人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1 圆的标准方程 教案.docx

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1、2.4.1 圆的标准方程教学设计一、教学内容圆的标准方程二、教材分析圆的方程一节安排在高中数学新人教A版教材选择性必修一第二章第4节。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对上一节直线的方程，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用，在高考中占有重要地位。三、学情分析通过前面的学习，学生初步体会了运用代数方法解决几何问题的思路。学生学习解析几何的时间不长，学习程度较浅，对坐标法的运用不够熟练，在学习过程中会出现一些困难，

2、另外学生探究问题的能力，合作交流的意识有待加强。四、教学目标和目标解析1.教学目标（1）掌握圆的几何要素与圆的标准方程，利用圆的定义推导圆的标准方程。（2）培养学生用坐标系研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解。（3）能根据所给条件求出圆的标准方程，能结合题目已知条件选择解题方法。2.目标解析通过本节课的学习，要让学生掌握圆的标准方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程.能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径. 面对没有直接给出圆的圆心和半径的题目时，能够选择用几何法或者代数法求圆心和半径，进而写出圆的标准方程。体会几何法与代数法的优点，体现了数学

3、抽象、逻辑推理、数学运算的学科核心素养.五、教学重难点1. 教学重点是认识圆的标准方程，求圆的标准方程；2. 教学难点是选择恰当的方法求圆的标准方程，解析法与几何法的灵活运用。六、教学过程设计（一） 复习回顾，引入新知问题1：类似于在平面直角坐标系中直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.那么确定圆的几何要素是什么呢？确定圆的要素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.设计意图：引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？（二）活动探究问题2： 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.我们怎样寻找圆上点的坐标满足的关系式

4、呢？师生活动：学生独立思考、讨论交流在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为，为圆上任意一点，圆就是以下点的集合.根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得到 （1）由上述过程可知，若点在圆上，点的坐标满足方程（1）；反过来，若点的坐标满足方程（1），就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上.这时，我们把方程（1）称为圆心，半径为的圆的标准方程.当圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程又是什么？设计意图：通过让学生探究，讨论圆上的点满足的条件，进一步借助平面直角坐标系，运用代数式子表示出来，培养学生数学抽象的学科素养，为后继的学习打下基础。（三）方程的初步巩固应用例1. 圆的

5、圆心是_，半径是_圆心为（1，2）,半径为2的圆的标准方程是_练习：课本P85 练习 1圆的圆心是_，半径是_圆的圆心是_，半径是_圆心为（0，-5）,半径为1的圆的标准方程是_圆心为（0，0）,半径为的圆的标准方程是_设计意图：学生在初步认识了圆的标准方程后，需要对确定圆的几何要素既圆心和半径有进一步的认识，从以上例题和练习中，学生能进一步感受圆心和半径对确定圆的方程中的地位与作用，另外，学生知道圆心和半径能熟练的书写圆的方程也是本节课的一大重要目标，发展学生直观想象的核心素养。例2.求以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程。解析：AB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，直径为

6、|AB|10，该圆的标准方程为练习：（1）圆的一条直径的端点分别是 A(-1，-4)，B(5,0) 则此圆的方程是？（2）经过点（5,1），圆心坐标为（8，-3）则此圆的方程是？设计意图：通过例题1，学生对圆的标准方程已经有了初步认识，此时，为了让学生加深对几何直观图像与解析表达式之间的认识，故设计此题目，在讲解时借助GGB的动态演示图像分析，从而找到解题的思路，从而确定圆的圆心和半径，进而求圆的方程，这是对例题1的升华，也是为下一个例题讲几何法埋下伏笔，学生的认知能力进一步提升，发展学生数学运算的核心素养。例3求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程。解析：方法一

7、设所求圆的标准方程为，由已知条件知(1-a)2+(-1-b)2=r2(-1-a)2+(1-b)2=r2a+b-2=0ab20，(解此方程组，得4. a=b1，故所求圆的标准方程为方法二如图，由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分线的斜率为k1，AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由xy20 ，yx ，得y1，x1，即圆心为(1,1)，圆的半径为r2，故所求圆的标准方程为方法总结：求圆的标准方程的核心是寻找圆心和半径，求解的方法有(1)直接法：根据已知条件，直接找出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程(2)待定系数法：根

8、据题意，设出标准方程；根据条件，列关于a，b，r的方程组；解出a，b，r，代入标准方程(3)几何法:运用常见的几何条件转化成代数表达式，解出a，b，r，代入标准方程。设计意图：本例题是本节课的重点内容，也是难点内容，是承载提升学生数学核心素养的载体。通过对本例题的学习，首先要让学生感受求圆的圆心与半径的重要性，进一步感受圆的标准方程；其次要通过本例题的学习，让学生从多角度进行问题的分析，采用最适合自己的方法解决问题；最后，感受数学运算在数学中的地位，加强对待定系数法和几何直观法的理解与内化，从而达到会一题而会一类的目的。综合提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养。练习：在平面直角坐标系xOy中，

9、求过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x-2y-1=0上的圆的标准方程。设计意图：通过对例题的学习，学生对数学运算和解题方法有了初步了解，本练习题通过让学生讨论，找到适合自己的解题方法，然后独立完成本练习题。每一个学生的数学运算能力只能通过学生自己的不断计算所积累形成的，故本题需要讨论找到解题思路后让学生独立完成运算过程。提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养。（四）归纳总结、布置作业让学生结合板书自主总结本节课所讲内容1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为。2、圆的标准方程的两种求法：直接法、待定系数法、几何法。布置作业A层：课本88页 习题2.4中第2题B层：课本88页 习题2.4中第8.9题七、板书设计2.4.1圆的标准方程1、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=12、 求圆的标准方程的方法：直接法:由圆心坐标和半径写出圆的标准方程 待定系数法：设 列 解 写 几何法：垂径定理