第23讲 条件分布.pdf

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1、 条件分布 条件分布 对于两个事件对于两个事件A,B, ,若若P(B)0, ,可以讨论条件概率可以讨论条件概率 这个分布就是这个分布就是条件分布条件分布. () (|) ( ) P AB P A B P B 推广到随机变量推广到随机变量 (,) (|), () ij ij j P Xx Yy P Xx Yy P Yy 1,2, ()0. j iP Yy 离散型随机变量的条件分布列 定义定义 设设 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y) 的分布列的分布列 对于固定的对于固定的y j， 若若P(Y=yj)0，则称，则称 为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布列的条件分布列

2、. (,),( ,1,2,), ijij P Xx Yypi j (,) (|) 1,2 () ijij ij jj P Xx Yyp P Xx Yyi P Yyp 离散型随机变量的条件分布列 同理，对于固定的同理，对于固定的 xi，若，若P(X=xi)0，则称，则称 为在为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布列的条件分布列. (,) (|) 1,2 () ijij ji ii P Xx Yyp P YyXxj P Xxp 例例1 1 在在1010件产品中有件产品中有2 2件一级品，件一级品，7 7件二级品，件二级品， 1 1件次品件次品. .从中不放回取从中不放回取3 3件，设

3、件，设X,Y分别表示取分别表示取 得的一级品和二级品的件数，求得的一级品和二级品的件数，求(1)(1)(X,Y)的分的分 布列；布列；(2)(2) X=0时时Y的条件分布列的条件分布列. . 解解 X的取值为的取值为0,1,2; Y的取值为的取值为0,1,2,3. 3 271 3 10 (,). ijij C C C P Xi Yj C X Y 0 00 0 0 1 120 0 0 7 60 7 120 1 7 20 7 40 1 2 2 3 7 24 0 12 27 3 10 7 (1,2). 20 C C P XY C 0,1,2;0,1,2,3; 23. ij ij (2)(2) X=0

4、时时Y的条件分布列的条件分布列 X Y 0 00 0 0 1 120 0 0 7 60 7 120 1 7 20 7 40 1 2 2 3 7 24 0 7 (0), 15 P X (0|0) (0,0) 0, (0) P YX P XY P X (1|0)0,P YX(2|0)3/8,P YX (3|0)5/8,P YX (|0)P Yj X 23 3 / 85 / 8 Y 例例2 2 已知已知(X,Y)分布列为分布列为 解解 2(1|0)P XY（ ）； X Y 0 1 a 0.1 0.30.1 b 1 1 2 0.2 (+1)0.6P X Y ， 0.71, 1 (+1)0.6 ab P

5、 X Y （ ） ， 1,a b求求（ ）； 1XYY（3 3）时时, , 的的条条件件分分布布列列. . (+1)(1,0)(1,1)P X YP XYP XY =0.3 (+1)0.4, ab P X Y ， 0.10.4=0.3, 0.aba 解解 2 (1|0) (1,0) , (0) P XY P XY P Y （ ） X Y 0 1 0.3 0.1 0.30.1 0 1 1 2 0.2 (0)1(0)1(0)10.40.6,P YP YP Y (1,0)(1,1) (1,2) 0.10.30.4. P XYP XY P XY (1,0)0.42 (1|0)=. (0)0.63 P

6、XY P XY P Y 故故， 解解 3(1)(1,2)(1,0) 0.30.10.4, P XYP XYP XY （ ） X Y 0 1 0.3 0.1 0.30.1 0 1 1 2 0.2 1/ 4,0,(,1) (|1)= (1)3/ 4,2. jP Yj Xj P Yj XY P XYj (|1)P Yj XY Y 02 1/ 43/ 4 1XYY（3 3）时时, , 的的条条件件分分布布列列. . 条件分布与独立性 对离散型随机变量，对离散型随机变量， X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 (|)(), 1,2 (|)(), 1,2 iji jij P XxYyP Xxi

7、 P YyXxP Yyj 条件分布 设设(X,Y)是二维是二维连续型随机变量，由于对任连续型随机变量，由于对任 意意y, P(Y=y)=0 ，所以不能直接，所以不能直接用条件概率公用条件概率公 式计算式计算 下面我们直接给下面我们直接给 出出条件分布函数条件分布函数和和条件概率密度条件概率密度的定义的定义. . (|),P Xx Yy0, y 利利用用对对任任意意均均 ()0. P yyYyy 有有 条件分布函数 定义定义1 存在存在，则称此极限为在则称此极限为在Y=y条件下条件下X的的条件分布条件分布 函数函数，记为记为 简记为简记为 0, yy 设设 取取定定值值，对对任任意意均均有有 0

8、 lim(|) y P Xx yyYyy ()0. P yyYyy 若若极极限限 0 (|)lim(|), y P Xx YyP Xx yyYyy | ( | ). X Y Fx y | ( | )= (|=. X Y Fx yP Xx Y y 即即：） 连续型随机变量的条件概率密度 定义定义2 ( , ),( ). ,( )0, Y Y f x y Yfy y fyYy X 的的边边缘缘概概率率密密度度为为是是连连续续函函数数 若若对对于于固固定定的的则则在在条条件件下下， 的的条条件件概概率率密密度度为为 (, ) X Y设设二二维维随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为 | ( , )

9、 ( | ). ( ) X Y Y f x y fx y fy 连续型随机变量的条件概率密度 ,( )0, X x fxXx Y 同同理理，若若对对于于固固定定的的则则在在条条 件件下下， 的的条条件件概概率率密密度度为为 | ( , ) ( |). ( ) Y X X f x y fy x fx 例例1 1 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为密度为 求求 解解 X的边缘密度为的边缘密度为 2 2 1,| 1 ( )( , ) 0, | 1. X xx fxf x y dy x ， 22 1 ,1, ( , ) 0, xy f x y 其其他他. .

10、 | ( |). Y X fy x 解解 当当|x|1时时, ,Y的条件概率密度为的条件概率密度为 22 1 , 1, ( , ) xy f x y 0, 0, 其其他他. . 22 22 | 11 ,11, (2) 12 1 ( , ) 0. (| , ) ( ) Y X X xyx f x y y x x fx x f 其其他他 2 2 1, | 1 ( ) 0, | 1. X xx fx x ， 例例2 2 解解 X的概率密度为的概率密度为 在在X=x (0x1)的条件下，的条件下，Y的条件概率密度为的条件概率密度为 (0,1),= (01)XUX xx设设随随机机变变量量当当时时， |

11、 1 ,1, ( |)1 0,. Y X xy fy xx 其其他他 ( ,1)YxY随随机机变变量量 在在服服从从均均匀匀分分布布，求求 的的概概率率密密度度. . 1,01 ( ) 0,. X x fx ， 其其他他 | ( , )( )()|(,) XY X f x yfx fXy xY 故故的的概概率率密密度度为为 1 ,01 1 0,. xy x ， 其其他他 例例2 2 解解 (0,1),= (01)XUX xx设设随随机机变变量量当当时时， ( ,1)YxY随随机机变变量量 在在服服从从均均匀匀分分布布，求求 的的概概率率密密度度. . 0 1 ln(1), 01, 1 0,.

12、y dxyy x 其其他他 (,)X Y由由的的概概率率密密度度为为 1 ,01 ( , )1 0,. xy f x yx ， 其其他他 ( )=( , ) Y Yfyf x y dx 可可得得 的的概概率率密密度度为为 0 1 y x yx 例例3 3 =Y yX可可见见，在在条条件件下下, , 的的条条件件分分布布是是正正态态分分布布 | ( | )( | ). X YY X fx yfy x及及 22 1212 (, )(,;,; ),X YN 设设求求条条件件概概率率密密度度 | 2 1 2 1 1222 12 ( , )1 (|) ( ) 21 1 exp(). 2(1) X Y Y

13、 f x y fx y fy xy 解解 22 1 121 2 (), (1) .Ny 同同理理可可得得 =X xY即即在在条条件件下下, , 的的条条件件分分布布是是正正态态分分布布 22 2 212 1 (), (1) .Nx | 2 2 2 2 2122 21 1 (|) 21 1 exp(). 2(1) Y X fy x yx 结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布. 条件分布与独立性 对连续型随机变量，对连续型随机变量， X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系 | | (|)=( ) ( |)=( ). X YX Y XY fx yfx fy xfy ， 联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 条件分布条件分布 联合分布联合分布 谢谢 谢！谢！