解】解：数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，得到,故答案为：。【点睛】本题根据数列的前几项观察归纳数列的通项公式，属基础题，注意将数列的各项适当整理变形，注意用调节正负号.14设等比数列的公比为2，前项和为，则_.【答案】【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为数列为等比数列，所以，所以，所以.故答案为：.15设数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为，则的前项和为_.【答案】【分析】先根据题意得，由于数列是以为首项，为

8、公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案.【详解】解：由等比数列的前项和公式得，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，设的前项和，则.故答案为：【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出，再结合数列是以为首项，为公比的等比数列，再次求和即可.16在公差不为0的等差数列an中，a1、a3、a4成等比数列，则该等比数列的公比为_.【答案】【分析】设等差数列an的公差为，利用等比中项求出和的关系，代入求值即为该等比数列的公比【详解】设等差数列an的公差为则，即，解得则该等比数列的公比为故答案为：三、解答题17已知数列满足：=1，.（1）求证：数列是等

9、比数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列的定义，证明数列是等比数列；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.【详解】（1）设，则，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列（2）由（1）得，即.两式相减得.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.18设等差数列an的公差为d，前n项和为

10、Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.（1）求数列an，bn的通项公式；（2）当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意，可得，即或所以或又由，所以或.（2）由d1，知，故于是：-得：故【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能

11、较好的考查学生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19设是公比为正数的等比数列， ，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等比数列的定义求出公比后，再根据可得结果；（2）根据等差数列的首项和公差求出后再根据等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到结果.【详解】（1）由题意设等比数列的公比为q，即，的通项公式.（2）是首项为1，公差为2的等差数列，数列的前n项和.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题

12、.20已知等比数列中，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足求的前n项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，则，即，可求出，得出答案.（2）由（1）有，然后分组利用等差数列和等比数列的前n项和公式可求和.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，又则由于是和的等差中项，得，即，解得所以，（2）21已知是等比数列，是等差数列，.（1）求与的通项公式；（2）记表示不大于的最大整数，.若将数列的前21项和记为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意得等比数列的公比为，等差数列的公差，进而得，；（2）由（1）得，进而利用裂项相消求和法得，故.【详解】

13、解：（1）因为，所以公比，则的通项公式为.又因为，所以公差，则的通项公式为.（2）因为，所以，故.【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，裂项相消求和法，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于正确的使用裂项得，进而根据裂项相消求和即可得，最后根据定义计算即可.22已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值；（3）记，数列的前项和，求证：.【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列与的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式可求得，结合等式可计算得出实数的值；（3）计算得出，利用裂项相消法可求得，即可证得结论成立.【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由，可得，解得，因此，；（2），所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，由可得，所以，；（3），.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.