概率论与数理统计 (23).pdf

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1、第五章大数定律和中心极限定理 婴儿性别比 公交站台等 车的人数 研究试验的次数无限增大时,随 机现象的“稳定性”极限定理。 ()n 本章要解决的问题 为何能以某事件发生的频率作为该事件 的概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占有极其重要 的地位？ 大样本统计推断的理论基础是什么？ 大数 定律 中心极 限定理 5.1切比雪夫不等式 南 昌 大 学南 昌 大 学 切比雪夫不等式 引理5.1:设随机变量 X 的数学期望 E (X)与方差 D(X) 均存在，则对于任意实数 0，有 2 () (|()|) D X PXE X 以上两个不等式均称为切比雪夫不等式。 或

2、 2 () (|()|)1 D X PXE X 切比雪夫不等式示意图 F(x) x E X E X E X D(X)/ 2 分布对其分布中心E(X)的离散程度的数量指标 D(X) 越小，那么随机变量X取值于开区间 ( ( ), ( )E XE X 中的概率就越大，这说明方差是一个反映随机变量的概率 切比雪夫不等式 证明：我们就连续型随机变量的情况来证明。设 ( ),Xf x 则有 ( )P X E X () ( ) x E X f x dx 2 2 () ( ) ( ) x E X x E X f x dx 2 22 1 ( )( ) ( ) xE Xf x X dx D 切比雪夫不等式常用来

3、求在随机变量分布未知，只 知其期望和方差的情况下，事件概率的下 限估计。 ()XE X 2 () (|()|) D X PXE X 2 ()()( )D XxE Xf x dx 切比雪夫不等式 例1: 丢一枚均匀的硬币，试用切比雪夫不等式估计丢 900 次后出现正面的次数介于400 至 500 之间的概率。 解: 由切比雪夫不等式，得: (400500)PX 设出现正面的次数为 X，则 X B(900, 0.5)， 22 225( 10.91. 50 ) 1 D X D(X) = np(1-p) = 9000.5 0.5= 225 2 () (|()|)1 D X PXE X E(X) = n

4、p = 9000.5 = 450， (|450| 50)PX 切比雪夫不等式 例2: 某地进行日收入情况调查，收入的分布不清楚， 但知道平均日收入为80元，标准差为10元。试估计日收 入X在(60,100)内的概率。 解:由已知有 E(X) = 80， D(X) = 100，所求概率为 P (60 X 100) = P ( | X 80 | 20 ) 2 () 1 D X 2 100 1 20 = 0.75 注：假设本题的收入X 服从正态分布N(80,100),则有 P (60 X100) 60808010080 () 101010 X P (2)( 2)0.9544 这表明切比雪夫不等式给出的估计是比较粗糙的。 2 () (|()|)1 D X PXE X 小结 2 () (|()|) D X PXE X 或 2 () (|()|)1 D X PXE X 切比雪夫不等式 PafnutyLvovichChebyshev 1821-1894,Russia