1理论力学 (49).pdf

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1、9-2 泊松括号9-2 泊松括号 1.泊松括号的定义和性质1.泊松括号的定义和性质 泊松括号泊松括号(Poisson bracket)(Poisson bracket)是一种运算的缩写符号是一种运算的缩写符号. .泊松括号泊松括号(Poisson(Poisson bracket)bracket)是一种运算的缩写符号是一种运算的缩写符号. . ()qpt= s () () , , qpt qpt = = 1 ,. s qppq = = 基本泊松括号:基本泊松括号: ,0,0,qqpp = () () 0, , 1 qp = = ()1.= 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 ()0CC是常数(),

2、0,CC=是常数 (),CCCC =是常数 (),CCCC 是常数 , = , = 121212 , =+ + 1212 , +=+ + , ttt =+ 0,0. += 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 2.用泊松括号表述的运动方程2.用泊松括号表述的运动方程 哈密顿函数以正则变量和时间为独立变量哈密顿函数以正则变量和时间为独立变量, , 它是表它是表哈密顿函数以正则变量和时间为独立变量哈密顿函数以正则变量和时间为独立变量, , 它是表它是表 征力学系统动力学性质的特征函数. 它能确定力学系统征力学系统动力学性质的特征函数. 它能确定力学系统 的运动的运动, , 因而也能确定力学量随时间的变

3、化规律因而也能确定力学量随时间的变化规律. .的运动的运动, , 因而也能确定力学量随时间的变化规律因而也能确定力学量随时间的变化规律. . ()WW qpt s dWWWW &(),WW qpt = 1 ,qp dttqp = =+ /qHp = &/pHq = & . s dWWWHWH dttqppq =+ 1 dttqppq = 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 ,. dWW W H dtt =+ /0Wt = ,. dW W H dt = /0Wt = ,qqH= &正则方程正则方程 , 1,2, . , qqH s ppH = = L & 正则方程正则方程 WH=, dHH dtt

4、 = dtt 哈密顿函数对哈密顿函数对3.判断力学量守恒的充要条件3.判断力学量守恒的充要条件 时间的全导数时间的全导数 和偏导数相等和偏导数相等 ,0. W W H t += t 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 广义动量守恒广义动量守恒 ,0. p pH t += /0pt = 0. s pp HH qppq = 0. H q = 1 qppq = q 广义能量守恒广义能量守恒广义能量守恒广义能量守恒 0H H = ,0. H H H t += ,0H H 0. H t = 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 4.泊松定理4.泊松定理 如果如果是力学系统的守恒量是力学系统的守恒量, , 则由

5、他们组成的则由他们组成的f如果如果是力学系统的守恒量是力学系统的守恒量, , 则由他们组成的则由他们组成的 泊松括号也是该力学系统的守恒量.泊松括号也是该力学系统的守恒量. , f g , f g , , d f gf g f gH dtt =+ dtt , ,. f gfg gf ttt =+ ttt 0 f f H +=0 g g H +=,0,f H t += ,0,g H t + , f g f Hgfg H =+ ,.f Hgfg H t = + 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 d f , ,. d f g f Hgfg Hf gH dt = + , 0 d f g gf HfH

6、gHg f=+= ,0.gf HfH gHg f dt =+= 泊松定理提供了寻找新的守恒量的方法泊松定理提供了寻找新的守恒量的方法, , 即能在两即能在两泊松定理提供了寻找新的守恒量的方法泊松定理提供了寻找新的守恒量的方法, , 即能在两即能在两 个守恒量的基础上, 提供第三个守恒量.个守恒量的基础上, 提供第三个守恒量. 不能认为通过泊松定理可以得到无限多个守恒不能认为通过泊松定理可以得到无限多个守恒 量量由两个守恒量构成的泊松括号有可能为零由两个守恒量构成的泊松括号有可能为零, , 使使量量 由两个守恒量构成的泊松括号有可能为零由两个守恒量构成的泊松括号有可能为零, , 使使 通过泊松定

7、理提供守恒量的过程终止.通过泊松定理提供守恒量的过程终止. 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 例题3例题3 yzx zpypL= yxz Lzpxp= , yyyy xxxx xy LLLL LLLL L L xppxyppy = + xxyy yy xx xppxyppy LL LL + zz zppz . yxz xpypL= y ,. xzyyzx L LLLLL= = yy 9-2 泊松括号9-2 泊松括号 常量=+= 2222 zyx LLLL 2222 , zxyzz L LLLL L=+ 2222 , zxzyzzz L LL LLLL L=+ 2 ,2,0, zzzzz L LLL L = = 2 ,2,2,. zxxzyyz L LLL LLLL=+ 2 0L L = ,0. z L L =