2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第八章8.7立体几何中的向量方法（Word学案）.DOC

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1、8.7立体几何中的向量方法(教师独具内容)1理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系能用向量的方法证明有关线面关系的一些定理2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题3能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题4重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)本考点是历年高考必考的内容，主要以解答题的形式进行考查，试题以棱柱或棱锥等多面体为载体，与空间平行、垂直关系的判断、证明、线面角或二面角的求解以及探索性问题等相结合，综合性较强其中以棱柱或棱锥为载体考查线面角或二面角的求解是高考的热点(教师独具内容)

2、(教师独具内容)1空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量(3)2异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角a，bl1与l2所成的角范围0a，b00)，因为DE2EA，由三角形相似可得E，又因为C(0,0,0)，B(0，0)，所以(0，0)，.设平面BCE的法向量为n1(a，b，c)，由n10，n10，并令c1，得n1.易得平面BCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cos45，所以m，由相似三

3、角形易得AO1，所以VABCDSBCDAO11.解法二(几何法)：如图，取OD的三等分点F，使得2OFDF，取BC的三等分点G，使得2CGBG，连接EF，FG，EG，因为2AEDE，所以AODEFD.所以AOEF.由(1)知，AO平面BCD，所以EF平面BCD，所以EFBC，EFFG，又OD1，所以OB1，OF，DF，BF，所以2DFBF，所以BCDBGF.所以GFCD，且GFCD.因为OBODOC1，所以BCCD，BC.所以GFBC.又因为EFBC，EF平面EFG，GF平面EFG，EFGFF，所以BC平面EFG.所以BCEG.所以EGF即为二面角EBCD的平面角，所以EGF45，又因为EFF

4、G，所以EFG为等腰直角三角形，所以EFFG，由相似三角形易得AO1，所以VABCDSBCDAO11.2(2021新高考卷) 在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA，QC3.(1)证明：平面QAD平面ABCD；(2)求二面角BQDA的平面角的余弦值解(1)证明：取AD的中点O，连接QO，CO.因为QAQD，OAOD，所以QOAD，而AD2，QA，故QO2.在正方形ABCD中，因为AD2，故DO1，故CO，因为QC3，故QC2QO2CO2，故QOC为直角三角形且QOCO，因为COADO，故QO平面ABCD，因为QO平面QAD，故平面QAD平面ABCD.(2)在平面ABCD

5、内，过O作OTCD，交BC于T，则OTAD，结合(1)中的QO平面ABCD，故可建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,1,0)，Q(0,0,2)，B(2，1,0)，故(2,1,2)，(2,2,0)设平面QBD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z，故n.而平面QAD的一个法向量为m(1,0,0)，故cosm，n.由图易知二面角BQDA的平面角为锐角，故其余弦值为.3(2020新高考卷) 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值解(

6、1)证明：在正方形ABCD中，ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以ADl.因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以ADDC，所以lDC，又PD平面ABCD，所以ADPD，所以lPD.因为DCPDD，所以l平面PDC.(2)如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为PDAD1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1，0,0)，P(0，0,1)，B(1，1,0)，设Q(m,0,1)，则有(0,1,0)，(m,0,1)，(1,1，1)设平面QCD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则zm，所以平面QCD

7、的一个法向量为n(1,0，m)，则cosn，.设直线PB与平面QCD所成的角为，则sin|cosn，|，当且仅当m1时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.一、基础知识巩固考点利用空间向量证明平行或垂直例1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.证明由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)

8、，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)由题意知AA1A1B1，AA1A1C1，又A1B1A1C1A1，所以AA1平面A1B1C1.因为(2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即.又MN平面A1B1C1，所以MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1,2,0)，(1,0,2)，所以得令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0,1,1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面

9、MBC1平面BB1C1C.例2如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E，F分别为BC，A1C的中点求证：(1)EF平面A1B1BA；(2)平面AEA1平面BCB1.证明因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，AA1BB1，所以以过E作平行于BB1的直线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为AB3，BE，所以AE2，所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0,2,0)，B(，0,0)，B1(，0,2)A1(0,2，)，则F.(1)，(，2,0)，(0,0，)设平面A1B1BA的一个法向量

10、为n(x，y，z)，则所以取所以n(2，0)因为n(2)100，所以n.又EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因为EC平面AEA1，所以(，0,0)为平面AEA1的一个法向量又EA平面BCB1，所以(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量因为0，所以，故平面AEA1平面BCB1.1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点求证：(1)EF平面PAD；(2)平面PAB平面PDC.证明(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PA

11、D平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又四边形ABCD是正方形，所以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为，因为，且0，所以OFEF，又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD平面PDC，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.2. 如图，正

12、方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO，且FO平面ABCD.求证：(1)AE平面BCF；(2)CF平面AEF.证明取BC的中点H，连接OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，ACBD，OHAC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，F(0，0，)，B(1,2,0)(2，2,0)，(1,0，)，(1，2，)(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得n(，1)又四边形BDEF为平行四边形，(1，2，)，(2，2,0)(1，2，)(3，4，)，n340，n，又AE

13、平面BCF，AE平面BCF.(2)(3,0，)，330，330，即CFAF，CFAE，又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.用空间向量证明平行与垂直的一般步骤第一步：寻找空间几何体中的垂直关系，选取原点，建立适当的空间直角坐标系；第二步：用向量表示空间几何体中的点、线和平面等元素，建立空间图形与空间向量的联系；第三步：进行空间向量的坐标运算；第四步：将空间向量运算的结果转化为空间图形中待证的结论考点求异面直线所成的角例3如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM与CN夹角的余弦值为_答案解析以，作为基底，则，()设向量与的夹角为，则直线AM和C

14、N夹角的余弦值为|cos|.()2.又ABC和ACD均为等边三角形，所以|.所以cos.所以直线AM与CN夹角的余弦值为.例4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF与BC1所成角的大小解以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)设AB1，则B(0,0,0)，E，F，C1(1,0,1)，所以，(1,0,1)于是cos，所以直线EF与BC1所成角的大小为60.3. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱AD上一点，若异面直线

15、D1E与A1F所成角的余弦值为，则的值为_答案解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，(0,2，1)，(2，0，2)cos，解得.4. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面

16、PAC.(2) 设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)设PB与AC所成的角为，则cos.即PB与AC所成角的余弦值为.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹

17、角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角考点求直线与平面所成的角例5在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，AB，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)(1)证明：(，1,0)，(，3，3)，0，ACB1D.(2)设平面ACD1的法向量为m(x，y，z)(，1,0)，(0,3,3

18、)，则取x1，则m(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成的角为.(0,1,0)，sin，直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.例6如图1，在RtACB中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D上的点，试确定点M的位置，使得直线CM与平面A1BE所成角的正弦值为.解(1)证明：因为C90，所以BCCD，BCA1D，因为CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD，所以BC平面A1CD，因为A1C平面A1CD，所以BCA1C，又A1CCD，C

19、DBCC，所以A1C平面BCDE.(2) 以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，因为DEBC，所以，所以AD4，CD2，A1C2，所以A1(0,0,2)，B(3,0,0)，E(2,2,0)，D(0,2,0)，(2,2，2)，(1,2,0)，(0，2,2)设点M的坐标为(0，y0，z0)，(0,1)，则所以(0,22，2)，设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则y1，z，即n(2,1，)设直线CM与平面A1BE所成的角为，则sin，即，解得或，所以M为线段A1D(靠近点A1)四分之一处的点或三分之二处的点5如图，在直三棱柱ABCA

20、1B1C1中，D为AC的中点若ABBCBB1，ABC，则CC1与平面BC1D所成角的正弦值为_答案解析取A1C1的中点D1，连接DD1.ABBC，ABC，D为AC的中点，BDAC，DBADDC.DB，DC，DD1两两垂直，以D为坐标原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设DBADDC1，则ABBCBB1.D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1，)，(1,0,0)，(0,1，)，(0,0，)设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，则即令y，则z1，即n(0，1)设直线CC1与平面BC1D所成的角为，则sin，直线CC1与

21、平面BC1D所成角的正弦值为.6如图，在RtABC中，B为直角，ABBC6，点E，F分别为线段AB，AC上一点，且EFBC，AE2，沿EF将AEF折起，使AEB，得到如图的几何体，点D在线段AC上(1)求证：平面AEF平面ABC；(2)若AE平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值解(1)证明：如题图，在ABE中，AE2，BE4，AEB，由余弦定理得AB2AE2BE22AEBEcosAEB41622412，AB2.EB2EA2AB2，EAB，即EAAB，又EFEB，EFEA，EAEBE，EA，EB平面ABE，EF平面ABE，又AB平面ABE，EFAB，又EAEFE，EA，EF平面AEF

22、，AB平面AEF，又AB平面ABC，平面AEF平面ABC.(2) 解法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，F(0，2,2)，C(2，0,6)，(0,2,2)，(2，2，2)，(2，0,6)连接EC与FB交于点G，连接DG，AE平面BDF，DG为平面AEC与平面BDF的交线，AEGD，在四边形BCFE中，EFBC，EFGCBG，3，3，设D(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z0)，由，得D，.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则取x1，则z，y0，n(1,0，)，设直

23、线AF与平面BDF所成的角为，则sin.即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为.解法二：以A为坐标原点，AB，AE所在直线分别为x，y轴，过点A垂直于平面AEB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0)，E(0,2,0)，B(2，0,0)，F(0,2,2)，C(2，0,6)(0,2,0)，(0,2,2)，(2，0,6)，(2，2,2)设(2，0,6)(01)，则(22，0,6)，设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n.由AE平面BDF，得n20，即.n(1,0，)设直线AF与平面BDF所成的角为，则sin|cosn，|.直线AF与平面BDF所成角的正弦值为.利用

24、向量法求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角考点求二面角例7如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解(1)证明：连接ME，B1C，M，E分别为BB1，BC的中点，ME为B1BC的中位线，MEB1C且MEB1C，又N为A1D的中点，且A1DB1C，NDB1C

25、且NDB1C，MEND，且MEND，四边形MNDE为平行四边形，MNDE.又MN平面C1DE，DE平面C1DE，MN平面C1DE.(2) 由已知可得DEDA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则即可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则即可取n(2,0，1)，于是cosm，n，二面角AMA1N的正弦值为.例8(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BF

26、GC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，平面BCGE平面ABCBC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2

27、，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1，1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的一个法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.7.如图，在RtABC中，B为直角，AB2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点(1)证明：MF平面BCD；(2)若DEBE，求平面EMF与平面MFC夹角的余弦值解(1)证

28、明：如图，取BD的中点N，连接MN，EN，MNBC，MNBC，EFBC，EFBC，MNEF，MNEF，四边形EFMN是平行四边形，EFBE，EFDE，BEDEE，BE，DE平面BDE，EF平面BDE，EFEN，MFMN，在DFC中，DFFC，又M为CD的中点，MFCD，又CDMNM，CD，MN平面BCD，MF平面BCD.(2) DEBE，DEEF，BEEFE，BE，EF平面BEF，DE平面BEF，以E为原点，BE，EF，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC2，则E(0,0,0)，F(0,1,0)，C(2,2,0)，D(0,0,2)，M(1,1,1)，(0,1,0)，(1,

29、0,1)，(2，1，0)，设平面EMF的法向量为m(x，y，z)，则取x1，得m(1,0,1)，同理，得平面MFC的一个法向量为n(1,2,1)，设平面EMF与平面MFC的夹角为，则cos，平面EMF与平面MFC夹角的余弦值为.8(2021全国甲卷) 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？解(1)证明：因为直三棱柱ABCA1B1C1中，F为CC1的中点，侧面AA1B1B为正方形，且ABBC2，所以C

30、F1，BF，连接AF，由BFA1B1且ABA1B1，得BFAB，所以AF3.所以AC2，由AB2BC2AC2，得ABBC.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，于是A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，设B1Dm(0m2)，则D(m,0,2)于是(0,2,1)，(1m,1，2)由0，得BFDE.(2)易知面BB1C1C的一个法向量为n1(1,0,0)设面DFE的法向量为n2(x，y，z)，又(1m,1，2)，(1,1,1)，所以即令x3，得ym1，z2m，于是面DFE的一个法向量为n2(3，m1,2m)，于是cosn1，n2.当m时，面BB1

31、C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，为，此时其正弦值最小，为，即当B1D时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小考点求空间距离例9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直

32、线FC到平面AEC1的距离解以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0，1,1)，C1(0,1,0)，E，F，所以(0,1,0)，(1,1，1)，.(1)取a(0,1,0)，u(1,1，1)，则a21，au.所以点B到直线AC1的距离为.(2)因为，所以FCEC1，所以FC平面AEC1.所以直线FC到平面AEC1的距离为点F到平面AEC1的距离设平面AEC1的法向量为n(x，y，z)，则所以取z1，则x1，y2.所以n(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量又因为，所以点F到平面AEC1的距

33、离为.即直线FC到平面AEC1的距离为.9. 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，求点A到平面MBC的距离解如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD，所以OM平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)设平面M

34、BC的法向量为n(x，y，z)，则即取x，可得平面MBC的一个法向量为n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距离为d.10. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，N是CC1的中点，N(0,4,2)(1)(0,4,2)，(2，2,0)，则|2，|4.设点N到直线AB的距离为d1，则d14.(2)设平面ABN的法向量为n(x，y，z)，则令z2，则y1，x，即n.易知(0,0，2)，设点C1到平面

35、ABN的距离为d2，则d2.求点到平面的距离的方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)等体积法(3)向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便二、核心素养提升例1如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1PD1E，则线段B1P的长度的最大值为()A.B2C2D3答案D解析以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设P(a，b,0)，则D1(0,0,2)，E(1，2,0)，B1(2,2,2)，(a2，b2，2)，(1,2，2)，B1PD1E，a2

36、2(b2)40，a2b20，点P的轨迹是一条线段，当a0时，b1；当b0时，a2，设CD的中点为F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为2；当P与F重合时，P(0,1,0)，(2，1，2)，线段B1P的长度|3，线段B1P的长度的最大值为3.例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是()A.BC.D答案B解析以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，O