《解题达人》（2022）高三二轮小题专练——曲线与方程B.docx

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1、解题达人（2022）高三二轮小题专练曲线与方程B一、单选题1在中，角所对的边分别为，为的外接圆，给出下列四个结论：正确的选项是（ ）若，则； 若P在上，则；若P在上，则的最大值为2；若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.ABCD2如图，已知在长方体中，点在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形是侧面内一动点，且点到平面的距离等于线段的长，则当点在侧面上运动时，的最小值是（ ）A12B24C48D643卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心

2、若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）A1BCD24如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）ABCD5四棱锥中，底面是正方形，是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（ ）ABCD66已知分别为双曲线的左右顶点，为双曲线的右焦点，动点到的距离是到的距离的3倍，若点的轨迹与双曲线的渐近线的公共点为，则的面积是（ ）AB1CD27已知正六

3、棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）ABCD8在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ）ABCD9已知棱长为a的正方体的所有顶点均在体积为的球O上，动点P在正方形内运动(包含边界)，若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）AB点P运动轨迹的长度为C三棱锥体积的取值范围为D线段长度的最小值为10如图，放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列命题：若，则函数是偶函数；对任意的，都有；函数在区间上单调递减；函数在区间上是减函数.其中真命题的序号是（ ）ABCD11已

4、知双曲线，作轴的垂线交双曲线于两点，作轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C圆D抛物线12棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13关于曲线给出下列三个结论：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不大于；曲线上任意一点到原点的距离都不小于2其中，正确结论的序号是_14阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎

5、使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，已知的两个顶点是定点，它们的坐标分别为、；另一个顶点是动点，且满足则当的面积最大时，边上的高为_15曲线围成的图形的面积为_.16棱长为2的正方体，E，F分别为棱AB与上的点，且，则EF的中点P的轨迹为L，则L的长度为_.试卷第4页，共4页参考答案：1B【解析】【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断，根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系可判断，根据结合基本工资可判断，根据向量的线性运算，结合点的轨迹及三角形的面积公式可判断.【详解】，为的外

6、接圆若，则,故正确由若P在上，则故正确由知（当且仅当时取等号）故错误若，则点P的轨迹：当时,此时点在线段;当时, ,此时点在线段;当时，构造平行四边形,此时点在线段上；当时，构造平行四边形,此时点在线段上；当时，此时点在菱形内部，综上点的轨迹为菱形组成的图形区域，则故正确故选：B2B【解析】【分析】确定过点作，垂足为，由长方体得当最小时，最小，建立如图的空间直角坐标系，求出点轨迹方程，用坐标表示，得最小值，从而得结论【详解】在长方体中，如图，建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，连接，则，所以，当最小时，最小，过点作，垂足为，设，则，且，因为，所以，化简可得，所以，当时，取得最小值为8，此时，所

7、以的最小值为24，故选：B3B【解析】【分析】设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设曲线上任意一点，由已知建立曲线方程化简得该卡西尼卵形线的方程为，由此可得选项.【详解】设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则设曲线上任意一点，则，化简得该卡西尼卵形线的方程为，显然其对称中心为由得，所以，所以，所以当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为故选：B.4D【解析】【分析】连接、，分析得出，可知点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果.【详解】连接、

8、，因为，且、分别为、的中点，故且，所以，四边形为平行四边形，故且，平面，则平面，因为平面，所以，为的中点，故，所以，点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，如下图所示：所以，线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球的，故所求几何体的体积为.故选：D.5B【解析】【分析】首先假设，将四棱锥放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，得到点的轨迹，最后根据题意列出方程求出的值 .【详解】由题意不妨设,又，底面是正方形，所以可将四棱锥放在一个正方体内，所以面，又面，则，又的中点为，所以，即的轨迹是以为球心，为半径的球，且点恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一

9、起，点的轨迹就可以围成一个完整的球，所以的轨迹是以为球心，为半径的球的球面，所以，解得，故选：B【点睛】本题主要考查立体几何中的动点问题，对学生的空间想象能力提出了很高的要求，在求解过程中，需要对立体几何中相关定理及结论做到非常熟练的应用.6C【解析】【分析】由双曲线方程写出点的坐标，求出点M的轨迹方程，再与双曲线的渐近线方程联立求得点C，D坐标即可得解.【详解】双曲线的左顶点，右顶点，右焦点，渐近线方程为，设，由得：，所以点M的轨迹方程为，由得，即点，点到直线CD：的距离，的面积是.故选：C【点睛】方法点睛：求轨迹方程的方法：直译法；定义法；待定系数法；相关点法；参数法.7B【解析】【分析】

10、根据题意，可判断出动点的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解.【详解】由直角三角形的性质得，所以点在以为球心，半径是的球面上运动，因为，所以动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分球，其体积为.故选：B.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.但是本题既不是内切，也不是外接，而是棱柱与球的结合，类似切割球来求体积问题.8C【解析】【分析】根据题意得出的轨迹为椭圆，且方程为.设出点的坐标，利用向量数量积的定义求出，结合椭圆中的取值范围即可求出的最大值.【详解】易知的轨迹为椭圆，其方程为，设

11、，则，因为，所以，即，.故选：.9C【解析】【分析】由正方体的棱长为，求出球的半径为，利用体积求解判断；说明即直线与直线所成的角，连接，转化求解点运动轨的长度判断；由等体积法可知，求解体积的范围判断；设正方形的中心为，连接，当，三点共线时，取得最小值，求出最小值判断【详解】由正方体的棱长为a，得球O的半径为，所以，解得，故A错误；因为，所以即直线与直线所成的角，所以，所以，连接，因为，所以，所以点P的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，所以点P运动轨的长度为，故B错误；由等体积法可知，由点P的运动轨迹可知，P到线段的距离d满足，所以的面积，易知平面，所以，故C正确；设正方形的中心为，连接

12、，则，易知当三点共线时，取得最小值，所以，故D错误.故选：C10B【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可【详解】当时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，函数的周期是4因此最终构成图象如下：根据图象的对称性可知函数是偶函数，正确由图象即分析可知函数的周期是4正确函数在区间2，3上单调递增，错误函数在区间4，6上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、正确故选：B【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画

13、出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键11B【解析】【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解.【详解】设，则，则由得：，化简得：，即P点的轨迹是双曲线，故选：B12A【解析】【分析】设，分析出点在以为轴的圆锥的侧面上，计算出，并分析出，可得出，由此可得出合适的选项.【详解】如下图所示： 因为点到直线的距离为定值，所以，点在以为轴的圆锥的侧面上，因为点的轨迹为椭圆，即圆锥被平面所截的截面为椭圆，设圆锥轴截面的半顶角为，则点到直线的距离为，当截面与圆锥的母线平行时，即时，截面为抛物线，不合乎题意，所以，.综合选择，可知A选项合乎题意.故选：A.【点睛

14、】关键点点睛：本题考查立体几何中点到直线距离的求解，解题的关键就是分析点在圆锥的侧面上，将点的轨迹转化为平面与圆锥的截面来处理，对空间想象能力有一定的要求.13#【解析】【分析】根据曲线方程的特点，结合对称性及重要不等式即可得到结果.【详解】关于曲线，又，,曲线上任意一点到原点的距离：，故正确，错误；在中，时，；时，；，；，曲线恰好经过6个整点，故正确；故答案为：14【解析】【分析】首先求出点的轨迹方程，当的面积最大时，即边上的高最大，即可求解.【详解】，即两线段比值为大于零且不等于的常数，点的轨迹是圆设、，平方整理得，即，故点的轨迹是以为圆心，半径长为的圆，因此，当的面积最大时，边上的高即为

15、该圆的半径故答案为：15#【解析】【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案为：.16【解析】【分析】如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，则可得（），可得点的轨迹是一个的圆弧，且，所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，从而可得答案【详解】如图，设，则，可以以为长、宽、高构成长方体，为体对角线，所以，所以（），所以，因为，所以图中点的轨迹是一个的圆弧，且，因为为的中点，所以的高度始终为，所以的轨迹在一个水平面内，所以可平移到底面，即为的中点，可设，则，的中点为，所以的中点的轨迹为半径为的一个的圆弧，所以长度为，故答案为：答案第14页，共14页