不定积分的概念与性质.pdf

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1、不定积分的概念不定积分的概念与性质与性质 1. 理理解原函解原函数的数的概念概念. 2. 理理解不解不定积分的概定积分的概念与性质念与性质. 3. 掌握不定积掌握不定积分分的基本公式的基本公式. 类比法类比法 1 (3)1.5S (1) 令令 (2) 得得 得得 列车快进站时列车快进站时, ,需要需要减速减速. .若若列车减速后的速度为列车减速后的速度为 ，问：，问：(1) 列车应该在何时减速列车应该在何时减速? 1 1 3 vt (2) 所走过的路程所走过的路程 为多少为多少? ( )S t ( )0v t 1 10 3 t3t 1 ( )( )1 3 S tv tt ( )S tt 2 1

2、 6 tC 将将 代入，代入， (0)0S 0C 2 1 ( ) 6 S ttt 将将 代入，代入， 3t 一一、原函数和不定积分的概、原函数和不定积分的概念念 该问题的核心是已知一个函数的导函数，反过来求函数该问题的核心是已知一个函数的导函数，反过来求函数 2 或或 如如: : 如果在区间如果在区间 内，内， ，即，即 可导函数可导函数 的导函数为的导函数为 I( )F x ( )f x ( )( )F xf x d ( )( )dF xf xx 则称则称 为为 在区间在区间 内的内的一个一个原函数原函数 ( )F x( )f xI ( )( )S tv t 是是 的一个的一个原函数原函数

3、( )S t( )v t 定义定义1 这里为什么要强调是一个原函数呢这里为什么要强调是一个原函数呢? 因为一个函因为一个函数的数的原函数不是唯一原函数不是唯一的的. 思考 如如: : (sin )cosxx (sin)cosxCx (C为任意常数为任意常数) 所以所以 都是都是 的原函数的原函数. . sin ,sinxxC cos x ( )( )F xf x 导函数导函数 一个原函数一个原函数 3 定定 理理 设函设函数数 为为 在在区间区间 I上上的一个原函数，则的一个原函数，则 ( )F x ( )f x 1） 也也是是 在该区间上的在该区间上的原函数原函数； ( )F xC ( )f

4、 x 2） 在该区间上的在该区间上的全体全体原函数原函数可表为可表为 ( ).F xC ( )f x ( )( )xFx 若若 ，则，则 ( )( )Fxf x ( )( ).F xCf x ( )( )xF x 、 设设 是是 的任意两个原函的任意两个原函数，数， ( )x ( )F x( )f x 0 ( )( )xF xC ( )( )xF xC 1） 2） 任意两个原函数之差为常数任意两个原函数之差为常数 是是 的所有原函数的所有原函数 ( )f x( )F xC 4 ，即，即 然后再加上任意常数然后再加上任意常数C，即为其不，即为其不定积定积分分. 若若 是是 在区在区间间 上的上的

5、一个原函数，则一个原函数，则 I( )F x( )f x 在区在区间间 上的上的不定不定 称为称为 ( )F xC ( 为任意常数为任意常数) C( )f xI 积分，记为积分，记为 ( )df xx 找出被积函数找出被积函数 的无穷的无穷多多个原个原函函数中的任意一个数中的任意一个 ( )F x ( )f x 定义定义2 积 分 变 量 积 分 变 量 积 分 积 分 常 量 常 量 被 积 函 数 被 积 函 数 被 积 表 达 式 被 积 表 达 式 积 分 号 积 分 号 CxFxxf )(d)( 总结总结 不可丢不可丢 5 2 1)dxx 2d xx 1 21 2 1 x C 3 1

6、 3 Cx 倒数关倒数关系系 sin dx x cos x C 2) sin d .x x 求下列不定积求下列不定积分：分： 1) 3 1 3 x为为 的的一个原函一个原函数，数， 2 x 2)cos x 为为 的的一个原函一个原函数，数， sin x 1. 2. 3. 5. 7. 6. 10. 12. 4. 8. 9. dk xkxC 为常为常数数) ) ( ( k 1 dlnxxC x dxx 1 1 x C (1) e de xx xC d x ax ln x a C a cos dsinx xxC sin dcosx xxC 2 secdtanx xxC sectan dsecxx x

7、xC 2 cscdcotx xxC 2 1 darcsin 1 xxC x 13. 2 1 darctan 1 xxC x 11. csccot dcscxx xxC 二、基本积分表二、基本积分表 由于积分运算是求导运算的逆运由于积分运算是求导运算的逆运算，算， 所以由基所以由基本求本求导公式反推，可得导公式反推，可得基本积分公基本积分公式式. . 6 7 微分符号与积分符号，无论先后，连写在一起，抵微分符号与积分符号，无论先后，连写在一起，抵消消 ( )df xx ( )F xC ( )f x ( )(ddd)f xxf xx ( )d)CF xF x 三三、不定积分的性、不定积分的性质质

8、微分微分运算运算与与不不定积定积分分运运算是算是 互逆互逆的的. . 结论结论 由不定积分的定义，可以推出以下性质：由不定积分的定义，可以推出以下性质： 性质性质1 或或 性质性质2 或或 ( )d( )xCFxF x (0)k ( )( ) d( )d( )df xg xxf xxg xx ( )d( )dkkf xxf xx 性质性质3 性质性质4 （推广到有限多个函数）（推广到有限多个函数） 1) (35e )d x xx 2 3 2 x5e x C 1) (35e )d x xx 2 2 2)d . 1 x x x 求下列不定积求下列不定积分：分： 2 2 2)d 1 x x x 2

9、1 dd 1 xx x 2 22 11 d 11 x x xx arctanxxC 此例表明：此例表明： ？ 必须熟记基本积分公式及熟练掌握不定积分的性质必须熟记基本积分公式及熟练掌握不定积分的性质 9 3 1 1)dx xx 2) 2 e d xx x 练练 习习 2 (1) 3)d x x x 2 22 12 4)d (1) x x xx 22 1 5)d sincos x xx 1 6)d . 1cos2 x x 2 tandx x 2 1(sec)dxx tan xxC 2 tand .x x 该例的该例的被积函被积函数不能直接应用基本积分公式，数不能直接应用基本积分公式， 需要进行恒等变形以后才能使用积分公式需要进行恒等变形以后才能使用积分公式. . 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 不定积分的性质不定积分的性质 不定积分的概不定积分的概念念 与性质与性质 基本积分表基本积分表 10