2023届高考数学易错题专项突破——易错点6 函数零点存在定理（Word版含解析）.docx

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1、易错点6 函数零点存在定理一、单选题1. 函数的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 函数fx=22xlnx(提示：e2.718)的零点所在区间为（ ）A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,43. 已知a是函数f(x)=2xlog12x的零点，若0x00C. f(x0)0B. 命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”.C. “a=2”是“(a1)(a2)=0”的必要不充分条件D. 给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件6. 函数f(x)=lnx3x在下列所给的区间内存在零点的是（ ）A. 0,1B. 1,2C.

2、 2,3D. 3,47. 函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (1,+)C. (,2)(1,+)D. 2,18. “f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、单空题9. 已知函数f(x)=2lgx+x4的零点在区间(k,k+1)(kZ)上，则k=_10. 函数f(x)=(x1)lnxx3的零点是_.11. 设函数f(x)=2x,x1log2x,x1，若函数y=f(x)k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是_三

3、、解答题12. 已知函数f(x)=lnxx+1，g(x)=lnxex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0时，令lnx=0，解得x=1，函数与x轴有一个交点，为(1,0)，当x0时，令x(x+2)=0，解得x=0或x=2，函数与x轴有两个交点，为(0,0)或(2,0)，所以函数与x轴有三个交点，所以函数一共有三个零点，故选D2. 函数fx=22xlnx(提示：e2.718)的零点所在区间为（ ）A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4【答案】C【解析】解：f(1)=20，f(1)f(2)=2(1ln2)0，排除Bf(2)f(3)=(1ln2)(12ln

4、3)0，一定有零点故选：C3. 已知a是函数f(x)=2xlog12x的零点，若0x00C. f(x0)0D. f(x0)的符号不确定【答案】C【解析】解：f(x)=2xlog12x在(0,+)上是增函数，a是函数f(x)=2xlog12x的零点，即f(a)=0，当0x0a时，f(x0)0，故选 C4. 若函数y=f(x)在区间0,4上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值（ ）A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】D【解析】解；满足题中要求的函数y=f(x)图象可以有以下两种情况由这两个图形得，f(0)f(4)0B.

5、 命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”.C. “a=2”是“(a1)(a2)=0”的必要不充分条件D. 给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件【答案】D【解析】A.若f(a)=0或f(b)=0，则结论不正确；B.命题“三角形的内角和是180”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是180”，B错误；C.“a=2”是“(a1)(a2)=0”的充分不必要条件，错误；D.若p是q的充分不必要条件，则由p可得q，由q不能得p，所以由q可得p，由p不能得q，所以p是q的必要不充分条件，正确故选D6. 函数f(x)=lnx3x在下列所给的区间内

6、存在零点的是（ ）A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4【答案】C【解析】解：函数，函数的零点所在区间是2,3故选C7. 函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (1,+)C. (,2)(1,+)D. 2,1【答案】C【解析】函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，可得：f(2)f(1)0并且m0，可得：(44m)(2m+4)0，解得m(,2)(1,+)函数f(x)=2mx+4，若在2,1内恰有一个零点，则m的取值范围是(,2)(1,+).故选C.8. “f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f

7、(x)有零点”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由“f(a)f(b)0”不能推出“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”，函数f(x)必须连续，由“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”也不能推出“f(a)f(b)0”，f(a)和f(b)可能同号，所以“f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”的既不充分也不必要条件，故选D二、单空题9. 已知函数f(x)=2lgx+x4的零点在区间(k,k+1)(kZ)上，则k=_【答案】3【解析】解：函数f(x)=2lgx+x4在(0,+)上单

8、调递增，f(3)=2lg310，f(3)f(4)0，函数的零点在(3,4)之间，函数f(x)=2lgx+x4的零点在区间(k,k+1)(kZ)上，k=3，故答案为310. 函数f(x)=(x1)lnxx3的零点是_.【答案】1【解析】解：由题意可得函数f(x)的定义域为0,33,+，令f(x)=0，即，所以x1=0或lnx=0，所以x=1，满足定义域，所以f(x)的零点是1故答案为111. 设函数f(x)=2x,x1log2x,x1，若函数y=f(x)k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是_【答案】(12,+)【解析】根据题意，若函数y=f(x)k有且只有两个零点，则函数y=f(x)的图象与

9、直线y=k有且只有两个交点，而函数f(x)=2x,x12，即实数k的取值范围是(12,+)；故答案为：(12,+)三、解答题12. 已知函数f(x)=lnxx+1，g(x)=lnxex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0，得：0x1，f(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，故f(x)f(1)=0，即f(x)在(0,+)的零点个数为1(2)法1：g(x)=lnxex+2，令g(x)=1xex=h(x)，h(x)=1x2ex0，g(1)=1e0，g(x)单调递增，在(x0,+)上g(x)0，g(x)单调递减，g(x)max=lnx0ex0+2=x01x0

10、+20，即g(x)0在(0,+)恒成立.法2：由(1)知f(x)=lnxx+10，lnxx1，当且仅当x=1时取“=”，ln(x+1)x，eln(x+1)ex，即x+1ex，当且仅当x=0时取“=”，1+lnxxex1，且两个等号不能同时取到，lnxex+20，故：g(x)0在(0,+)上恒成立13. 已知函数fx=ex1，gx=x+x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828。(1)证明：函数hx=fxgx在区间(1,2)上有零点；(2)求方程fx=gx的根的个数，并说明理由。【答案】(1)证明：由h(x)=f(x)g(x)ex1xx，得h(1)=e30，所以函数h(x)在区间(1,2)上

11、有零点；(2)解：由(1)得h(x)=e21xx由g(x)=x+x知，又h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)上有零点，因此h(x)在上至少有两个零点，因为h(x)=ex12x121，记(x)0，因此(x)在上单调递增，即h(x)在上单调递增，又h(x)h(0)=0，h(x)在上单调递增，又h(x)在(1,2)上有零点，h(x)在上有一个零点，h(x)在上有且只有两个零点，方程f(x)=g(x)的根的个数为214. 已知函数fx=x2ax+2，在下列条件下，求实数a的取值范围(1)零点均小于2；(2)一个零点大于2，一个零点小于2；(3)在区间(4,3)上恰有一个零

12、点【答案】解：由题意得(1)=a280a20解得，22a3或a22，则实数a的取值范围是22,3)(,22(2)f(2)=62a0，解得a3，则实数a的取值范围是,3(3)若在区间(4,3)上恰有一个零点，则f4f30或=a28=04a23解得，92a113或a，综上，实数a的取值范围是92,11315. 已知向量a=cosx,sinx，b=3cosx,cosx，若fx=ab(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数fx在区间0,2上的零点【答案】，要求函数fx的减区间，即求的增区间，则有2k22x32k+2,kZ，解得k12xk+512,kZ，f(x)的单调递减区间为k12,k+512，kZ;(2)由f(x)=0得，x0,2，则2x33,113，要使，则2x3=3,23,73,83解得x=3,2,43,32，故函数fx的零点为3,2,43,32