2022年新人教版高中数学选择性必修一课后习题答案大全.pdf

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1、教材习题答案54 第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算.空间向量及其线性运算练习.解析 答案不唯一.例如三棱锥 中、表示三个不同在一个平面内的向量.解析()()()().向量如图所示.解析 .解析 如图连接.()()()()().向量如图所示.解析().().()().空间向量的数量积运算练习.设 则 ()().与 所成角的大小为 故选.解析()().()().()()().解析().()().即 的长为.()即 的长为.解析 即 两点间的距离为.习题 1.1复习巩固.解析()与向量相等的向量有:、.()与向量相反的向量有:、.()与向量平行的向量有:、.解析().().()设点 是

2、线段 的中点则.()设点 是线段 上靠近点 的三等分点则().向量如图所示.证明 因为向量、共线所以根据向量共线的充要条件假设存在实数 使得 则()所以向量 与 共线.解析().().()().()().()().()()().综合运用.()()55 .证明()()所以所以 所以四边形 是平行四边形所以 四点共面.解析()()().又 和 的夹角为.()证明:()().证明 如图 是平面 的斜线 为斜足 为垂足平面 且.因为 所以 所以所以因为 所以所以又因为所以()所以所以.拓广探索.证明因为 所以()所以.因为 所以()所以.所以()所以所以.证明如图取 的中点 连接、则有.().点、分别

3、是、的中点.四边形 为平行四边形.又 四边形 为矩形.1.2空间向量基本定理练习.解析 与、共面与 不共面 向量 一定可以与、一起构成空间的另一个基底.解析、不构成空间的一个基底、共面、四点共面.解析()是平行六面体中有公共点的三条棱由平行六面体的结构特征知不共面 能构成空间的一个基底.()().练习.证 明 因 为 所 以 所 以 ()所以所以.解析 设因为这三个向量不共面所以 构成空间的一个基底.则所以()()所以 .所以 与 所成角的余弦值为.证明设 则构成空间的一个正交基底.所以所以()()所以所以.习题 1.2复习巩固.解析 因为向量 与任何向量都不能构成空间的一个基底所以向量 共线

4、或 都是零向量.因为 构成空间的一个基底所以向量、不共面.对于 因为()()所以 三个向量共面对于 同理可得向量 共面对于 若 共面则()()()()则 教材习题答案56 共面与向量 不共面矛盾所以 不共面所以 正确对于 因为()所以 三个向量共面.故选.解析如图四面体 中 分别是 的中点 ().解析由已知得 ()()().综合运用.解析 设则构成空间的一个正交基底.所以所以()所以 即 的 长为.证明 设则构成空间的一个基底.由题意知平行六面体的所有棱长都相等设棱长为 所以()()()()所以 所以 因为 平 面 平 面所以 平面.拓广探索.解析()证明:设则构成空间的一个单位正交基底.所以

5、()()所以()()()所以所以.()由()知()所以 因为 所以()所 以()()所以 ()().所以 所以 与 所 成 角 的 余 弦 值为.证明如图已知四面体 分别是 的中点且 .设则构成空间的一个基底.因为 分别是 的中点所以()()()所以()()().因为 所以()()()整理得 所以()因为 所以()即所以.同理可得.1.3空间向量及其运算的坐标表示.空间直角坐标系练习.解析 建立如图所示的空间直角坐标系表示各点如图.57 .解析()在空间直角坐标系 中 平面与 轴垂直 平面与 轴垂直 平面与 轴垂直.()点()在 平面内的射影坐标为()在 平面内的射影坐标为()在 平面内的射影

6、坐标为().()点()关于原点成中心对称的点的坐标为().解析()()()().()()().解析 因为点 是点()在坐标平面 内的投影所以()所以()所以.空间向量运算的坐标表示练习.解析()()().()()().()()()().()()().解析 因为 所以 所以解得.解析 由点 在 轴上可设 ()又因为()()所 以()()()()()()解 得.所以().解析因为正方体的棱长为 所以()()()()设()()因为 所以所以()()所以所以().因为 所以所以()()所以所以().所以()()().所以 的长为.解析 设正方体的棱长为 建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()

7、所以()()设 与所 成 的 角 为()则 ()()().所以 与 所 成 角 的 余 弦 值为.习题 1.3复习巩固.解析 若向量 轴则向量 ()()向量 轴则向量()()向量 轴则向量()().解析()与点 关于 轴的对称点为().()与 点 关 于 轴 的 对 称 点 为().()与 点 关 于 轴 的 对 称 点 为().()与 点 关 于 原 点 的 对 称 点 为().解析 因为正方体的棱长为 分别是相应棱的中点所 以()()()()()().解析 图略.()()()().()()()().解析()()()().()()()()().综合运用.证 明 由 已 知 可 得 ()()(

8、)()()()()()()因为()所以 又 所以以()()()为顶点的三角形是等腰直角三角形.解析 因为()()所以()()的中点坐标为()即()()().拓广探究.解析 设正方体的棱长为 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()教材习题答案58 所以()()所以 .所 以 所以 与 所成角的余弦值为.解析 设向量 在基底下的坐标为()则()()()().因为 所以解得 所以向量 用基底表示为()().1.4空间向量的应用.用空间向量研究直线、平面的位置关系练习.答案()()().解析 如图().所 以 直 线 的 一 个 方 向 向 量为.解析依题意()()()所以()()

9、设()是平面 的法向量则.所以取 则 于是()所以平面 的一个法向量为().练习.证明 已知直线 平面.求证:.证明:设平面 的一个法向量为 直线 的方向向量分别为 因为 所以 因为 所以 所以 所以 所以.解析不存在.在四面体 中设则构成一个基底因为 是 的中点所以设()则若则设 所以()所以()因为构成一个基底所以此方程组无解所以直线 上不存在点 使得.证明 设正方体的棱长为 以 为坐标原点的方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 则根据题意()()()()()所以()()()设()是平面 的一个法向量则 所以.取 则 所以()又()()所以所以 平面.练习.解析()由 得 所以

10、 即()()所以 即.()由 得 设()即()()所以解得.证明 如图()()()()所以()()所以()()所以所以.证 明 如 图 在 长 方 体 中以 为坐标原点的方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 59 因为 分别是 的中点所以 ()()()()所以()()()()设()为平面 的法向量则 所以.取 则 即().设()为平面 的法向量则 所以.取 则 即().因为()()所以 所以平面 平面.用空间向量研究距离、夹角问题练习.答案.解 析 如 图 在 正 方 体 中以 为坐标原点的方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系.()因 为 正 方 体 的 棱 长 为 所

11、 以()()()所以()()取 ()()所以 点 到 直 线 的 距 离 为().()由正方体的性质知所以直线 到直线 的距离等于点到直线 的距离易得()()()所以()()取 ()所 以 点 到 直 线 的 距 离 为().所以 到直线 的距离为.()由()()()()得()()()设 ()为平面 的法向量则 所以取 则 所以()所以 点 到 平 面 的 距 离 为()()().()由正方体的性质知平面所以点 到平面 的距离即为 到平面 的距离.由()知平面 的一个法向量为()易知()所以直线 到平面 的距离为()()().解 析 如 图 在 正 方 体 中以 为坐标原点的方向分别为 轴 轴

12、 轴的正方向建立空间直角坐标系 则()()()()由已知条件及正方体的性质易知平面 平面 ()是平面 和平面 的一个法向量()所以平面 和平面 的距离为()()().练习.解法一:设 以为单位正交基底则 则()().在直角三角形中易求得 设向量与的夹角为 则直线与 所成角的余弦值为 则 .解法二:由已知可得 两两垂直以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 教材习题答案60 设 所以()()因为 分别为 的中点所以()()所以()()所 以 ()()设向量与的夹角为 则直线与 所成角的余弦值为 则 .所以 与 所成角的余弦值为故选.解析在正三棱柱 中取的中点分别为 连接 以 为坐标原点直线

13、分别为 轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系因为正三棱柱的所有棱长都为 所以()()()()所以 ()()()设 ()为平面 的法向量则即 即 所以 取 则 所以()设 ()为平面 的法向量则即 取 则 所以 设平面 与平面 所成的角为 所以()().所以平面 与平面 所成角的余弦值为.解析如图所示建立空间直角坐标系设 则()()().()与 所成角的大小为.()设直线 与平面 所成角的大小为 易得()是平面 的一个法向量 即直线 与平面 所成角的大小为.()设()是平面 的法向量则即取 则 ()设平面 和平面 的夹角为 .平面 和平面 的夹角的余弦值为.练习.解析 设与的夹角为()因为 都

14、垂直于棱 所以所以 由已知得所以 因为 代入上式得()所以 所以平面 与平面 的夹角为.解析 连接 取 的中点 连接因为、分别为、的中点所以 所以 为异面直线 与 所成的角如图因为 所以 ()()因为 所以()()在 中由余弦定理知 61 ()()()所以异面直线 所成角的余弦值为.解析 由已知以 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系因为 所以()()()()所以()()()设()为平面 的法向量所以取 则 即 ()设直线 与平面 所成的角为 则 ()()()().所以直线 与平面 所成角的正弦值为.习题 1.4复习巩固.解析由题意得()()()().解析 依题意得()()()()所以()()(

15、)()设平面 的法向量为()所以 则令 则 所以()即平面 的一个法向量为().()设平面 的一个法向量为 ()所以令 则 所以 ()即 平 面的 一 个 法 向 量为().证明 在平行六面体 中 分别是 的中点、不共线所以所以所以.证明取 的中点 在线段 上取点 使得 连接 如图.因为所以.又因 为 平 面 平 面所以 平面.证明在正方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 则()()()()所以()().()因为 所以()()所以()所 以 ()()所以.()因 为 ()()所以.解析在正方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为 则()

16、()()()所 以()()所以()()().所以 点 到 直 线 的 距 离 为()教材习题答案62 .解析()设一个基底为 则.()()()是异面直线、的公垂线 .()连接 取 的重心为 则 即点 到平面 的距离为.证明设一个基底则.().()().解析以直线、分别为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为 则()()()()()()()()().()即 和 所成角的大小为.()即 和 所成角的大小为.解析()证明:以直线、分别为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为 则()()()()()()()()()().又 平面.()由()知()()直线 与 的夹角的

17、余弦值为 与平面 所成角的正弦值为即 与平面 所成角的余弦值为.综合运用.证明 在长方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系因为 所以()()()()所以()()()设平面 的法向量为 ()所以令 则 所以()因为 所以 所以 平面.证明 在长方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设()()()因为 所以()()()()()()所以()()()()所以所以 因为 所以平面 平面.解析 在正方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为 所以()()()()所以()(63)()设()为平面 的法向量所以令 则 所以()所以 到 平 面 的 距 离 为(

18、)()().解析 在正方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为 为 的中点 是 的中点所以()()()()()()所以()()()所以()()()()所以所以 所以 分别与异面直线、垂直且相交.所以 是异面直线、的公垂线.所以()()即 的长为.解析 在正方体 中以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为 为 的中点 所以 ()()()()()所 以 ()()()易知平面 的一个法向量为()设平面 的法向量为()所以令 则 所以 ()设平面 与平面 所成的角为 则()()()所以平面 与平面 的夹角的余弦值为.拓广探索.解析在直三棱柱 中因为以 为

19、坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 因为 是 的中点 是 的中点所以()()()()()设 ()所以()所以()()()设 ()为 平 面 的 法向量则 所以取 则 所 以 ()若 平面 则所以()()所以 解得 所以在线段 上存在点 使得 平面.证明()若直线 经过点 且以 为方向向量点 在 上则向量与 共线设()()()所以所以.()若平面 经过点 且以 为法向量点 在 上所以所以()()所以()()().解析以 为坐标原点、所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系(图略)则 ()().教材习题答案64().()当 时.()由()知当、分别为、的中 点 时 的 长 最 小 所 以()

20、().取 的 中 点 连 接、则().为 的中点 即 是平面 与平面 所成夹角.设所求夹角为()()所求夹角的余弦值为.复习参考题 复习巩固.结 合 题 图 知 ()().解析()()().()().().()()().证明 证法一:如图所示建立空间直角坐标系则()()()()().为 的中点 ()即.证法二:()().解析以 的中点 为坐标原点、所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.()()()().()设 轴与 交于点 连接、则 侧 面 是直线 与侧面 所成的角.易知是侧面 的一个法向量 即 与侧面 所成的角为.解析()设以 为邻边的平行四边形的面积为.()().()设()且

21、 解得或()或().解析 由题意得 .解析 取 的中点 的中点 65 连接 以 为坐标原点、分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系()()设()易 知().即 即 时.解析()证明:以 为坐标原点、所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系则()()()()().()()().与 所成角的余弦值为.()().解析建立如图所示的空间直角坐标系.()由题意得()()()()().()由题意得()()()()()().()证 明:由 题 意 得()().()()即.综合运用.解析 设则 .()().()且.又异面直线所成角的范围为(直线 与 所成角的余弦值为.解 析()证 明:平

22、面 在 平 面 上 的 投 影为.由 得 平面 而 平面 同理可证.平面.()以 为原点建立空间直角坐标系如图所示则()()()()()()()由()知是平面 的一个法向量.平面 中的两个向量()().设平面 的法向量为 ()则.令 得 平面 的一个法向量为().平面 平面 平 面 的 一 个 法 向 量 为().由于 ()平面 与平面 所成二面角的余弦值为.解析()直角梯形 的面积为底面().四棱锥 的体积底面.教材习题答案66()建立如图所示的空间直角坐标系则()()()()则()()().底面 平面 向量是平面 的一个法向量.设平面 的法向量为()由 且 可 得.令 则()()面 与面

23、的夹角的余弦值为.解析如图所示以为基底建立空间直角坐标系.设原正方形的边长为 则 .解析如图以点 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系 设 则()()()所以()()因 为为的 中 点 所 以()所 以()()()设()为平面 的法向量则 所以取 则 所以()设直线 与平面 所成的角为()则 所以直线 与平面 所成的角为.证明()、分别为、的中点.同理.又、不共线、四点共面.()、分别为、的中点 .又 平面 平面 平面.()由题意得.四式相加得 ().拓广探索.解析()证明:以 为坐标原点、所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系(图略)设()则()()()()()()即.()()().当且

24、仅当 即、分别为、的中点时最大.取 的中点为 连接、则()即是平面 与平面 所成的夹角.易 得()()即 平面 与平面 的夹角正切值为 .解析 设公垂线 的长为 .又 或 即 .第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率.倾斜角与斜率练习.解析()因为 所以直线的斜率 .()因为 所以直线的斜率 .()因为 所以直线的斜率 .67()因为 所以直线的斜率 .解析()因为 所以直线的倾斜角为.()因为 所以直线的倾斜角为.()因为 所以直线的倾斜角为.()因为 所以直线的倾斜角为.解析()因为()()所以直线 的斜率()由 可知其倾斜角为锐角.()因为()()所以直线 的斜率 由 可知其倾斜角

25、为钝角.解析()由已知得 因为 所以经过点、的直线的倾斜角为.()因为点、的横坐标相同纵坐标不同所以经过点、的直线的倾斜角为.()由已知得()因为 所以经过点、的直线的倾斜角为.解析 由题意得 所以.两条直线平行和垂直的判定练习.解析()直线 的斜率()直线 的斜率 .()直线 的斜率 直线的斜率 ().解析.()若 则 即解得.()若 则 即解得.习题 2.1复习巩固.解析 由 得 由 得.直线的倾斜角为 或.解析()()().解析()由()解得.()由()解得().解析().又、都经过点 、三点在同一条直线上.解析().()轴 轴过点、不过点、.()()().解析()().()()().(

26、)().综合运用.解析 由()()()解得 或.又()()且.综上.解析()().当 时当)时 为钝角取()则().可以验证当点位于直线 的左上方区域时有.2.3直线的交点坐标与距离公式.两条直线的交点坐标练习.解析()由得 交点坐标为()图形如图.()由得 交点坐标为()图形如图.解析()由得 与 相交交点坐标为().()由得两式相同 与 重合.()解方程组()()()得 矛盾方程组无解.解析由得即直线 与直线 的交点坐标为 ()因为直线 经过坐标原点和点 所以直线 的斜率为所以方程为.两点间的距离公式.解析()()().()()().()()().()()().解析 ()()解得.证明已知

27、:在 中 点 为斜边 的中点.求证:.证明:以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系教材习题答案70 因为 所以()()因为 为 的 中 点 所 以()由两 点 间 的 距 离 公 式 得 ()()()()()()所以 .所以直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.点到直线的距离公式练习.解析().()直线 化为 则().解析()().()().()().解析 由已知条件及点到直线的距离公式得()()解得 或.两条平行直线间的距离练习.解析()在 上取一点()则.()在 上取一点()将 化为 则 .解析 由已知得()解得 或.解析在直线:上取点()在直线:上取点()设()因为 是 上靠近

28、的三等分点所以 所以()()所以()()解得即()设:则 解得 所以 的方程为.所以点()到直线 的距离()即 与 间的距离为.习题 2.3复习巩固.解析()由解得 两直线相交交点坐标为().()将 化简得 联立方程得得 矛盾方程组无解两直线无交点故两直线平行.()将 化简得 因此两直线重合.解析()由解得 交点坐标为().由 得 由 得 所求直线 的方程为()整理得.()由得.交点坐标为().由 得 由 得 所求直线 的方程为 ()整理得.解析 不能.理由如下:()()()()()().()则 ()()()()()().解析 将直线方程 化为 则().()当时解得或()当 时即 或 或.解

29、析 由 题 意 得()解得 或.解析 如图由得即()由得即()由得即()所以 ()()点 到 直 线 的 距 离 ()所以平行四边形 的面积为.拓广探索.解析 方程()可化为()()和 不能同时为 方程()表示一条直线.由解得 直线()过定点().方程()表示一条直线且所有直线过定点().解析()证明:设四边形 是边长为 的正方形()()()()设 为正方形内一点坐标为()如图则 ()()()().即()()()()当且仅当 且 时等号成立此时点 既在 上又在 上因此点 是正方形的中心则.()正方形的内部到四个顶点的距离之和最小的点为正方形的中心.2.4圆的方程.圆的标准方程练习.解析()()

30、().()()().解析()(.)(.).(.)在圆外.()()()()在圆上.解析 设圆的标准方程为()()()则圆心为()半径为 由题意得 ()().故所求圆的标准方程为()().将()()()的坐标分别代入圆的标准方程可得:()()点 在圆上()()点 在圆外()()()()()都在圆上()()解得.外接圆的标准方程是()().圆的一般方程练习.解析()圆心坐标为()半径为.()圆心坐标为()半径为.教材习题答案72()圆心坐标为()半径为.解析()表示点().()表示以()为圆心为半径的圆.()()当 时表示点()当 不同时为 时表示以()为圆心为半径的圆.解析 由题意得()()()(

31、)设所求圆的方程为 因为、都在圆上所以解得.故所求圆的一般方程为 圆心坐标为()半径为.习题 2.4复习巩固.解析()圆心坐标为()半径为.()圆心坐标为()半径为.()圆心坐标为()半径为.()圆心坐标为()半径为 .图形略.解析()()()圆的方程为()().()设圆的方程为 则即解得.故所求圆的方程为.图形略.解析设圆心坐标为()半径为则圆的标准方程为()().由题意得()()解得.故所 求 圆 的 标 准 方 程 为()().解析设圆心坐标为()半径为 则圆的方程为().由题意可得()()解得.故所求圆 的方程为().综合运用.证明 ()()是圆的一条直径的两个端点 线段 的中点是圆的

32、圆心线段 的长度是圆的直径即()()半径()()圆 的 标 准 方 程 为()()整理得 即()()()()此圆方程为()()()().解析 设过、三点的圆的方程为则解得故圆的方程为.将()代入上式得 即 的坐标满足、三点确定的圆的方程故、四点共圆.解析 如图由题意得等腰三角形 的底边的端点 在以()为圆心经过点()的圆上且除去点 以及点 关于点 对称的点.设点()关于()对称的点为()则有解得 所以点 关于点 对称的点为().又()()所以底边的端点 的轨迹是圆()()除去点()()即底边的端点 的轨迹方程是()()且且.解析如图点、运动时线段 的中点 到原点的距离为定长即为的斜边上的中线长

33、.因为 所以 所以点 的轨迹是以原点 为圆心为半径的圆.根据圆的标准方程得点 的轨迹方程为.拓广探索.解析设()根据题设条件有.因为()()所以()化简得.故满足条件 的点 的坐标满足方程.反过来坐标满足方程 的点也满足()即满足条件.所以点 的轨迹方程是 即().轨迹是以()为圆心 为半径的圆.证 明 因 为 点 ()满 足 所以()()因为 所以()()所以点 的轨迹是圆心为()半径为 的圆.73 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系.直线与圆的位置关系练习.解析()圆:的圆心为()半径 圆心()到直线:的距离()所以直线:与圆:相离.解 析 设 圆 的 半 径 为 则 圆 的方程为.解析 易

34、知圆()()的圆心坐标为()半径 由点到直线的距离公式得()到直线 的距离为()所以直线 与圆()()相交.所以弦长为 所以直线被圆截得的弦长为.练习.解析 建立如图所示的平面直角坐标系.易知.则(.)(.)(.).设所求圆的方程是()()所以(.)(.)(.)解得.故所求方程是(.).(.).解析建立如图所示的平面直角坐标系依题意有()()()()().设拱桥所在圆的方程是()()所以()()()解得.所以圆的方程为(.).().把点 的横坐标代入上式得.或.(舍).因为船在水面以上的高为 所以直线 与圆相离所以圆 上的点到直线 的最近距离为.最远距离为.圆与圆的位置关系练习.解析易知圆:的

35、圆心为()半径 圆:的标准方程为()()其圆心()半径 所以 因为 所以两圆外切.解析 由题意得圆 的标准方程为()()圆心坐标为()半径 圆 的标准方程为()()圆心坐标为()半径 ().即 时方程表示圆.此时圆的半 径 ()所以当 时 取得最大值 所以当圆的半径最大时圆的方程为.解析 由 得()()即圆心()半径 由 得()()即圆心()半径 因为 ()()所以 所以圆 与圆 相内切.综合运用.证明如图依题意可得点 的坐标分别为()()所以直 线 的 方 程 是 ()()()()其中.因为 所以当 时有()()()().因为函数()在 及 之间的一段图象可以近似地看作线段所以有()()()

36、().解析 将()()化为()()因 为为 任 意 实 数 所 以解得即直线()()恒过定点()所以点()到直线 的距离的最大值为()().解析 设直线 夹在直线、之间的线段是 点、的坐标分别是()()且线段 被点()平分则 所以.不妨设点 在直线 上 在直线上所以()()解得即点 的坐标是()所以直线 的方程为即直线 的方程为.解析 如图设()关于直线:的对称点为()则解得即()因为()所以 的方程为 联立 得 所以满足条件的点 的坐标为().解析 将两圆的方程 相减得公共弦所在直线 的方程是.把圆的方程 化成标准形式为()()圆心的坐标为()半径 .圆心()到直线 的距离故弦长为.解析 方

37、程 化为标准形式为()()设该圆的圆心为 则圆心 的坐标是()半径为.设圆 的圆心为 则 的坐标是()半径为.因为两圆关于直线 对称所以直线 是线段 的垂直平分线.线段 的中点坐标是()直线 的斜率 所以直线 的方程是 即.解析 圆 的圆心坐标是()半径为.设所求圆 的方程是()()由圆 与圆 关于直线 对称知直线 是两圆心连线的垂直平分线所以解得故所求圆的方程是()().解析 因为点()在直线 上所以所求圆的圆心在经过点 且与直线 垂直的直线上易得该直线的方程是.因为 所 求 圆 的 圆 心 在 直 线 77 上所以由得所以圆心 的坐标是().因为()()故所求圆的方程为()().拓广探索.

38、解析由题意可得在四边形 中.设 ()()()()所以()()()()()()()()所以 变形得()()()()所以()()()()所以对角线 与 垂直.解析 当 时方程 化成 即()().所以当 时方程 表示圆()()在第一象限内的部分以及 轴、轴非负半轴上的点()()及().同理当 时方程 表示圆()()在第四象限内的部分以及 轴非正半轴上的点().当 时方程 表示圆()()在第二象限内的部分及 轴非正半轴上的点().当)椭圆的标准方程为.()()().由得 当焦点在 轴上时椭圆的标准方程为当焦点在 轴上时椭圆的标准方程为.解析()的周长为 所以 的周长为.()当 不垂直于 轴时 的周长不

39、会变化.因为上式仍然成立所以 的周长为定值.解析 设点 的坐标为()由已知得直线 的斜率()直线 的斜率().由题意得 所以 ()化简得().因此点 的轨迹是直线 并去掉点().椭圆的简单几何性质练习.证明 能.以点(或)为圆心线段()为半径画圆并作出与 轴的两个交点、就是椭圆的两个焦点.在 中 .同样有.教材习题答案78.解析()由标准方程知 且焦点在 轴上 焦点坐标为()().()由 得 焦点在 轴上.因此焦点坐标为()().解析()焦点在 轴上设椭圆的标准方程为()椭圆的标准方程为.()焦点在 轴上设椭圆的标准方程为()椭圆的标准方程为.解析()由题意知、分别是椭圆的长轴、短轴的端点且焦

40、点在 轴上设椭圆的标准方程为().由题意知 椭圆的标准方程为.().又 椭圆的标准方程为 或.解析()将 化为标准方程得 于是 离心率 .在方程 中 离心率.椭圆 的形状更扁 的形状更圆.()将 化为标准方程得于是 离心率 .在方程 中 离心率.椭圆 的形状更扁 的形状更圆.练习.解析()由消去 并整理得 此时 交点的坐标为().()由消去 并整理得 或 此时 或.交点的坐标为()或().解析 由椭圆的方程知()直线 的方程为 ()即().与椭圆的方程联立并消去 得.由根与系数的关系知 ()()().习题 3.1复习巩固.解析点 的轨迹是焦点在 轴上的椭 圆.关 系 式()()表示的几何意义为

41、点()到两定点()()的距离之和为 且大于两定点间的距离 由椭圆定义知 则 椭圆的方程是.解析()由焦点坐标知椭圆的焦点在 轴上设椭圆的标准方程为()则 椭圆的标准方程为.()由得 椭圆的标准方程为 或.解析()化为标准方程是 则 故长轴长 短轴长 离心率 两个焦点坐标分别是()()四个顶点坐标分别是()()()().(图略)()化为标准方程是 则 故长轴长 短轴长 离心率 两个焦点坐标分别是()()四个顶点坐标分别是()()()().(图略).解析()由题意知椭圆的焦点在 轴上设椭圆的方程为()则 椭圆的方程为.()当焦点在 轴上时设椭圆的方程为().且过点()椭圆的方程为.当焦点在 轴上时

42、设椭圆方程为()且过点()椭圆的方程为.综上椭圆的方程为 或.()由题知.椭圆的方程为 或.解析由椭圆方程可得椭圆的焦距79 .因为的面积等于 所以 解得 .代入椭圆方程得解得.所以点 的坐标是.解析 点 的轨迹是以 为焦点为长轴长的椭圆.连接.因为 垂直平分线段 所以 所以 .又因为点 在圆内所以 )则有.解得.轨道的方程为.解析 设点 的坐标为()是点 到直线 的距离根据题意所求轨迹就是集合 由此得().两边平方并化简得 即.所以点 的轨迹是长轴长、短轴长分别为、的椭圆.综合运用.解析设()是曲线上的任意一点()是圆上的任意一点 则()由可得.()在圆 上 即 化简为.点 的轨迹是焦点在

43、轴上的椭圆.解析 由 得()表示圆心为()半径 的圆由 得()表示圆心为()半径 的圆.设动圆圆心为()半径为 则 .由)由题意得 即.因此.故动圆圆心 的轨迹方程为.证明 由已知得()、()、()、().因为 是线段 的四等分点是线段 的四等分点所以()、()、()、()、()、().直线 的方程是 直线 的方程是 联 立 这 两 个 方 程 解 方 程 组得.所以点 的坐标是().同理点 的坐标为()点 的坐标为().将点 的坐标代入椭圆方程()中均成立.因此直线 与、与、与的交点 都在椭圆()上.解析 .地球到太阳的最大距离为 .()地球到太阳的最小距离为.().拓广探索.解析 由直线

44、的方程与椭圆的方程可知直线 与椭圆不相交.设直线 平行于直线 则直线 的方程可设为().由方程组消去 得.令方程的根的判别式 得().解方程得.由图可知当 时直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近此时直线 的方程为.直线 与直线 间的距离.所以最小距离是.()由()可知当 时直线 与椭圆的交点到直线 的距离最远此时直线 的方程为.直线 与直线 的距离.所以最大距离为.解析 设这组平行直线的方程为 把 代入椭圆方程 得 .这个方程的根的判别式 ()().()由 得 )由方程组()()()解得.所以双曲线的标准方程为.()根据双曲线的定义有()()所以 .又 所以.因为双曲线的焦点在 轴上所以双曲线

45、的标准方程为.证明 双曲线 可化为则所以焦点坐标为()().椭圆 的 两 焦 点 坐 标 为()().所以双曲线 与椭圆 有相同的焦点.解析当方程 表示双曲线时有()()解得 或 所以 因为点 在双曲线上所以由双曲线的定义知 因为 所以 或.双曲线的简单几何性质练习.解析()双曲线 中 所以它的实轴长 虚轴长 顶点坐标为()()焦点坐标为()()离心率 .()双曲线 中所以它的实轴长 虚轴长顶点坐标为()()焦点坐标为()()离心率.()双曲线 中 所以它的实轴长 虚轴长 顶点坐标为()()焦点坐标为()()离心率 .()双曲线 中所以它的实轴长 虚轴长顶点坐标为()()焦点坐标为()()离心

46、率.解析()因为顶点在 轴上所以设双曲线的标准方程为()依题意有 双曲线的标准方程为.()因为焦点在 轴上所以设双曲线的标准方程为()依题意有 双曲线的标准方程为.解析 焦点在 轴上故设双曲线的标准方程为()由题意知.双曲线的标准方程为它的渐近线方程为.解析 若焦点在 轴上则由已知得解得所以双曲线方程为 若 焦 点 在 轴 上 则 由 已 知 得解得所以双曲线方程为.综上满足条件的双曲线方程为 或.练习.解析 设()因为()()所以()整理得()所以点 的轨迹是以原点为中心焦点在 轴上的双曲线(除去()().解析()由消去 并整理得 解得 或 或.交点坐标为()().()由消去 并整理得 解得

47、.当 时 交点坐标为().解析 设()().依题意由方程组消去 得 所 以 不 妨 令 因为 所 以 解得 81 又因为 所以 所以.习题 3.2复习巩固.答案 解析 双曲线 可化为 设双曲线的两个焦点分别为 不妨设 由定义知 所以 所以 或(舍去).解析()设双曲线方程为().因为双曲线过点()所以解得 所以双曲线方程为.()当焦点在 轴上时设双曲线方程为()依题意有解得所以双曲线方程为.当焦点在 轴上时设双曲线方程为 ().依 题 意 有无解.综上双曲线方程为.解析()原方程可化为因此 即 且焦点在 轴上.因此焦点坐标为()()离心率 渐近线方程为.()原方程可化为因此 即 且焦点在 轴上

48、.因此焦点坐标为()()离心率 渐近线方程为.解析()设双曲线的标准方程为()依题意得 即.因此双曲线的标准方程为.()设双曲线的标准方程为()依题意得 即 .因此双曲线的标准方程为.().双曲线为等轴双曲线设其方程为()将()代入得().故双曲线的标准方程为.解析当点 在圆上运动时点 的轨迹是双曲线.因为 而 且 时方程表示以坐标原点为圆心 为半径的圆.()当 时方程表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆当 时方程表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆.()当 时方程表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线当 时方程表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线.解析 由题意知椭圆的半焦距为 且焦点在 轴上.设双曲线方程为()所

49、求双曲线的方程为.解析 以、所在的直线为 轴线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系.设()是曲线上的任意一点则根据题意有 )则 所以 .所以所求轨迹方程为 .解析 设点()则()整理得.令 ()则上式变为.所求点 的轨迹为双曲线且轨迹方程为().解析 依题意四边形 为矩形设()如图.因为四边形 的面积为 所以 所以所以 即 或 所以点 的轨迹为双曲线.解析椭圆()的离心率 双曲线 的离心率 因为双曲线的渐近线的斜率 所以 教材习题答案82 所以.所以 的取值范围是的取值范围是.拓广探索.解析 当直线 的斜率存在时设()()经过点 的直线 的方程为()即.与双曲线的方程联立并消去 得()()

50、()()().当 时方程变为 .此时)抛物线的标准方程为.()设抛物线的标准方程为()抛物线的标准方程为.()当焦点在 轴上时设抛物线的标准方程为 或()抛物线的标准方程为 或.同理可得当焦点在 轴上时抛物线的标准方程为 或.综上所求抛物线的标准方程为 或.解析()由 得抛物线开口向右 所以 因此焦点坐标为()准线方程为.()由 得抛物线开口向上所以.因此焦点坐标为 ()准线方程为.()由 得抛物线开口向左所以.因此焦点坐标为 ()准线方程为.()由 得 抛物线开口向下 所以 因此焦点坐标为()准线方程为.答案()()()或()解析()由抛物线定义知 到准线的距离为 设 ()则 到准线的距离为