2022全国新高考1卷数学评析——立意新颖界定明确有效区分.doc

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1、2022全国新高考1卷数学评析立意新颖，界定明确，有效区分“立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对一线教师的教学有导向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。1”这是命题研究组对2022全国新高考1卷数学的总体感知。落实到2022全国新高考1卷数学的试题教学，这种感触逐步加深。2022全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，对2022年全国新高考1卷数学题，深受启发，特撰写此文。立意新颖，不为题海战术开方便之门2022全国高考数学试题颇具江苏特色。譬如：选择题压轴题第8题，解答题压轴题第21题等。选择题第8题及其出题背景研究该题为2016年江苏高考试题第17题的改

2、编。选项具有迷惑性，做到了“有效区分”。命题研究组研究员在给高一学生讲解第8题时，发现：有高一学生，采用“极端思想”，求得答案为B。实则答案为C。参考答案：；注意到，故，答案选C，而非B。本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。教材习题 求函数的最大值。试题修改 对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为”.（1）按处理方向处理，形成1稿.1稿 已知一正四棱锥的高为,侧棱长为，记，求其体积的最大值及

3、此时的长。提示：，2稿 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥，其侧棱长为，其底面正方形的中心为,下部分形状为正四棱柱，其底面正方形的中心为,要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.2稿分析：记，则；注意到，当且仅当，即时，等号成立；，. 2016年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为的情况，,）（2） 按处理方向处理，形成问题变式.变式 现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为,底面圆圆心为的圆锥，其母线长为，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为，要求圆柱的高是圆锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.注

4、：该例为笔者文章“2例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是江苏高考数学复习指南（刘蒋巍著）、中学学科学法指导（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法解答题第21题及其出题背景研究笔者长期从事竞赛数学教学工作。当笔者看到2022年全国卷第21题时，颇感熟悉。其出题背景为：“当点在曲线上时，过点A作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为P，Q，则直线PQ的斜率为定值。”xyOPACBD这让笔者联想到2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题。（解答见

5、拓展阅读2）原题如下： （2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，证明：，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补 （2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题） 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线与椭圆分别交于和，且直线的斜率互为相反数.（1）证明：；（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值. 引理过不在曲线上的点作两条直线分别与椭圆交于和两点，且直线的倾斜角互补，则证明：设过点倾斜角为的直线参数方程为(t为参数)，与椭圆E联立方程组，整理得：所以同理可得， 故成立反之，若，也有，即倾斜角互补由于非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所

6、得线段长度是不一定相等的，需要增加条件“两条直线倾斜角互补”，椭圆中的“割线定理”才能成立当点在椭圆的内部时，即为相交弦定理；当点在椭圆的外部时，即为割线定理； 当点在曲线上时，过点作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为，则直线的斜率为定值（2022年全国1卷第21题出题背景）若曲线为椭圆时，； 若曲线为椭圆时，； 若曲线为抛物线时，； 推论1：过点作两条直线分别与椭圆交于和两点，且直线的斜率互为相反数，则 推论2：过点作两条直线分别与双曲线交于A,B与C,D两点，且直线的斜率互为相反数，则 推论3：过点作两条直线分别与抛物线交于A,B与C,D两点，且直线的斜率互为相反数，则界

7、定明确，对一线教师的教学有导向功能“基础题送分到位，中档题多题把关，难题有效区分。”选择题第6题为中档题，此类问题在往年全国卷及20212022年模考卷中常有涉及。方法较多，譬如：构造函数法。此类问题，需要考生熟悉常见的函数模型。参考答案：C 类似考题：另外，多选题第12题、填空题第16题均属于把关题，能够有效区分不同水平的学生。有效区分，让不同水平的学生高低立显2022年全国1卷第22题，第1问是期望大部分学生能够得到分数的。时间来不及的学生，也可以通过猜想：a=1并验证，得到一点分数。但第1问，要拿满分，需要分类讨论。第2问，则需要严谨证明。在全卷多题把关的情况下，第22题取得满分，实属凤

8、毛麟角了。参考文献1 刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析J.中学数学教学参考,2018(07):60-61.2 例谈高中数学教材试题的衍生以江苏高考数学试题命制为例J. 文理导航(中旬),2017,(02)拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法设函数、为f（x）的导函数若，且f（x）的极大值为M，求证:M（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法三：注意到：当时，当且仅当，即时，等号成立；令，则；因为，所以拓展阅读2：2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题xyOPACBD（2009年江苏高中联赛复赛解

9、答题第3题）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，证明：，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补解 设、的倾斜角分别为、，由题设知、. 易知直线的参数方程为，代入抛物线方程可化得 . 设上述方程的两根为、，则 . 由参数的几何意义，得 . 同理. 若、四点共圆，则 ，即 .因为、，所以 .又由、不重合，则. 所以. 反过来，若，则因、，故，且，. 所以 ，即.故、四点共圆. （2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题） 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线与椭圆分别交于和，且直线的斜率互为相反数.（1）证明：；（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.（常规方法）由题意知，过点的直线的斜率存在，记直线的斜率为，则的斜率为，设故直线的方程为：，即，与椭圆联立方程组，整理得：，则有同理，可得：，故（参数方程法）由题意知，可设直线的倾斜角为，则的倾斜角为b，且，故直线的参数方程为与椭圆联立方程组，整理得：由参数t的几何意义可得同理，可得：，故（2）证明略。9