第一讲PPT微积分 (8).pdf

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1、第二型曲线曲面积分 格林公式 正正向向： DCD设设 是是平平面面上上一一单单连连通通凸凸形形区区域域， 是是 的的边边界界闭闭曲曲线线， 1. 1.平面闭曲线的方向：平面闭曲线的方向： 左左手手域域方方向向 负负向向：右右手手域域方方向向 ( , ),( , )P x y Q x yCD方方向向为为正正向向，为为上上具具有有连连续续一一阶阶 偏偏导导的的函函数数，. CC PdxQdyPdx计计算算，以以为为例例 , Cxa b投投影影到到 轴轴得得一一闭闭区区间间， , ,. xa bxa xbCA B 过过 轴轴上上两两点点做做直直线线 与与曲曲线线 有有两两交交点点 ,.CA BCC下

2、 下上上 则则 被被两两点点分分成成，两两段段 2. 2.格林公式：格林公式： C下 C D b C上 ax y O A B 第二型曲线曲面积分 :,. xx Cxbxa yx 上上 始始点点终终点点 :,. xx Cxaxb yx 下下 始始点点终终点点 , CCC PxydxPxydxPxydx 下下上上 ,(),() ba ab P xxdxP xxdx ,(),() b a PxxPxxdx () () , b yx yx a P x ydx () () bx ax P dy dx y () () bx ax P dxdy y D P dxdy y , CD Q Q x y dydxd

3、y x 同同理理 C下 C D b C上 ax y O A B 格林公式 第二型曲线曲面积分 1 ( , ),() . , DCD P x y Q x yCD 设设 为为定定理理单单连连通通区区域域， 为为 的的边边界界闭闭曲曲线线，其其方方向向为为正正向向. . 是是上上具具有有连连续续一一阶阶偏偏导导的的函函数数，则则 ( , ), CD QP P x y dxQ x y dydxdy xy 格林公式 第二型曲线曲面积分 D L 1 D 2 D A B C x y Ox y o 2 L 1 L AB 图（1） 图（2） 图（3） D 3 D C下 C D b C上 a x y O A B

4、图图（3 3）说说明明格格林林公公式式可可以以推推广广到到注注：复复连连通通情情形形 格林公式 第二型曲线曲面积分 011 0 01 1 1 2 , , ( , ),( , ) . nn n Cn CCCCC nC CCCDCD P x y Q x yCD 设设曲曲线线 是是由由条条简简单单连连续续、逐逐段段光光滑滑闭闭曲曲线线 组组成成，其其中中它它们们互互不不相相交交，每每条条都都 在在其其余余条条外外部部区区域域内内，而而它它们们全全体体又又在在所所围围区区域域 内内部部. .与与所所界界定定区区域域为为 ， 的的方方向向 定定理理 对对 而而言言为为 左左手手域域方方向向，而而又又是是

5、上上具具有有连连续续一一 阶阶偏偏导导的的函函数数，则则 ( , ), CD QP P x y dxQ x y dydxdy xy 格林公式 1 ( , ),() . , DCD P x y Q x yCD 设设 为为定定理理单单连连通通区区域域， 为为 的的边边界界闭闭曲曲线线，其其方方向向为为正正向向. . 是是上上具具有有连连续续一一阶阶偏偏导导的的函函数数，则则 ( , ), CD QP P x y dxQ x y dydxdy xy 第二型曲线曲面积分 格林公式 2222 22 2 2 2 1. ln , :, C xydxxydy xyx Cxy 计计算算例例 =4=4 . . 正

6、正向向 1 1 ,CD设设 所所围围区区域域为为解解：则则 3232 3 ln C x dxx dy 原原式式= = 1 3232 3 ln() xy D xxdxdy = = 22 23:+Cxyx 2 3 D dxdy =-=- x O y D 8 3 =-=- 第二型曲线曲面积分 格林公式 2 22 00 0 sin()cos, :,. xx C eyb xydxeyax dy Cyxx 计计算算 由由点点到到原原点点 例例2.2. 2 0,OBBOB取取直直线线段段, ,点点 为为方方向向由由解解到到： +COBOB 原原式式= = cossin() xx xy D eyaxeyb x

7、ydxdy = = D ba dxdy = = 2 2 bab = = x O y 12 D B C ,DCOB为为所所围围区区域域 则则 2 0 00sin() x eb xdx 2 0 bx dx 第二型曲线曲面积分 格林公式 22 2222 100,:,., C xdyydxxy Cab xyab 计计算算正正向向例例3.3. 222 1 0min , C xyRRa b取取闭闭曲曲线线: :解解, ,： a b x O y 11 CCD方方向向为为顺顺时时针针，由由和和所所界界定定的的区区域域为为 D C 1 C 11 +CCC 原原式式= = 2222 Dxy xy dxdy xyxy = = 1 2 C xdyydx R 2 1 xy D xydxdy R =0+=0+ 2 2 D dxdy R = =2 . = =