选择性必修第一册1.4空间向量的应用同步练习（Word含答案解析）.docx

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1、人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习一、单选题1如图，在三棱锥中，已知，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD2空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（）A平行B重合C必定相交D必定垂直3如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（）ABCD4已知空间三点，若向量与的夹角为60，则实数（）A1B2CD5已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则()A1B11C1或11D216已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PDAD，PDAD2，二面角P-AD-C为60，则P到AB的距离是（）A2B C

2、2D 7若平面，的法向量分别为，并且，则x的值为（）A10BCD8已知两不重合直线和的方向向量分别为，则与的位置关系是（）A平行B相交C垂直D不确定9如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD10若平面，的法向量分别为，则AB与相交但不垂直CD或与重合11平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（）A平行B重合C平行或重合D垂直12已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（）ABCD二、填空题13在正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当_时，平面14

3、已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM 平面，则下列说法正确的是_若N为中点，当AMMN最小时，； 当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为； 若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为15正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB平面D1EF，则|MD|的取值范围是_16如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：存在点P，使得；的面积越来越小

4、；四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_.17如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为_.三、解答题18如图，在直四棱柱中， （1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长19在中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.(1)当时，证明：平面；(2)是否存在实数，使三棱锥的体积为？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并求出与平面所成角的正弦值.20如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值.21如图，在直四棱

5、柱中，（1）证明：；（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值试卷第7页，共7页参考答案：1A取的中点为，连接，证明平面，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】取的中点为，连接因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面因为，所以如图建立空间直角坐标系，则所以所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A2D结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.【详解】，由因为，所以，即，所以，又因为，所以，故选：D.3D取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦

6、.【详解】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，BEAC，DEAC，因为面面，面面，所以BE面ADC,以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则,平面ACD的一个法向量为而，设为面BCD的一个法向量，则：即 ，不妨令x=1，则设二面角的平面角为，则为锐角，所以.故选：D向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.4B直接由空间向量的夹角公式计算即可【详解】，由题意有即，整理得，解得故选：B5C先求出，由题得，即，解方程即得解.【详解】，而，即，解得或11.故

7、选：C本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.6D先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.【详解】因为ABCD为正方形，所以ADDC.由PDC为二面角P-AD-C的平面角，即PDC60.如图所示，过P作PHDC于H.,AD面PDC.,AD面PH.又PHDC, ,PH面ABCD,在平面AC内过H作HEAB于E，连接PE，则PEAB，所以线段PE即为所求以H为坐标原点建立空间直角坐标系，则所以,故选:D.方法点睛：距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求值；（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.7C根据两个法向量共线可得的值.【

8、详解】因为，共线，故，故，故选：C.8A根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解【详解】因为，所以，所以，故选：A9B取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解.【详解】取的中点，连接，因为，所以又因为平面平面，平面平面，面，所以平面，又因为，可得两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为是等腰直角三角形，为等边三角形，可得， 所以，所以，设异面直线与所成角为，则 所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：B.10A可判断两个平面的法向量共线，根据法向量

9、平行可知两平面平行【详解】解：因为平面，的法向量分别为，即，所以所以故选：A本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题11C由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，平面与平面的关系是平行或重合故选：C12C建立空间直角坐标系，【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有，设，由图知不是平角，为钝角等价于，解得的取值范围是故选：C.13首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.【详解】如图，

10、建立空间直角坐标系，设棱长为， 若平面，则，即，解得：，所以 故答案为：14利用展开图判定、三点共线，进而利用相似三角形判定选项正确；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定错误；利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定正确利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.【详解】对于：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），若最小，则、三点共线，因为，所以，所以，即，故正确；对于：当点与点重合时，连接、，（如图所示），在正方体中，平面，平面，所以，又因为

11、，且，所以平面，又平面，所以，同理可证，因为，所以平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；设、，分别是，、，的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即错误；对于：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则，0，4，设，4，因为平面，所以是平面的一个法向量，且，4，4，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故错误；对于，连接、，设平面交棱于点，0，4，所以，4，因为平面，平面，所以，即，得，所以，0，即点是的中点，同理点是的中点，则且，所以四边形是

12、梯形，且，设，0，则，所以梯形的高，即点到直线的距离，为，所以梯形的面积为，故正确；对于，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，所以表面积为故答案为：解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.15建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面D1EF的一个法向量，结合线面平行的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.【详解】因为ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4）

13、，E（2,1,0），因为，所以F是CC1四等分点（靠近C），所以F（0,2,1），所以，设平面D1EF的一个法向量为，则，即，令c2，则，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，故，因为0x2，0z4，所以，故，因为，所以|MD|在上单调递减，所以当x时，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值为，当x2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为，所以|MD|的取值范围是故答案为：.16建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项，列出方程，求出m的值；选项，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体

14、积不变.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设（），则，令，解得：，存在点P，使得，正确；，设点P到直线距离为，则所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，正确；以为底，高为点P到上底面的距离，因为底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，正确.故答案为：17以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，则,则,.设平面ABC1的一个法向量为,则有，不妨设z=1，解得,则所求距离为故答

15、案为：.18（1），（2）（1）推导出，以A为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长【详解】解（1）在直四棱柱中，因为平面，平面，平面，所以因为，所以以A为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为点为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角的大小为，因为直线与平面所

16、成角的正弦值为，所以，解得或（舍去）所以关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题19(1)证明见解析(2)存在，（1）依题意可得，取的中点，连接交于点，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点，连接，即可得到平面，根据锥体的体积求出到的距离为1，即可得到为的中点，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；(1)解：在中，即，则，取的中点，连接交于点，当时，是的中点，而是的中点，是的中位线，在中，是的中点，是的中点，

17、在中，则，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，而，平面平面(2)解：取的中点，连接，则，而平面平面，平面平面，平面，平面，且，又，所以到的距离为1，为的中点，此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，则，即令，则，设与平面所成的角为，则与平面所成的角的正弦值为.20（1）证明见解析；（2）.（1）要证平面平面，只要证平面，即证且，前者可以由为等边三角形得到，后者由平面得到.（2）建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.【详解】（1）由题，为的中点，可得，平面平面，平面.又平面，. 平面.平面平面.（2）取的中点，的中点，连接，平面平面平面，平面分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则.即.可取同理，可得平面的法向量所以二面角所成角的余弦值为21（1）证明见解析；（2）（1）先证明平面，即可证明（2）记，过作，以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）直四棱柱中，平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以（2）记，过作，以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，由已知易得，所以，又，所以，所以，设平面的法向量为，则，即不妨令，所以与平面所成角的正弦值为答案第28页，共28页