选择性必修第一册第三章 微专题4 圆锥曲线的离心率 学案.docx

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1、微专题4圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点，下面就离心率的求法做一个简单的总结一、定义法例1(1)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M为直线y2b上的一点，F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案C解析因为F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|F1F2|，即2c，即4b2c24c2，4a27c2，e2，故e.(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为_答案解析不妨设P为双

2、曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e.反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程二、几何法例2(1)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|

3、PF2|，|F1F2|PF2|.由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即a，2c|F1F2|PF2|，即c，则e.(2)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_答案解析根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则解得又|F1F2|2c，|PF2|最小在PF1F2中，由余弦定理，得cos 30，2ac3a2c2.等式两边同除以a2，得e22e30，解得e.反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值三、寻求齐次方程求离心率例3

4、(1)已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为0e0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)反思感悟利用定义以及图形中的几何关

5、系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2(或a2c2b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解四、求离心率的取值范围例4(1)已知双曲线1(a0，b0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，其离心率e的取值范围为()A，) B，)C(1， D(1，答案D解析依题意，点(a，0)到渐近线bxay0的距离不大于a，a，解得e.又e1，1b0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入上式，解得x2.又x20，a2，2c2a23c2，e.反思感悟求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围