《三角函数、平面向量、复数》分类汇编.pdf
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1、 2020 高三一模二模 三角向量复数小册子 文博数学文博数学 思辨思辨数学数学 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 1 页,共 71 页 争第一争第一 写在前面的话“把应该弄懂的内容记在笔记本而不是记在脑子里;一时弄清楚就以为以后也都会了;把别人的思路、方法直接拿来就以为是自己的了;学会了一点点散乱的知识点就以为可以打遍天下无敌手了”根本不是,真正的学习应该是把所学知识的概括化、结构化、程序化规律化,是从散乱到有序从具象到抽象从低效到高效的过程,学到的方法应该用到具体的情境里,通过运用体现出来,才算是掌握了。学习应该是有意识的去尝试去修正,而不是“顺其自然”。思考力:看到什么,想到什
2、么,做了什么。博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 2 页,共 71 页 争第一争第一 原来那些年,我一直都在“假学习”记得老师们常说,高考,就是一场耐力跑,谁能坚持到最后,谁就是赢家!当时的我,受到了这句话的感染,一直都努力着,不敢有所懈怠。然而,自以为很努力的我,在高考失利后,才清楚地反省到自己原来,那个一直很认真在学习的我,是在“假学习”。我是一名刚高考完的广东毕业生。在老师们,同学们的眼里,我是一名学习非常认真,勤奋好学的学生,当时的我,成绩也算过得去,由于我被大家贴上了全班最勤奋学习的标签,大家对我的高考成绩都寄予了很高的期望,可到最后,我连本科线都没上。最终的我,被一所普通的
3、大专录取了。我记得高考成绩放榜那天,老师微信私聊我,问我的高考成绩,我惭愧地告诉了她,我考了 375 分,没上本科线。当时,老师就立马发了一个摸摸头的表情包安慰我,还补上了一句话,至今让我难忘。她说:“我觉得全班同学之中,最可惜的人就是你了,付出了那么多努力却没有得到相应回报。”顿时,我的泪水猛的涌上眼眶,流经我的脸,并从我的下巴滴落到手机屏幕上。我不知道此时此刻,我该说些什么,我只回复了她一个委屈的表情。接着,她对我说了很多安慰我的话。至于其他同学,家人问我成绩的时候,我都不敢直面的告诉他们,因为我让他们所有人都失望了。当我的爸妈知道我的高考成绩之后,我观察到他们心里很不是滋味,甚至比我还要
4、难过,因为看到我在家都很努力学习,所以他们也就一直都认为我是一个能考上好本科的人。我之所以不选择复读,是因为我懦弱,害怕自己会再一次让所有看好我的人失望。害怕自己会考得更差,我便屈服于读大专的现实。尽管我内心有些不甘,但是经过一段时间的反省,我发现了很多问题,也总结了不少。于是,我写这篇文章的目的,就是想告诉师弟师妹们,在你们认为自己很努力学习的时候,千万不要忘了看看自己是否在“假学习”,我想通过分享我个人的经历给大家,让大家多留意自己的学习情况,不要将来像我一样后悔。首先,何为“假学习”?在我的观念里,“假学习”就是你表面很认真学习,可实际什么也学不进去,或者说你确实很认真努力的在学习可方法
5、不对,导致收获的并不多,效率非常低。这些“假学习”,会给别人带来一种错觉,在其他同学眼里,你今天又勤奋学习了很久,肯定又比我们厉害了,但是由于你在“假学习”,考试出来的成绩,却往往低于那些偶尔出去玩,打游戏的同学。相信很多学弟学妹们肯定有过这样的疑惑,就是,“为什么我明明比他还要努力学习,却考不赢他?为什么他整天都在和同学玩,有时候还会进步?”这或许会让你觉得,那是因为别人智商比自己高,又或者别人在偷偷努力不让你知道。在此,我只想认真的告诉你,不排除别人这些可能,但最重要的是你一直都在“假!学!习!”下面就拿我的例子来说吧。1、假认真地问问题。平时,我在学校真的非常努力,勤奋学习的。怎么说呢,
6、我平时下课,都是在自己的座位写作业的,有时,我还会缠着某科老师或者同学问问题,一直到下一节上课铃响,而其他同学,可能会出去玩呀,聊天呀,吃东西呀等等。这貌似一点毛病都没有,没错,我很勤奋好学,按道理,我这样坚持下去,肯定能比一般的同学收获很多,然而并不是!为啥?因为我并没有真正学到东西。我想告诉学弟学妹们,与老师,同学们讨论问题时,千万不能有种应付式的心理。要不你就不要浪费时间问,拿去做别的事情,要不你就好好问,问到自己真博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 3 页,共 71 页 争第一争第一 的完全懂了为止,不能装懂,不要害羞,学习是自己的事,再蠢,不放弃问老师,学到知识了,你就是聪明
7、人!我当时就没有意识到这个问题,有很多时候,我遇到自己不懂的问题,看到老师非常认真地教完我一遍又一遍,自己觉得不好意思,总以为先听听老师的思路,然后自己找时间弄懂它就好。还有时候,我和几个同学一起去问老师同样的问题,可别的同学听老师简单讲几句就说:“哦,这样啊,好,我懂了。嗯。对!没错!是的!”可我根本就不懂老师到底讲了什么,脑子一片空白。我不知道他们是真的那么厉害听懂了,还是假装听懂了,他们悄悄离开了,就剩下了,我和老师两个人,我开始方了,有点尴尬,于是就假装自己也懂了,拼命点头,但实际,我还是没有学会,当我课后抽时间去搞懂那些题的时候,怎么也没能搞懂,就算能搞懂,也是花了很多时间才弄懂的,
8、这就让我的效率低了很多。有时候,又因为各种各样繁琐的作业没写完,我就落下了没弄懂的问题,越积越多,也没多在意。在高三的一年里,我最差的就是化学,问问题最多的也就是化学,可永远最低分的,也还是化学!在化学老师眼里,她觉得我就是很努力学化学的人。她曾经和我聊天的时候对我说:“我觉得你好认真学化学耶,为什么总是成绩没有提高的呢?不过你不要放弃,你那么勤奋问问题,把不会的问题都慢慢一点一点搞懂,高考肯定不会让你失望的,高考加油哟!”那时,老师和我,根本就没发觉我考不好真正存在的问题。我还一直认为自己在努力着学习,并安慰自己,学习是个漫长的过程,坚持不放弃就能成功。因此,不管什么学科,我这样的问问题方式
9、一直持续到高考前一天。然而我最后,还是没考好,其中的原因是我根本没真的弄懂自己不会的问题,所以遇到类似的问题,我还是不会做,所以啊,我劝学弟学妹们千万不要走我的歪路,勤问问题,是件好事,但是一定要厚着脸皮,让自己有所收获,一定要确保自己真的弄懂了,这才是“真”学习啊!2、假认真地写作业。我是一个很认真尽量把老师布置的作业完成的人,大家都知道,高三肯定有很多写不完的作业,然而,有很多同学都是抱着能做多少就做多少的态度,有一些厉害的学生还比较佛系,每科作业都有选择地做一些。而我,是要完成一样再做一样的,写不完的,我会用下课的时间,放学的时间,早点来上学的时间等等,反正我一有时间,就是在写作业。我还
10、写得特别认真,做练习册的时候,我做完了还会用红笔改正答案,甚至还会用不同颜色的笔,通过看答案解释把每个错的地方都做好笔记。所以每到老师偶尔检查我们的作业的时候,我都会被受到老师的表扬,她还会把我的练习册在讲台开投影仪给同学们看,我有多认真地写作业。那时,各个同学都会赞叹说:“哇!真的好勤奋耶,厉害厉害,怎么做到的呀!佩服!看看别人家的孩子!”我想,如果你们看到一个同学的所有练习册都写着满满的笔记,你也会想,这位同学好勤奋啊,学习成绩应该会不错的吧。我当时一直排名在班前 5,所以大家也就认为,我的成绩是靠这样维持的。然而,我现在发现,我错了。这也是在“假学习”,我并没有多大的收获。为什么?因为我
11、当时是很认真的写作业,但是遇到很难的题,我都是直接看答案的,看完答案觉得自己好像会做了,懂了,就直接用红笔抄上去了。可你要我不看答案重做一遍,我是无从下手的。还有,那些选择题,我把每个错误的选项都用蓝笔改正过来,没错,当时我确实把题搞懂了,你让我再一次做,我会,也能说出其他选项错误的原因,因此,我按着这个方法做物化生的选择题,越刷越多,总以为做的越多,见识越广。然而,我错了,因为当我越做越多的时候,我忽略了一个问题,就是没有回温自己做过的题,遇到类似的选项,改了一点就是错的,我却也以为是自己做过类似的,就当成对了。然而,我应该收集好,拿出来对比一下,哪里不同了,哪里设了坑自己踩进去了,以后遇到
12、类似的,还要注意哪些等等,我博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 4 页,共 71 页 争第一争第一 都没有关注过,只是一面的盲目刷题,所以导致我做了很多题,却提分不了多少。这也就是为什么老师们常说,刷题,是为了多见识,多对比,重点不在于数量的多少,而是质量的如何。所以,我希望学弟学妹们,在你们刷题的时候,一定要全面,同时要善于挖掘类似题目的不同点,题刷完了以后,要记得把重点记一下,遇到不会的题,思考过了,才允许自己看答案,看完答案了,一定要自己认真再做一遍!这样才算真正会了。我知道这样很浪费时间,但是,你要知道,你认真花很多时间学会做一道题,总比你随意做十道你还是不会做的题要好得多。切
13、记让自己成为一个死刷题的工具。3、假认真地写了好多笔记本。作为学生的你们,又或者作为学霸的某些学生,学习必不可少的,就是做笔记。我是一名理科生,无论是语数英,还是物化生,我都会对应有一本厚厚的笔记本。里面写的内容可有用了,很多同学都会借我的笔记本来看的。比如语文笔记本,我会把一些阅读的答题模板写下去,一些作文素材归纳好。英语笔记本就是前面用来写英语语法,后面就写在阅读中遇到不知道中文意思的单词和一些搭配短语,中间就写作文好句。数学笔记本呢,就是用来专门记难题错题的,我还把一些从网课学来的秒杀技巧写下来。至于物理和化学笔记本,我就用来写考点,知识点,易错点,还有老师的课堂笔记等等。试问,如此一个
14、勤奋,那么会写笔记的学生,成绩能差到哪里去吗?然而,我又大错特错了!为什么?因为我知道写笔记很有用,然而,我天天都在做题,写笔记。那些笔记越写越多,本子越来越厚,每当我把一些难题搞懂了,并能通过自己的理解写成笔记提醒时,我感觉无比的快乐,觉得自己今天又收获了很多知识。可时间长了,我一直沉浸在写笔记的快感,却忘了要抽时间来回看,巩固那些知识。我后来才发现,写再多有用的笔记,你不去反复看,啥用都没有!真的,人的记忆力有限,或许你写的时候确实是理解了的,但是当你做各种各样的题做多了,时间久了,你就会忘了,不是说你当时没有真的理解,而是你的大脑被新的知识缓冲了。只有当你多抽时间不断回顾自己写过的笔记,
15、重读看几遍,多理解一下。你才会记得更牢固。同时,我也发现,笔记本是不需要写太详细的,只要求精,把精华留下,其他无用的都去掉,这样复习起来又快又准又狠。不然准备高考的时候,就那些时间给你复习 6 大科的知识,你要还要覆盖所有学过的东西,怎么复习得完啊。而且我是过来人,有时候,笔记本写的过于详细,复习起来,会感觉繁琐疲惫,同时花费的时间真的很多。4、假认真地挤时间学习。我呢,平时除了体育课,还有跑操的时间是在运动的,其余大多时间都是在学习。我给别人的印象就是,无时无刻都在勤奋地学习。我每次上学,都是最早的那个,课室里,经常出现只有我一个人的身影。我嘛,也比较有趣,有时候放假回来上学那天,也是我最早
16、到课室,我会掏出手机,自拍一张,安慰一下努力的自己。不要问我那么早回来干嘛,我就是在这些时间里写笔记本啊,做作业什么的。然而,我仿佛比别的同学多挤了很多时间,按道理来说,我这种勤奋程度,就应该会考上本科的。可我早去的时间,就是上面所说的,在“假学习”,是没有多大用处的,所以我还是考得不好。还有啊,最重要的一点,我要提醒学弟学妹们,不管学习多累,真的要注意给自己补充营养,适当做运动,喝点牛奶,吃点苹果什么的。特别是将近高考的那几个月,一定要保重身体,爱惜自己。不然过度劳累会导致抵抗力下降容易感冒发烧的。我当时就没注意好,为了学习,天天熬夜到晚上十二点半左右,然后最后身体终于垮了,高考前两天,我又
17、咳嗽又流鼻涕,最后干脆还发烧了,那是弄到我爸妈非博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 5 页,共 71 页 争第一争第一 常紧张的,还带我去了好几次医院看病,因为快高考了,还不能乱吃药打针,所以我好久都没好。你们想想啊,在拼命的那一刻,你感冒不舒服了,多亏啊,别人还在努力的学习,你却不能拼尽全力,或多或少,会受到一些影响的。最后呢,我想跟师弟师妹们说,努力真的很难,很辛苦,但是千万不要放弃,坚持到最后,那个成功的人,一定是你。有些时候努力了,没有收获,并不是你笨,并不是你不如别人,而是你学习的方法错了,就像我一样!趁着时间还早,多尝试不同的方法,找到最适合自己的,并坚持下去,一切会好起来
18、的。希望你们能够通过看我的文章,收获些东西,也希望你们,不要给自己的高考留下什么遗憾。好了,其他话不多说,愿你们能拼命到无能为力,努力到感动自己!学弟学妹们,高考加油!来自一名高考失利后的师姐 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 6 页,共 71 页 争第一争第一 三角函数 1.【2020杨浦一模】要得到函数=2sin(2+3)的图像,只要将=2sin2的图像()A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 【解析】因为=2sin(2+3)=2sin2(+6),所以要得到函数=2sin(2+3)的图像,只需将函数=2sin2的图像向左平移6个单
19、位 故选A 2.【2020 浦东新区高三一模】动点(,)在圆2+2=1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动,旋转一周的时间恰好是12秒,已知时间=0时,点的坐标是(32,12),则动点的纵坐标关于(单位:秒)的函数在下列哪个区间上单调递增()A.0,3 B.3,6 C.6,9 D.9,12 【解析】根据题意可知=0时,点的坐标为(32,12),所以点的初始角为30 当点转过的角度在0,60或240,360时,动点的纵坐标关于的函数是单调递增的 因为12秒旋转一周,所以每秒转过的角度是360 12=30,240 30=8 则当0 12时,动点的纵坐标关于的函数的单调递增区间为0,2,8,12 故选D
20、 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 7 页,共 71 页 争第一争第一 3.【2020杨浦高三一模】已知六个函数:=12;=cos;=12;=arcsinx;=lg(1+1);=+1从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种 【解析】=12,定义域为(,0)(0,+),1()2=12,=12为偶函数;=cos,定义域为,cos()=cos,=cos为偶函数;=12=,定义域为0,+),由定义域不关于原点对称,则=12为非奇非偶函数;=arcsinx,定义域1,1,arcsin(x)=arcsinx,=arcsinx为奇函数;=lg(1+1),1+1 0,1 0,0),0
21、,2,若()恰有4个零点,则下述结论中:若(0)()恒成立,则0的值有且仅有2个;()在0,819上单调递增;存在和1,使得(1)()(1+2)对任意 0,2恒成立;“1”是“方程()=12在0,2内恰有五个解”的必要条件;所有正确结论的编号是 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 10 页,共 71 页 争第一争第一 【解析】如下图所示,由题意可知,=2,可标出函数()=sin(6)的多个零点,若()在 0,2恰有4个零点,可知196 2 256,解得1912 2512;观察图像可知,若(0)()恒成立,则(0)是函数()的最大值,这样的0的值有且仅有2个,正确;若()在0,819上单
22、调递增,则必满足81923 1912恒成立,而1912 0),若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为()A.16 时 B.17 时 C.18 时 D.19 时 【解析】为方便运算,将该函数模型微调为:=0.5sin(+6)+3.25(0)(对于港口水深而言,记录时因为海水涌动,存在1厘米的误差也是正常的,所以调整1厘米,影响微乎其微,不微调的话,做法也是一样的,只是会有太多小数)设0.5sin(+6)+3.25=3的解为1、2、3,且0 1 2 3 24,=2,sin(+6)=12,+6=76,116,即1=1、2=53,3=1+,1+24
23、2+,即3 24 113,7211563,不可能为19时 故选D 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 12 页,共 71 页 争第一争第一 10.【2020 奉贤高三一模】在 中,若=60,=2,=23,则 的面积是 【解析】如图在 中,过作 ,交于点,=60,=2,=23,sin=sin60=,=sin60=2 32=3,=12 =12 23 3=3故 的面积为3 11.【2020 崇明高三一模】若不等式(|)sin(+6)0对 1,1上恒成立,则+=()A.23 B.56 C.1 D.2 【解析】方法一:如图,作出函数=sin(+6)在 1,1上的图像,为使不等式(|)sin(+6
24、)0对 1,1上恒成立,当且仅当函数=|的图像经过函数=sin(+6)的零点,则由=sin(+6)=0,得1=16,2=56,博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 13 页,共 71 页 争第一争第一 所以56 =0 =16,所以+=56故选B 方法二:令=+6 56,76,作出函数=sin在56,76上的图像,则函数=|16|的图像必需经过(0,0),(,0)两点,则+=56故选B 方法三:当 16,56时,+6 0,,sin(+6)0,所以,|0,即 +,所以+56,当 1,16)(56,1时,+6 56,0)(,76,sin(+6)0,所以|0,则 +或 ,所以+56,综上+=56
25、 故选B 12.【2020 青浦高三一模】已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,角的终边与单位圆的交点坐标是(35,45),则sin2=【解析】设点坐标为(35,45),|=(35)+(45)2=1,点在单位圆上,sin=45,cos=35,sin=2sincos=2425,故答案为2425 博哥博哥学员学员专属专属 思考力思考力 第 14 页,共 71 页 争第一争第一 13.【2020 虹口高三二模】已知函数()=sin(+6)+12(0)在区间(0,2)上有且仅有两个零点,则实数的取值范围为()A.(2,143 B.2,143)C.103,4)D.(103,6 【解析】0,(0,
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