2023届高考数学一轮复习计划第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 学案.doc

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1、第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；(2)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 重点一角的概念的推广1定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形2分类：3终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ逐点清1(必修第一册175页习题2题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)解析：C与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确故选C重点二弧度制的定义和公式1定义：长

2、度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示2公式角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l 扇形面积公式Slr|r2注意有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度换算的关键是 rad180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；(2)利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 逐点清2(必修第一册176页习题11题改编)一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为()A20 cmB14 cmC10 cmD8 cm解析：C秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2，因此，秒针的端点

3、所走的路线长为1210(cm)故选C重点三任意角的三角函数设是一个任意角，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 sin ， cos ，tan (x0)逐点清3(易错题)已知角的终边过点P(12，m)，cos ，则m的值为()A5B5C5D8解析：C由三角函数的定义可知cos ，解得m5记结论1一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2象限角3轴线角提速度1(2020全国卷)若为第四象限角，则()Acos 20Bcos 20Dsin 20解析：D法一：由题意，知2k2k(kZ)，所以4k20，sin 20，

4、故选D法二：当时，cos 20，sin 21，排除A、B、C，故选D2终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是_(用角度表示)解析：终边落在第一象限角平分线上所有角的集合为A|45k360，kZ，终边落在第三象限角平分线上所有角的集合为B|225k360，kZ，所以终边在第一、三象限角平分线上角的集合为AB|45k180，kZ答案：|45k180，kZ象限角与终边相同的角1若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()ABCD解析：D因为直线yx的倾斜角是，tan ，所以终边落在直线yx上的角的取值集合为或，即故选D2(2022济南月考)集合中的角所表示

5、的范围(阴影部分)是()解析：C当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C3若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角答案：一或三1确定n，(nN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出n或的范围，然后根据n的可能取值讨论确定n或的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法)2利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参

6、数k赋值来求得所需的角 扇形的弧长及面积公式的应用一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l已知，R10 cm，求扇形的面积解由已知得，R10 cm，S扇形R2102(cm2)应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 1(2022佛山三模)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()AB C3D解析：D如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M，在Rt

7、AOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得2(2022襄阳模拟)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为_cm2解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2rl8(0r4)，Srlr(82r)r24r(r2)24，当r2时，扇形面积最大，所以Smax4(cm2)答案：4三角函数的定义及其应用考向1三角函数的定义(1)角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4，y)，且sin ，则tan ()ABCD(2)(2022临沂模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()ABCD解析(1)点P(4，y)到坐标原点的距离r，所以s

8、in ，解得y3或y3(舍)，所以tan ，故选C(2)由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m答案(1)C(2)C三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角的终边上一点P的坐标，求角的三角函数值解决方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；(2)已知角的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角的三角函数值解决方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；(3)已知角的终边所在的直线方程(ykx，k0)，求角的三角函数值解决方法：先设出终边上一点P(a，

9、ka)，a0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解 考向2三角函数值符号的判定(1)若为第二象限角，则cos 2，cos ，中，其值必为正的有()A0个B1个C2个D3个(2)设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1)由题意知，2k2k(kZ)，则4k24k2(kZ)，所以2的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin 20，cos 2可正可负也可为零因为kk(kZ)，所以的终边在第一或第三象限，所以cos 可正可负故选A(2)由是第三象限角知，为第二或第四象限角，因为cos ，所以cos 0，co

10、s 10 1已知单位圆上在第一象限内的一点P沿圆周逆时针旋转到点Q，若点Q的横坐标为，则点P的横坐标为()ABCD解析：B由单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转到点Q，点Q的横坐标为，所以cosxOQ，即xOQ2k(kZ)，所以xOP2k(kZ)，设点P的横坐标为x0，则x0cosxOPcoscos 故选B2已知为第二象限角，则()A2sin210Csin cos 0Dsin tan 0解析：B为第二象限角，0sin 1，1cos 0，tan 0，2sin21sin2sin21sin2cos2cos 2，又1cos 21，12sin210，sin cos 0，sin tan 0Btan 0C

11、sin()0Dcos()0解析：B若是第二象限角，则cos()cos 0，故B正确；sin()sin 0，故D错误故选B4平面直角坐标系xOy中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转到达点Q(3,4)的位置，则sin()AB CD解析：D依题意可知Q(3,4)在角的终边上，所以sin，故选D5(2022淄博模拟)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D不存在解析：A2340，cos 30，sin 2cos 3tan 406(多选)(2022长沙长郡中学高三模拟)下列条件中，能使和的终边关于y轴对称的是()A540B360C180

12、D90解析：AC假设，为0180内的角，如图所示，由和的终边关于y轴对称，所以180，又根据终边相同的角的概念，可得k360180(2k1)180，kZ，所以满足条件的为A、C故选A、C7(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为2，当S1与S2的比值为0618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么()A11275B11375C2(1)D解析：BCD设扇形的半径为R，由，故D正确；由122，所以222，解得2(1)，故C正确；由0618，则11236，所以2

13、(1)12361802225，所以136022251375，故B正确故选B、C、D8已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x_解析：依题意，得cos x0，由此解得x答案：9已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点M，且OM1(O为坐标原点)，求m及sin 的值解：(1)由，得sin 0，所以是第四象限角(2)因为OM1，所以2m21，解得m又为第四象限角，故m0，所以m，sin B级综合应用10在平面直角坐标系中，已知点P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP扫过形成图形的面积等于()A2B CD解析：C

14、当t时，设点P在B处，当t时，设点P在C处，如图所示，线段AP扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，因为BCx轴，所以SCOASBOASCODSBDA，所以线段AP扫过形成图形的面积等于扇形BOC的面积，S扇形BOC12故选C11已知点P(sin ，cos )是角终边上的一点，其中，则与角终边相同的最小正角为_解析：因为，故P，故为第四象限角且cos ，所以2k，kZ，所以与角终边相同的最小正角为答案：12.在平面直角坐标系中，劣弧，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边若tan cos sin ，则P所在的圆弧是_解析：因为tan cos ，所以P所在的

15、圆弧不是，因为tan sin ，所以P所在的圆弧不是，又cos 0时，r5a，sin cos ；当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当a0)，定义：sos ，称“sos ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数ysos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是()A该函数的值域为，B该函数的图象关于原点对称C该函数的图象关于直线x对称D该函数为周期函数，且最小正周期为2解析：ADA中，由三角函数的定义可知x0rcos x，y0rsin x，所以ysos xsin xcos xsin

16、，所以是正确的；B中，ysos xsin，所以f(0)sin10，所以函数关于原点对称是错误的；C中，当x时，fsinsin 0，所以图象关于直线x对称是错误的；D中，ysos xsin，所以函数为周期函数，且最小正周期为2，所以是正确的故选A、D15某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为(弧度)(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解：(1)由题意得，30(10x)2(10x)，(0x10)(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50，装饰总费用为9(10x)8(10x)17010x，花坛的面积与装饰总费用的比y(0x10)令t17x，则t(17,27)，则y ，当且仅当t，即t18时，y取得最大值，最大值为，此时x1，故当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大