9.2.2　向量的数乘 讲义 （word版含解析）.doc

《9.2.2　向量的数乘 讲义 （word版含解析）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9.2.2　向量的数乘 讲义 （word版含解析）.doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、92.2向量的数乘学习指导核心素养1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线1.数学抽象、直观想象：向量数乘的定义及几何意义2.逻辑推理：向量共线定理的应用探究点1向量的线性运算 (1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)；.(2)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba).【解】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.原式ab.(2)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.向量的线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的线性运算可类似于代数多项式的运算例如，实数

2、运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 1化简下列各式：(1)32；(2)b；(3)23.解：(1)3(2ab)2(4a3b)6a3b8a6b2a3b.(2)(4a3b)(3ab)bababba.(3)2(3a4bc)3(2ab3c)6a8b2c6a3b9c11b11c.2若2(bc3x)b0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2xabc

3、xb0，所以xabc0，所以xabc，所以xabc.探究点2向量共线定理及其应用 已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解】(1)证明：因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.向量共线定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若b

4、a(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法 已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)(R，0，且1).(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数的取值范围解：(1)证明：因为(1)，所以，所以(R，0，且1).又AM与AB有公共点A，所以A，B，M三点共线(2)由(1)知，若点B在线段AM上，则与同向，且|0，所以1.探究点3用已知向量表示其他向量 如图，四边形ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量(1)_；(

5、2)_【解析】因为，|2|，所以2，.(1)e2e1.(2)e1e2e1e1e2.【答案】(1)e2e1(2)e1e2变条件在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量.解：因为，所以2()().又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0.所以2，所以()e2e1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 如图，在梯形ABCD中，a，b，a，G为对角线AC，BD的交点，E，F分别是腰AD，BC的中点，求向量和.解：因为E，F分别是腰AD，BC的

6、中点，所以，因为，2.因为a，b，a，所以a，ab，因为CDAB，故DCGBAG，而DCAB，故，故DGDB；因为()aab.1.()A2abB2baCbaDab解析：选B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b.2(多选)(2021江苏苏州市苏州中学高一月考)已知m，n是实数， a，b是向量，则下列命题中正确的为()Am(ab)mambB(mn)amanaC若mamb，则abD若mana，则mn解析：选AB对于A：根据数乘向量的原则可得m(ab)mamb，故A正确；对于B：根据数乘向量的原则可得(mn)amana，故B正确；对于C：由mamb可得m(ab)0，当m0时也成立，所以不能推出a

7、b，故C错误；对于D：由mana可得(mn)a0，当a0，命题也成立，所以不能推出mn. 故D错误；故选AB3(2021江苏高一单元测试)我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若a，b，3，则()AabBabCabDab解析：选B由题得.即，解得，即ab，故选B4化简：(1)5(3a2b)4(2b3a)；(2)(a2b)(3a2b)(ab)；(3)(xy)a(xy)a.解：(1)原式15a10b8b12a3a2b.(2)原式abababab.(3)原式x

8、ayaxaya2ya.A基础达标设a是非零向量，是非零实数，则下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同D|a|a解析：选C当取负数时，a与a的方向是相同的，选项A错误；当|1时，|a|a|不成立，选项B错误；|a|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为0，所以2一定是正数，故a与2a的方向相同，故选C2已知O是ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且20，则()A2BC3D2解析：选B因为D为BC的中点，所以2，所以220.所以.所以.故选B3(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数m

9、的值可以是()A1B C4D3解析：选AD因为向量ma3b与a(2m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m，解得m1或m3.4已知a，b是不共线的非零向量，a2b，3ab，2a3b，则四边形ABCD是 ()A梯形B平行四边形C矩形D菱形解析：选A因为，所以2，因为3ab，a，b是不共线的非零向量，所以ADBC且|，所以四边形ABCD是梯形，故选A5(2021江苏南通市海安高级中学高一月考)如图，已知在ABC中，D为AB的中点，若，则()ABCD解析：选C因为，所以，.故. 故选C6若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_解析：由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4

10、b0.所以x4b3a.答案：4b3a7设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_解析：因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)k8，2kk4(因为方向相反，所以0k0).答案：48已知D为ABC的边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_解析：0，所以，因为D为ABC的边BC中点，所以2，如图，D为AP的中点；所以2，又，所以2.答案：29已知任意两个非零向量a，b，若平面内O，A，B，C四点满足ab，a2b，a3b.请判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由解：A，B，C三点共线理由如下：因为ab，a2b，a3b，所以(a2b)(ab)b，同

11、理(a3b)(ab)2b，所以2，所以，所以向量与共线，所以A，B，C三点共线10已知两个非零向量a与b不共线，2ab，a3b，ka5b.(1)若20，求k的值；(2)若A，B，C三点共线，求k的值解：(1)因为22(2ab)a3bka5b(k3)a0，所以k3.(2)a4b，(k2)a6b，又A，B，C三点共线，则存在R，使，即(k2)a6ba4b，所以解得k.B能力提升11(多选)(2021江苏省昆山中学高一月考)瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设A

12、BC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是()A2B0CD解析：选ABC如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH2OG.对于A，因为GH2OG，所以2，故A正确；对于B，取BC的中点为D，则20，故B正确；对于C，33()3()232()32，故C正确；对于D，显然不正确故选ABC12(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A2a3b4e且a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数x，y满足xy0)D已知梯形ABCD，其中a，b解析：选AB对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a3b4e且a2b2e

13、，所以ae，be，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数，使ab0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；对于C，xayb0(其中实数x，y满足xy0)，如果xy0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，a，b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选AB13.如图，O为直线A0A2 021外一点，若A0，A1，A2 021中任意两相邻两点的距离相等，设OA0a，OA2 021b，用a，b 表示OA0OA1OA2 021，其结果为_解析：如图：由题意可知，A0A1A1A2A2A3A2 020A2 021A0A2 021，所以OA

14、0OA1OA2OA2 021OA0(OA0A0A1)(OA0A0A2)(OA0A0A2 021)OA0(OA0A0A2 021)(OA0A0A2 021)(OA0A0A2 021)(OA0A0A2 021)2 022OA0()A0A2 0212 022OA01 011A0A2 0212 022OA01 011(OA2 021OA0)1 011(OA0OA2 021)1 011(ab).答案：1 011(ab)14已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边的中点，O在线段DE上，且满足230，BOC的面积为2，求ABC的面积解：如图，因为232240，所以2，所以DE3DO.又由题意知AB2DE，所以AB6DO，所以SABC4SCDE43SCDO12SBOC6SBOC6212，即ABC的面积为12.C拓展探究15设，不共线，且abOB(a，bR).(1)若a，b，求证：A，B，C三点共线；(2)若A，B，C三点共线，则ab是否为定值？并说明理由.解：(1)证明：当a，b时，所以()()，即2，所以与共线，又与有公共点C，所以A，B，C三点共线(2)ab为定值1，理由如下：因为A，B，C三点共线，所以，不妨设(R)，所以()，即(1)，又ab，且，不共线，则所以ab1(定值).