2021-2022学年高二物理竞赛教案 ：量子力学之力学量和算符.docx

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1、第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。 3.1 力学量算符的引入 3.2 算符的运算规则 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.4 连续谱本征函数 3.5 量子力学中力学量的测量 3.6 不确定关系 3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确

2、定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。力学量的平均值 对以波函数描述的状态，按照波函

3、数的统计解释，表示在t时刻在 中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: 坐标的函数的平均值是： 现在讨论动量的平均值。显然，的平均值不能简单的写成，因为只表示在 中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要计算，应该先找到在时刻，在中找到粒子的概率，这相当于对作傅里叶变化，而有公式 给出。动量的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到记动量算符为 则 从而有 例如：动能的平均值是 角动量的平均值是 综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。 下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一维运动，

4、设量子体系沿方向做一空间平移，这是状态由原变为，如图所示。显然 （3.1.13）若，可做泰勒展开 （3.1.14）即当在无穷小的情况下，取准确到一级项有 （3.1.15）因此，状态经空间平移后变成另一态，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。推广到三维运动，状态在空间平移下，变为 （3.1.16） 3.2 算符的运算规则3.2.1 算符的定义 所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数变为，记作则

5、表示这种运算的符号就称为算符。 如果算符作用于一个函数，结果等于乘上一个常数，记为 （3.2.1） （3.2.1）则为的本征值，为的本征函数，上述方程称为的本征方程。 若算符满足： （3.2.2） （3.2.2）其中、为任意函数，、为常数，则称为线性算符若算符满足 （3.2.3）（3.2.3）为任意函数，则称为单位算符。3.2.2 算符的运算规则 算符之和 （3.2.4） 为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律 显然，线性算符之和仍为线性算符。 算符之积 （3.2.5）注：一般情形 （3.2.6）（3.2.6）比方，取，则 但 因此 （3.2.7）（3.2.7）由于是任意函数，从(3.

6、2.7)式得 （3.2.8） 从（3.2.8）可见， 记和之差为 （3.2.9）称为算符，的对易关系或对易子。式（3.2.8）可记为 若算符和的对易子为零，则称算符和对易。利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式 （3.2.10）最后一式称为雅可比恒等式。作为例子，我们讨论角动量算符 （3.2.11）它们和坐标算符的对易子是 （3.2.12）（3.2.12）式可表示为 （3.2.13）上式中，=1,2,3表示相应的分量，成为列维-斯维塔记号，满足 （3.2.14）任意两个下脚标相同，则为零。同理可得 （3.2.15） （3.2.16）式中不为零的等式也可写成 （3.2.17）坐标和动量

7、的对易子可写为 （3.2.18）其中 （3.2.19）角动量算符的平方是： （3.2.20）则 （3.2.21）在球坐标系下 （3.2.22）则 （3.2.23）将r 两边对x 求偏导，得： （3.2.24）将两边对x求偏导，得：（3.2.25）再将两边对x求偏导，得： （3.2.26）利用这些关系式可求得： （3.2.27）同理可得： （3.2.28） （3.2.29） 则角动量算符可表示为： （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）由此可得： （3.2.33） （3.2.34） （3.2.35）所以 （3.2.36）则的本征方程可写为： （3.2.37）在数理方法中已讨论过，必

8、须有： （3.2.38）可解得： （3.2.39） 为归一化系数，为连带勒让得多项式。所以 （3.2.40） 因为表示角动量太小，所以称为角动量量子数，称为磁量子数。 对应于一个的值，可以取个值，因而对于的一个本征值，有 个不同的本征函数。我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是度简并的。同理： （3.2.41）即在态中，体系的角动量在轴方向投影为 一般称的态为态，的态依次为 态。 现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕轴滚动角并以 算符变换表示：，当，即在无穷小转动下，对做泰勒展开，准确到一级项有 （3.2.42）因此，

9、状态在空间转动后变为另一状态，它等于某个变换算符作用于原来态上的结果，而该变换算符，特别在无穷小转动下，角动量算符纯粹反映空间转动的特征，又称角动量算符为空间转动无穷小算符，从而角动量反映着空间转动变化的特性。 算符的乘幂算符的次乘幂定义为 （3.2.20） 算符的函数 （3.2.21） 算符的逆若算符满足 且能从上式唯一的解出来，则定义算符的逆算符为 （3.2.22） 并非所有的算符都有逆算符存在。但若存在，则必有 （3.2.23） 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些定义：1.希尔伯特

10、空间中矢量的内积 希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定及时后的两 个波函数和的内积为 （3.3.1）它具有下述性质： （3.3.2）若、为常数2. 转置算符若算符满足 （3.3.3）即 （3.3.4）则称为转置算符。、为任意函数。3. 复共轭算符 将算符中的所有复量均换成它的共轭复量，称为的复共轭算符。例如算符的复共轭算符。4. 厄米算符算符的厄米共轭算符，定义为 （3.3.5）则 （3.3.6） 厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符。b.当且仅当两厄米算符 和 对易时，它们之积才为厄米算符。因为 （3.3.7）只有在 时， ，才有 ，即 仍为厄米算符。c.无论厄米算符 、 是否

11、对易，算符 及 必为厄米算符，因为 （3.3.8）d.任何算符总可分解为 （3.3.9） 令 、 ，则 和 均为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：厄米算符的平均值是实数，因为 （3.3.10）在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。厄米算符的本征函数系具有完备性。厄米算符的本征函数系具有封闭型。性质的证明：由得 （1）上式并不足以说明算符 厄米，因为 是同一个态。要证明 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 成立

12、，而且 、 为任意波函数。为此令 ，利用（1）式得 （2） 因为 在 、 中的平均值也是实数，所以上式又写为 （3）对 和 作变换，令 ， （为任意实数）代入（3）式后得 （4）因为 任意，上式成立的充要条件为 因此， 必为厄米算符。得证。性质的证明： 且 ，因为 是厄米算符，它的本征函数是实数， 。本征方程的共轭方程为 由 及 的厄米性质， ，及 得又因得得证。若本征函数是正交归一化的，则有 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。 3.4 连续谱本征函数鉴于厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭等重要性质，可以用它作为希尔伯特空间的基矢；而且在量子力学中，可观测量对应线性厄米算符

13、，因此在本节中我们将先罗列一些线性厄米算符的本征函数系，然后再讨论若本征函数位连续谱本征函数时，如何进行归一化。1.线性厄米算符的本征函数示例坐标算符由本征方程 （3.4.1）可知算符 在自身表象中的本征函数是 。而 连续取值，是连续谱本征函数。动量算符由本征方程 （3.4.2）可知在以 的本征函数为基矢的 表象中，算符 的本征函数是平面波 ，本征值 也是连续取值。2.连续谱本征函数的归一化无穷空间的归一化以平面波为例。 的本征函数 不能用普通的方法归一化，因为它的模不是平方可积的， （3.4.3）不能使它归一化为1。在数学上只能归一化为 函数。利用公式 （3.4.4）得 （3.4.5）事实上

14、，凡连续谱本征函数都可用 函数的方式归一化。箱归一化 如果仍然要求按照通常的方式对动量的本征函数归一化，即仍然要归一化为1而不是 函数，就必须放弃无穷空间的积分，采用箱归一化的方法。先以一维为例。设一维平面波只能在 的区间中运动，且满足周期性条件：波函数 （3.4.6）注：为保持动量算符 在 范围内为厄米算符，要求波函数满足周期性边界条件。由 则 即 则 即 （3.4.7）从而有 （3.4.8）它的归一化条件 （3.4.9）显然，若 ，即箱的体积为无穷大时，由（3.4.7）式可知 ，本征谱变成连续谱，回到无穷空间的归一化的情况。从分立谱过渡到连续谱时，存在如下对应关系： （3.4.10） （3

15、.4.11）易将上述结果推广到三维情况。取体积 ，则箱归一化后的波函数为 （3.4.12） （3.4.13） （3.4.14） （3.4.15）三维情况下，箱归一化的正交归一化条件是 （3.4.16）其中 及 按（3.4.13）式的分立方式取值。在连续谱情况下，正交归一条件是 （3.4.17） 3.5 量子力学中力学量的测量1.力学量有确定值的条件 记与某一力学量 相应的算符为 ， 必为线性厄米算符。现在问：在什么状态下，测量力学量 有确定值？ 为此，先给“确定值”以严格的定义。在量子力学中，在某一状态 中测量力学量 具有确定值的充要条件是在该状态中力学量 的平方平均偏差为零。即 （3.5.1

16、） 由于 厄米， 的平均值 是个实数，因此 也为厄米，利用 厄米的条件可将上式写为 （3.5.2）于是得出： 的充要条件是即 （3.5.3） 由此得出结论：当且仅当 是力学量 的本征态时，在 的本征态 中测量 才有确定值。而且这个确定值就是在这个态的平均值。 （3.5.3）式实际上就是 的本征方程， 在态 的平均值 等于它的本征值。正因为 相应于态 的本征值就是它的平均值，也是它的实验测到的准确值，因此本征值和平均值都必须是实数。2.在非 的本征态中测量设 所满足的本征方程为 （3.5.4）现在在一个非 的本征态 中测量 。因为 的本征函数系 正交归一完备，因此总可将 按 展开 （3.5.5）

17、 的平均值是 （3.5.6）因此，在非 的本征态 中测量力学量 ，无确定值，但有平均值，而且平均值是由 的本征值 通过统计平均求来的。在 中出现 的几率是 ， 是将态 按 展开时出现 态的几率幅。因此得出结论：在非 的本征态 中测量 ，虽然无确定值，但有各种可能值。这些可能值就是 的本征值，而且可能值 出现的几率为 。这个结论无论对 的本征谱是分离谱、连续谱，还是既有连续谱又有分离谱都成立。3.不同力学量同时有确定值的条件若 在态 有确定值，则 必须是 的本征态，有 （3.5.7）同理，另一力学量 在态 中有确定值的，则 不然也是 的本征态，有 （3.5.8） 必须是 和 的共同本征函数。由即

18、 （3.5.9）但（3.5.9）式并不能说明 和 对易，因为 只是一个特定的波函数而非任意波函数。例如： ，是个与角度无关的常数，虽然 和 不对易，但 使它们的共同本征函数。 关于算符的对易性和测量的关系，存在下述定理和逆定理： 定理 若线性厄米算符 和 有不止一个共同本征函数，且这些本征函数构成完备系，则 和 必定可对易。 证：假定这些共同本征函数构成分离谱本征函数系 。任何一个波函数 均可展开为 由于 是任意波函数，因此必有 ， 和 对易。 证毕。 逆定理 若线性厄米算符 和 对易，则它们必有共同的本征函数系，而且着共同本征函数系必为完备系。 现在对上述定理作些总结和讨论： a.虽然两相互

19、对易的算符 和 有完备的共同本征函数系，但 的本征函数不一定总是 的本征函数。只有当 的本征值无简并时， 的本征函数才一定是 的本征函数。在由简并时，一般来说，需要将属于同一个本征值的本征函数重新作线性组合，才能得出 的本征函数; b.力学量完全集的数目与体系自由度的数目相一致; c.简并来自于不完全测量。 综上所述, 量子力学中的力学量以线性厄米算符来表示, 力学量取确定值的态就是力学量算符的本征态, 力学量的数值就是算符的本征值. 力学量算符的本征函数系是正交归一完备系, 它们是力学量所有可能值及其相应态. 任意状态下, 力学量一般不取确定值, 而是一系列可能值. 而测的可能值的几率就是任

20、意态在该力学量本征函数完备系中展开系数模的平方. 3.6 不确定性原理 设 和 为两个不对易的线性厄米算符。在 的本征态中测量力学量 ，有确定值，在数值上等于 在该态的平均值。现在问，在 的本征态中测量另一力学量 ，会出现什么结果？进一步，如果在任一个既非 又非 的态中测量 和 ，又会出现什么结果？ 不确定性原理回答了这个问题。我们先来对这个原理做一般证明：构造积分 式中， 是实参量， 是任意波函数， 之所以大于或等于零是因为被积函数不小于零。将（3.6.1）式的平方项展开，得 由于 ， 厄米，上式可写为 式中算符 满足 ，（3.6.2） 是关于 的二次式，不等与（3.6.2） ，成立的条件是

21、 即 （3.6.4）式对任意两线性厄米算符 ， 均成立。令 显然， ， 也是线性厄米算符，它们的对易子满足 由上两式可得 取算符 ， ，由 及（3.6.6）式得 （3.6.7）式表明， 和 不能同时为零，而且坐标 的方均偏差越小，动量 的方均偏差越大，反之亦然。同理可得 （3.6.7）和（3.6.8）式称为不确定性原理。利用不确定性原理说明量子力学中的零点能。一维谐振子为例。它的平均能量是 利用厄米多项式的性质可得由及（3.6.9） 式得 按不确定性原理， 和 不同时为零，因而 的最小值必不为零，这就是零点能。为求最小值，在式中取等号，得 则 这就是一维谐振子的零点能。 3.7 守恒与对称1.

22、 力学量随时间的变化 在波动力学中，体系状态随时间的变化由薛定谔方程描述。在本章中，我们又看到在量子力学中力学量用算符表示。力学量随时间的变化可以归结为算符随时间的变化。 首先我们讨论平均值随时间的变化，并由此给出算符随时间的变化规律。 在任一态中的平均值为 当体系所处的状态随时间变化时， 将随时间变化。将（3.7.1）式对时间微商得: 由于 故有即 若 不显含时间， 又可写为 2. 运动积分和守恒量 若算符 对时间的全微商为零则称算符 所表示的力学量为运动积分。由（3.7.5）式可得：运动积分在任何状态中的平均值都不随时间而变化，是守恒量。由（3.7.6）式，若 不显含时间 ， ，且与哈密顿

23、量对易，则 必为守恒量，或称运动积分。 体系的守恒量由下述性质： 守恒量在任何状态下的平均值不随时间变化。在任何状态 下测量守恒量 ，其几率分布均不随时 间改变而改变。若体系有两个或两个以上的守恒量，而且这些守恒量彼此不对易，则一般来说，体系的能级简并。3. 对称性与守恒律 所谓对称性，是指的体系的拉格朗日量或哈密顿量在某种变换下的不变性。这些变换，一般可分为连续变换、分立变换和对内禀参量的变换。每一种变换下的不变性，都对应一种守恒律。 设体系的哈密顿量或薛定谔方程在变换 下具有不变性。在变换 下，波函数 变为 由于体系对于变换 不变，因此 和 满足同样的薛定谔方程： 于是有 比较上面的式子得 即 这说明，算符 与 对易。另外，由几率守恒可证明，变换 满足 对于无穷小变换，准确到一阶小量，有 从而有因此 是个厄米算符。可以把它定义为与变换 相联系的力学量，而且由（3.7.14）得 力学量 是守恒量。对称性与守恒定律