数学基础.pdf

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1、1. 矢量矢量 1. 1 矢量的定义矢量的定义 矢量矢量 大小、方向大小、方向、满足加法、满足加法（平行四边形法则）（平行四边形法则） 什么是加法？什么是加法？ 把物理书拿出来转两下，没有带书的转手机把物理书拿出来转两下，没有带书的转手机 位移、速度、加速度、力、动量、角动量、位移、速度、加速度、力、动量、角动量、 电场强度、磁场强度电场强度、磁场强度矢量不要太多哦！矢量不要太多哦！ 可用平面上的有向线段表示矢量可用平面上的有向线段表示矢量 矢量的矢量的加法加法：满足平行四边形法则：满足平行四边形法则 A B C A B C B ABC ABBA ()()ABCABC ()AA 0 1. 2

2、矢量的加法矢量的加法 减法减法是加法的逆运算是加法的逆运算 ?AB ?BA A B AB A B BA 矢量矢量与数相乘与数相乘 kA 大小是原来的大小是原来的倍倍k 方向要看方向要看 k 的正负（相同或反向）的正负（相同或反向） x o i x 轴上的单位矢量轴上的单位矢量 4i y j y 轴上的单位矢量轴上的单位矢量 3j+ r r ( 4 , 3 ) x o y 矢量的矢量的坐标表示式坐标表示式 r ( x , y ) rxiyj xi 称为该矢量的称为该矢量的 x 分量分量 yj称为该矢量的称为该矢量的 y 分量分量 2. 极限极限 2. 1 数列的极限数列的极限 例例1 1 11

3、1, , 2 3n 1 ; n x n 例例2 1 1, 1,1, 1,( 1), n 1 ( 1)n n x 数列数列1的变化趋势趋向于的变化趋势趋向于0 lim0 n n x 数列数列2没有明确的变化趋势，极限不存在。没有明确的变化趋势，极限不存在。 定义定义 设数列设数列，如果存在常数，如果存在常数a，使得对任意给，使得对任意给 定的正数定的正数 (不论它多么小不论它多么小)，总存在自然数，总存在自然数N，只要，只要Nn, 不等式不等式 1 n n x n xa 都成立，那么称常数都成立，那么称常数a 是数列是数列的极限，或则的极限，或则 称数列称数列收敛于收敛于a，记为，记为 1 n

4、n x 1 n n x lim, n n xa 通俗地说：要多接近，有多接近！通俗地说：要多接近，有多接近！ 2. 2 函数的极限函数的极限 函数函数 f(x)在点在点x0处的极限定义可以简单地表达为：处的极限定义可以简单地表达为： 0 lim( )0,0, xx f xA 当当时，有时，有 0 0 xx ( ).f xA x 2 y o 2+ 2- 2 1 ( ) 1 x f x x 11 A+ A- x0 A x y ( )yf x o 0 x 0 x 1 0 ( ) 0 0 1 0 xx f xx xx 例例2 x y o y=x+1 y=x -1 1 -1 0 0 0 lim( ) (

5、0), xx f xf x 或 左极限左极限 0 0 0 lim( ) (0). xx f xf x 或 右极限右极限 函数函数 f(x)在点在点 处的极限定义可以简单地表达为：处的极限定义可以简单地表达为： ( ).f xA lim( )0,0, x f xAX 当当|x|X时有时有 例例4 22 lim110. x xx 2. 3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 定义定义如果如果xx0(x )时函数时函数f(x)的极限为零，那么函的极限为零，那么函 数数 f (x)就叫做就叫做xx0(x )时的无穷小。时的无穷小。 定义定义如果如果xx0(x )时函数时函数f(x)的值大于任意给定的的值大于

6、任意给定的 正数正数M，“要多大，有多大”，那么函数，“要多大，有多大”，那么函数 f (x)就叫做就叫做 xx0(x )时的无穷大。时的无穷大。 例例1 因因，所以变量，所以变量是当是当x0时时 的无穷小量。的无穷小量。 0 1 lim sin0 x x x 1 sinx x 例例2 求求 2 32 1 21 lim. 321 x xx xxx 解解 32 1 lim 32150, x xxx 2 32 1 2 1 32 1 21 lim 321 lim21 4 . 5lim 321 x x x xx xxx xx xxx 例例3 求求 2 2 1 1 lim. 32 x x xx 解解当当

7、x1时，分子和分母的极限为零，故不能用上面时，分子和分母的极限为零，故不能用上面 的方法求极限。的方法求极限。 2 2 111 1111 limlimlim2. 32212 xxx xxxx xxxxx 分子与分母是同阶无穷小分子与分母是同阶无穷小 3521 1 sin( 1) 3!5!(21)! n n xxx xx n 0 x 高阶无穷小项高阶无穷小项 2 1 54 lim0, 23 x xx x 解解故不能商故不能商 的求极限的方法。考虑的求极限的方法。考虑 2 11 lim540,lim 230, xx xxx 例例4 求求 2 1 23 lim. 54 x x xx 由无穷大与无穷小

8、的关系，得由无穷大与无穷小的关系，得 2 1 23 lim. 54 x x xx 例例5 求极限求极限 32 32 2321 lim. 323 x xxx xxx 解解分子分母均除以分子分母均除以x3, 得得 32 23 32 3 111 232 23212 limlim. 111 3233 323 xx xxx xxx xxx xxx 例例6 求极限求极限 解解分子分母均除以分子分母均除以x2，得，得 2 32 1 lim. 221 x xx xxx 2 23 32 23 111 1 limlim0. 111 221 122 xx xx xxx xxx xxx 例例7 求极限求极限 42 3

9、2 321 lim. 324 x xxx xx 42 32 321 lim. 324 x xxx xx 两个重要极限两个重要极限 极限极限1 0 sin1 limlim sin1. xx x x xx 极限极限2 1 0 1 lim 1lim 1. x x xx xe x sinxx等价无穷小等价无穷小 3. 导数、微分导数、微分 3. 1 导数的定义导数的定义 x y o M N T y=f(x) 00 0 0 ( )() limlim. xxxx yf xf x xxx 若极限存在，则称函数若极限存在，则称函数y=f(x)在在x0处可导处可导 0 0 0 () x x x x dy yfx

10、 dx 如果函数如果函数y=f(x)在一个区间内的每一点可导，在一个区间内的每一点可导， 则得到一个导函数，记为则得到一个导函数，记为 y x y o y=|x| 例例1 求函数求函数 f (x)=C(C为常数为常数)的导数。的导数。 00 0 ()( ) ( )limlim lim0. xx x yf xxf x fx xx CC x 例例2 求幂函数求幂函数的导数。的导数。 2 yx 22 00 () limlim(2)2 xx dyxxx xxx dxx n yax 1 n dy anx dx 几个常见函数的导函数：几个常见函数的导函数： sinyxcos dy x dx cosyxsi

11、n dy x dx 0,1 x yaaaln . x dy aa dx x ye x dy e dx lnyx 1dy dxx ln2? 导数的意义：导数的意义： 1. 函数的“变化率”、“增长率”函数的“变化率”、“增长率” 2. 函数曲线上切线的斜率函数曲线上切线的斜率 3. 位置函数对时间的导数是速度，位置函数对时间的导数是速度， 速度函数对时间的导数是加速度速度函数对时间的导数是加速度. 3. 2 求导法则求导法则 3.2.1 函数的和、积、商的求导法则函数的和、积、商的求导法则 2 , , 0 . uvuv uvu vuv uu vuv v vv 3.2.2 复合函数的求导法则复合函

12、数的求导法则 复合函数的导数复合函数的导数设函数设函数均为可导均为可导 函数，则函数函数，则函数为可导函数，且为可导函数，且 ,yf uux yfx . dydy du dxdu dx 3.2.3 高阶导数高阶导数 例例3 求函数求函数的二阶导数。的二阶导数。 2 x ye 2 2 x yxe 例例4 求求的的阶导数。阶导数。 x yen x ye 2 2 2 14 x yxe x ye nx ye ( ) dy v tgt dt 2 2 ( ) dvd y a tg dtdt 例例5：已知：已知 2 1 ( ) 2 y tgt求求( )v t( )a t cos sin rRt iRt j

13、sin cos dr vRt iRt j dt 2 22 2 cos sin dvd r aRt iRt j dtdt 2 ar 0r vrv 例例6：圆周运动：圆周运动 x y t 例例7：洛必达法则：洛必达法则 2 2 1 1 lim 32 x x xx 0 0 lim 0 xx 0 lim xx 00 ( )( ) limlim ( )( ) xxxx xx xx 可导是必须的可导是必须的 1 2 lim 23 x x x 2 3. 3 微分微分 微分：对应自变量的微小增量，函数的微小增量微分：对应自变量的微小增量，函数的微小增量 x 2 ( )S xx 22 2 2Sxxxx xx 0

14、 x 2dSxdx 定理定理函数函数在点在点处可微的充要条件是函数处可微的充要条件是函数 在点在点处可导且有处可导且有 0 x( )yf x 0 x( )yf x 0 ()dyfx dx ( ) dy fx dx 导数导数 微商微商 ( )dyfx dx ( )yf x 0 x M N T dy y ()ox ） x 0 xx P x y o 0 ()f x 0 ()f xx Q n yx 1n dynxdx 2 x ye 2 2. x dy dydxxe dx dx pmvdpmdvvdm 4. 不定积分不定积分 如果函数如果函数在一个区间上连续在一个区间上连续， 则在区间上存在可导函数则在

15、区间上存在可导函数，有，有 ( )f x ( )F x ( )( )F xf x ( )f x ( )F x称为函数称为函数的原函数的原函数 求一个函数的不定积分，就是求被积函数的原函数求一个函数的不定积分，就是求被积函数的原函数 ( )( )f x dxF xC 2 x dx 3 1 3 xC 积分是求导的逆运算积分是求导的逆运算 几个常见的积分几个常见的积分 1 d 1 1 n n x xxCn n d ln x xC x cos dsinx xxC sin dcos.x xxC e de. xx xC d. ln x x a axC a 0d?x 2d?x 例例1：已知：已知( ) dv

16、 a tg dt 求求( )v t ( )v tadtgdt ( )v tgtC 0 ( )v tvgt 5. 定积分定积分 变速运动的路程问题：变速运动的路程问题： t v b i ta iii sv tt 1 , n ii i sv tt 0 1 lim. i n ii t i sv tt b a v tt 定积分定积分 无穷多个无穷小求和无穷多个无穷小求和 牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果函数如果函数是连续函数是连续函数在区间在区间a, b上上 的一个原函数，则的一个原函数，则 F x f x . b b a a f x dxF xF bF a xb ( )f x a 0 a

17、 a fx dx ba ab f x dxf x dx xb ( )f x a . bbb aaa f xg xdxf x dxg x dx ( ). bb aa kf x dxkf x dx . bcb aac f x dxf x dxf x dx 1. b a dxba 1 1 23 0 0 1 3 x dxx 1 3 1 2 0 ?x dx 例例1： 例例2：求匀加速直线运动的速度和路程：求匀加速直线运动的速度和路程. dv a dt dvadt 0 0 vt v dvadt 0 vvat 0 vvat 0 dx vat dt 0 ()dxvat dt 0 0 0 () xt x dxvat dt 2 00 0 1 2 t xxv tat 2 00 1 2 xxv tat 夜晚的天空为什么是黑暗的？夜晚的天空为什么是黑暗的？ r dr 2 dnr dr 2 dn dIk r dIk dr 0 R Ik drk R , RI 吉布斯佯谬吉布斯佯谬