017-2第2章 静电场-3-拉普拉斯方程 分离变量法.pdf

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1、 静电场 1.拉普拉斯方程 2.分离变量法 3.勒让德方程 4.举例应用 静电场 2.3拉普拉斯方程 分离变量法 第 2 章 静电场 1.拉普拉斯方程 (1) 泊松(Poisson)方程 静电学的基本问题是求满足给定边界条件的 泊松方程的解。 实际上，只有在界面形状为比较简单的几何 曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而 且视具体情况不同而有不同解法。 静电场 1.拉普拉斯方程 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。 例如：电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布 于电极上的自由电荷决定的。 它们的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表 面上，空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果选

2、择这些导体表面作为区域 V 的边界，则在 V 内自由电 荷密度=0，泊松方程化为拉普拉斯方程。 (2) 拉普拉斯（Laplace）方程 静电场 2.分离变量法 (1) 坐标系选取 Laplace方程可以通过分离变量法求解；即先根据 电场分布的对称性选择适当的坐标系，然后在该坐标 系中用分离变量法求解。 球对称电场球坐标系 轴对称电场柱坐标系 无对称电场直角坐标系（直角坐标系适用 于求解任何电场分布的情况） 选取选取 选取选取 选取选取 静电场 2.分离变量法 (2) 球坐标系中的拉普拉斯方程 下面推导在球坐标系中，用分离变量法求解拉普 拉斯方程的过程。 2 2 2 22222 0 111 si

3、n0 sinsin r rrrrr 静电场 2.分离变量法 (3) 球坐标系中的拉普拉斯方程基本思路 , R r Y 欧拉型 常微分方程 球函数 方程 求得R(r) Y 求得()求得() 二阶常 微分方程 勒让德 方程 拉普拉斯方程 第一次分离变量 (将 r 和、分离) 第二次分离变量 (将 和分离) (1)R rl l , (1) Y l l 球函数方程 2 m 2 m 静电场 2.分离变量法 () 第一次分离变量(将 r 与、分离) 在球坐标系中，r 为半径， 为极角，为方位角， 令 2 2 2 2 222 , , sin sin 0 sin rR r Y Y ddR r r drdr R

4、Y r RY r rP x Pxy P O z y r 静电场 2.分离变量法 ()第一次分离变量法基本思路 欧拉型 常微分方程 球函数 方程 求得R(r) 令两个方程的本征 值为l(l+1) 拉普拉斯方程 第一次分离变量 (将 r 和、分离) 分离出只关于r与只关 于 和的两个方程 拉普拉斯方程 求得Y(,) , R r Y 静电场 2.分离变量法 () 第一次分离变量(将 r 与、分离) 左式是r 的函数，与、无关；右式是、的函 数，与r 无关；要使等式成立，二者必须为同一常数。为 了使后面出现的勒让德(Legendre)函数收敛，使电势函数 收敛，则令该常数为l(l+1)（具体见分离变量

5、法第二步） 2 2 22222 2 2 22 sin0 sinsin 111 sin sinsin Y ddRRYRY r r drdrrr ddRYY r R drdrYY 静电场 2.分离变量法 () 第一次分离变量(将r与、分离) (1)式为欧拉(Euler)型常微分方程，R 为径向函数； (2)式为球函数方程，Y 为球函数。 2 2 22 1 11 11 sin12 sinsin ddR rl l R drdr YY l l YY 静电场 2.分离变量法 (5) 求解欧拉方程基本思路 欧拉型 常微分方程 球函数 方程 求得R(r) 化为标准型 拉普拉斯方程 第一次分离变量 (将 r 和

6、、分离) 变量代换r=et 欧拉型常微 分方程 , R r Y 1 ll R rCrDr 求得Y(,) 静电场 2.分离变量法 (6) 欧拉型常微分方程化为标准式 欧拉型常微分方程，其标准形式为 2 2 22 2 2 0 1 1 1 210 210 ax ybxycy ddR rl l R drdr dRr d R rl l RdrR dr r RrRl lR 静电场 2.分离变量法 (7)变量代换 令 2 2 2222 ln 1 1 111 1111 t re tr dt drr dRdR dtdR R drdt drdt r dRddRdRddR R drdrdt rrdtr drdt d

7、Rdt ddRdRd R rdtr dr dtdtrdtrdt 静电场 2.分离变量法 (8)欧拉型常微分方程的解 上式形式为欧拉型常微分方程的标准形式 2 2 2 222 2 2 21 111 210 10 r RrRl lR dRd RdR rrl l rdtrdtr dt d RdR l l dtdt 1 0 ll aybycy R rCrDr 其解为 静电场 2.分离变量法 (9) 第二次分离变量的基本思路 球函数方程 分离出只关于与 只关于的两个方程 令本征值为=m2 关于的方程 关于的方程 求得() 求得() Y cossin imim AmBm AeBe 关于的方程 静电场 2.

8、分离变量法 (9) 第二次分离变量的基本思路 球函数方程 分离出只关于与 只关于的两个方程 令本征值为=m2 关于的方程 关于的方程 二阶 常微分方程 求得() Y 关于 x 的勒让德方程 求解勒让德方程 cos l xP cosx 求得() 静电场 2.分离变量法 (10)第二次分离变量 令 2 22 2 22 2 2 2 11 sin1 sinsin , sin1 sinsin sin1 sin1 sin YY l l YY Y ddd l l ddd ddd l l ddd 静电场 2.分离变量法 (10)第二次分离变量 左式是 的函数，与无关；右式是的函数，与 无关；要使等式成立，二者

9、必须为同一常数，令该常 数为，则 2 2 2 sin1 sin1 sin ddd l l ddd 2 2 2 sin sin1 sin 1 dd l l dd d d 静电场 2.分离变量法 (11)求解 2 2 2 2 2 1 0 cossin , imim d d d d AmBm m AeBe 静电场 若本征值0，解是震荡的。 若本征值0，解是衰减或增益的。 从电势的稳定性考虑，它不能是衰减/增益解，只能 是震荡解，尤其是原子中的电子运动更是要求稳态的电子 只能为震荡解。否则，原子就会自发衰减。这与观察到的 日常事实不符。 2.分离变量法 (12)对 的影响 2 2 0 d d ,0 m

10、m eem cos,sin, imim mmee 静电场 2.分离变量法 (13)求解 2 2 2 sin sin1 sin 1 sin10 sinsin cosarccos sin sin 或 dd l l dd ddm l l dd xx dx d dddxd ddx ddx 静电场 2.分离变量法 (13)求解 22 sin sin 11 sinsinsin sinsin 1 sin11 sin dx d dddxd ddx ddx dddx dd ddddxdx dddd xx dxdxdxdx 静电场 2.分离变量法 (13)求解 2 2 2 2 2 22 2 22 1 sin10

11、sinsin 110 1 1210 1 ddm l l dd ddm xl l dxdxx ddm xxl l dxdxx 上式叫上式叫l阶缔合勒让德阶缔合勒让德(Legendre)方程方程。 静电场 3.勒让德方程 (1) 求解勒让德方程思路 只关于 的方程 令本征值为=m2 在常点泰勒展开 l 阶缔合勒让德方程 关于x的勒让德方程 求解勒让德方程 勒让德方程的通解 本征值只能取l(l+1) cosx cos l xP 若电势轴对称分布 自然边界条件 洛德利格斯公式 静电场 3.勒让德方程 (2)缔合勒让德方程与勒让德方程的关系 2 2 2 1210 dd xxl l dxdx 2 sin

12、sin1 sin dd l l dd cosx 22 2 22 1210 1 ddm xxl l dxdxx 坐标变换 电势轴对称，与无关0m 静电场 3.勒让德方程 若电势是轴对称分布的，即电势只是关于r、 的函数， 与无关；则m=0，此时 22 2 22 2 2 2 1210 1 1210 ddm xxl l dxdxx dd xxl l dxdx 上式叫勒让德(Legendre)方程。 静电场 3.勒让德方程 (4)二阶常微分方程求解 对于二阶常微分方程 若系数p(x)和q(x)在所选的点x0是解析的，则点x0 叫做该微分方程的常点。 对于勒让德方程 x=0是其常点，因为此时都是解析的，

13、故可在此 常点的邻域上用泰勒(Tailor) 级数展开求解。 0yp x yq x y 22 12 11 和 l lx xx 2 2 2 1210 dd xxl l dxdx 静电场 3.勒让德方程 (5)常点处泰勒展开 将 在常点x处泰勒展开 234 01234 231 1234 22 234 234 23 24 31 k k k k k k xaa xa xa xa xa x xaa xa xa xka x xaa xa xk ka x 将上述结果代入勒让德方程 2 2 2 1210 dd xxl l dxdx 整理各级系数，可得下表 静电场 2 x 2 x 1ll 项x 项 k x 项

14、2 x常数项 2 12a 3 23a 3 34a k akk1 2 12a 2 12 k akk 1 12a 2 22a k ka2 0 1 all 1 1 all 2 1 all k all1 3.勒让德方程 (6) 勒让德方程各级系数整理 静电场 3.勒让德方程 (7)求解系数 令x的各级系数分别为零 20 2 31 2 42 2 53 22 2 2 110 3 220 4 360 5 4120 210 kk al la alla alla alla kkallkk a 静电场 3.勒让德方程 (7)求解系数 2 2 20 31 420 531 11 2121 1 2! 12 3! 232

15、13 4 34! 343124 5 45! kkk kkl lklkl aaa kkkk ll aa ll aa llllll aaa llllll aaa 静电场 3.勒让德方程 (8)勒让德方程的通解 0011 24 0 2 35 1 21 1213 1 2!4! 22241321 2! 123124 3!5! 21231242 21 ! k k xa yxa yx llllll yxxx klklllllk x k llllll yxxxx klklllllk x k 静电场 3.勒让德方程 (9)收敛半径 2 2 1 21 21 limlim 1 21 11 lim1 1 11 kk

16、n nn n n klkl aa kk nna R anlnl nn ll nn 因此解的收敛半径为 l，可以令x=cos 静电场 3.勒让德方程 (10)自然边界条件 解的收敛半径为 l，但是用高斯判别法或者直接证 明法等都可以证明这两个级数在 x=+1和-1处皆发散， 而勒让德多项式的自然边界条件要求勒让德方程的解在 一切方向上都保持有限。若l为偶数时，级数y0将因为中 断为有限项而收敛；若l为奇数时，级数y1将因为中断为 有限项而收敛。为了满足自然边界条件，勒让德问题的 本征值只能取 l(l+1)，本征函数即为勒让德多项式，其 下述公式称为洛德利格斯(Rodrigues)公式： 静电场

17、3.勒让德方程 (11)洛德利格斯(Rodrigues)公式 2 0 1 2 2 3 3 1 coscos1 2 ! cos cos1 coscos 1 cos3cos1 2 1 cos5cos3cos 2 l l l ll d xP l d P P P P 静电场 3.勒让德方程 (12)拉普拉斯方程的通解 1 2 2 1 , cossin , 1 coscos1 2 ! cos , , coscos ll imim l l l ll llm ll l m R rCrDr AmBm m AeBe d xP l d rR r C rDrPm 静电场 3.勒让德方程 (13)求解 l 阶缔合勒让

18、德(Legendre)方程 若电势不是轴对称分布的，即电势与有关；则m 不为0，此时必须求解缔合勒让德方程(略)。 静电场 4.举例应用 (1) 解题步骤 根据电场分布的对称 性，选择适当的电势 通解形式 由边界条件写出边 界条件方程。 解方程组确定系数 得出完整的电势解 球对称 电场 通解为 通解为 轴对称 电场 无对称 电场 cos cos m l R r P m cos m l R r P 静电场 4.举例应用 (1) 解题步骤 无穷远处 接地处 对坐标原点处 电介质分界面处 根据电场分布的对称 性，选择适当的电势 通解形式 由边界条件写出边界 条件方程。 解方程组确定系数 得出完整的电

19、势解 静电场 4.举例应用 (1) 解题步骤 根据电场分布的对称 性，选择适当的电势 通解形式 由边界条件写出边界 条件方程。 解方程组确定系数 得出完整的电势解 分离变量法的通解为无 穷级数，理论上其电势系数 有无穷多项。但是，考虑到 电势的收敛性，习惯上，只 需要考虑前2项，或者最多 前3项即可，不需要、也不 可能求出无穷多项系数值。 静电场 4.举例应用 (1) 解题步骤 根据电场分布的对称 性，选择适当的电势 通解形式 由边界条件写出边界 条件方程。 解方程组确定系数 得出完整的电势解 通常情况下，电势函数 都是一个分段函数。注意电 势解的表述。 静电场 (2)含导体球的带电球壳 内径

20、和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q， 同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1R2)。导体 球接地，求空间各点的电势和导体球的感应电荷。 4.举例应用 解：由于该问题是一个各向同 性的线性介质空间的问题，故电势 满足泊松方程；又由于问题的球对 称性，而且电势的通解只有径向函 数一项，故选择球坐标系。 R2 R3 Q R1 I III II IV O 静电场 (2)含导体球的带电球壳 4.举例应用 由对称性可知：电势只有径向函数一项，不含 和分量，因此泊松方程约化为 2 2 0 1 1 , , l l dd R R dRdR b RaR R 静电场 (2)含导体球的带电球壳 无穷远处边界

21、条件 4.举例应用 R2 R3 Q R1 I III II IV O 3 21 0 0 , , l b Ra R b aRR R R d cRRR R 静电场 (2)含导体球的带电球壳 电介质交界面处边界条件 4.举例应用 32 21 1 0 0 I III III IV R RRRR d cRRR R RR R2 R3 Q R1 I III II IV O 静电场 (2)含导体球的带电球壳 导体球壳带电荷Q，根据 4.举例应用 32 22 0 23 0 0 0 4 IIII R RR R IV Q R dR d RR a db c RR Q bd f S D dSQ R2 R3 Q R1 I

22、 III II IV O 静电场 (2)含导体球的带电球壳 4.举例应用 1 00 1 01 1 0 1 312 1 111 123132312 44 4 4 QQ b Q c R Q d RR R Q QQ RRRR RR RR R 静电场 (2)含导体球的带电球壳 感应电荷 4.举例应用 R2 R3 Q R1 I III II IV O 1 1 3 0 1 32 03 1 21 01 1 2 01 4 4 11 4 0 I II III IV IV R R QQ RR R QQ RRR R Q RRR RR RR R dQ R 静电场 (3)电场中的介质球 4.举例应用 电容率为 的介质球

23、置于均匀外电场中，求电势。 0E 解：设球外空间为I区， 球内空间为II区。由于系统具 有轴对称性，电势通解只有径 向函数和勒让德函数，以球心 为原点，以均匀外电场方向为 z轴正向，建立柱坐标系。 r O 0E I II P z 静电场 (3)电场中的介质球 由于空间无自由电荷分布，故电势满足拉普拉斯方 程，解的形式为 4.举例应用 0 1 0 1 cos cos l l Ill l l l l IIll l l b a RPRR R d c RPRR R 静电场 (3)电场中的介质球 4.举例应用 根据无穷远处边界条件，电场强度应为 0E 0 1 0 0 10 00 1 cos cos 02

24、 cos l l ll l l I l l Il l l b EaPE ERE R aE al b aE RP R 静电场 (3)电场中的介质球 根据原点处R=0边界条件，电势应为有限值。 4.举例应用 1 cos 0cos l l IIll l l l lIIll l d c RP R dc R P 静电场 (3)电场中的介质球 根据介质球的界面上边界条件 4.举例应用 0 00010 1 0 1 010 2 00 coscoscos 1 coscoscos III III l l lll l ll ll lll l ll RR b aE R PPc R P R lb E PPlc RP R

25、 静电场 (3)电场中的介质球 比较P0和P1的系数 4.举例应用 0 00 0 0 2 00 1 0010 2 0 1 01 3 00 0 2 b ac R b R b E Rc R R b Ec R P1的系数 P0的系数 静电场 (3)电场中的介质球 比较P2的系数 4.举例应用 0 1 22 0 1 0 2 22 00 coscos 1 coscos l l lll l ll ll lll l ll b Pc R P R lb Plc RP R 静电场 (3)电场中的介质球 联立上述六个方程 4.举例应用 00 0 3 0 100 0 0 10 0 0 2 3 2 02 ll ac b

26、 bE R cE bcl 静电场 (3)电场中的介质球 根据各项系数 4.举例应用 0 1 0 1 3 000 00 2 0 0 00 0 cos cos cos cos 2 3 cos 2 l l Ill l l l l IIll l l I II b a RPRR R d c RPRR R E R aE R R cE R 静电场 (3)电场中的介质球 根据各项系数 4.举例应用 0 II0 0 0 0 II00 0 3 2 3 2 E EE EEE 介质球内电场强度大小减弱 E II E 静电场 (3)电场中的介质球 球内介质在外场作用下， 产生了极化，右半球面为正 的束缚电荷，左半球面为

27、负 的束缚电荷，与外场方向相 反，抵消了一部分外场。极 化强度为 4.举例应用 0 0 00 0 3 2 e PEE r 0E I P z 原子核 电子 E II E II O 静电场 (3)电场中的介质球 总电偶极矩 4.举例应用 球外电场是外场和极化电场叠加的效应 0 0 0 0 3 0 0 00 0 3 000 32 00 0 3 0 3 2 4 2 1 cos 42 1 4 z I PE pV PR E E RpR RR p R Ee R 静电场 (4)电场中的导体球 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势 和导体球上的电荷面密度。 4.举例应用 解：根据与例2完全类似的方法即

28、可求出 0 3 00 0 2 000 cos cos |3cos 球外 导体球 R R E R E R R E R 静电场 (5)带电导体劈尖 导体劈尖带电势 V，求其尖角附近的电场。 4.举例应用 解：劈尖空间角很小，可近似认为电场具有轴对称 性，取劈尖顶部为原点，z 轴沿劈尖边，建立柱坐标系。 O 2 r 导体劈尖导体劈尖 z 左视图左视图 2 z O 导体劈尖导体劈尖 体视图体视图 r 静电场 (5)带电导体劈尖 电势满足柱坐标系的拉普拉斯方程，由于劈尖附 近可视为等势体，故电势与 z 无关，即电势只有径向 函数和勒让德函数，则 4.举例应用 2 2 2 22 2 2 2 11 0 0

29、1 令 r rrrr R r ddRR d r r drdrrd r ddRd r R drdrd 令 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 2 2 2 2 22 2 1 0 0 cossin r ddR r R drdr d d r RrRR CD 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 2 22 22 ln 1 1 1 或者 t t ttt tttttt re tr dtdr r drrdt RdRdR dtdR drdt drr dtr RRdRd Rd drdrrrr dr RRRRdt rrdrr 令 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 22 22 2 2 0 0 0 c

30、ossin ,cossin tttt tt tt r RrRR RRR rrR rr RR R tA eB e R rA rB r CD rA rB rCD 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 (i)由于劈尖是等势体 ，根据=0时边界条件 00 ,0 0,0 00 ,0 01 rA rB rCV V B A CV rV A r CVC 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 (i)由于劈尖是等势体 ，根据=2- 时边界条件 1 ,2sin2 sin201 21 1 2 nn rVA rV n n 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 1 ,sin 2 n nn n n rVA r n 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 1 1 1 1 sin 1 cos 2 n n rnnn n nnn n n E EA r r EA r r n 静电场 (5)带电导体劈尖 4.举例应用 210 1 00 1 1 00 1 cos0 cos2 n n nnn nnn n nnn n DDE EA r EA r 谢 谢 聆 听 ！