华南理工大学高等数学统考试卷下册统考试卷及解答 1998.doc

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1、1998等数学下册统考试卷及解答一、 试解下列各题1、4分设是由所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分。解：在球坐标下为补充，从而2、4分设是在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明解：当时由定理故有二、 试解下列各题1、3分 设，求解：2、3分 设，求解：3、3分 设可导，求解：三、 试解下列各题1、3分设单调减少，且收敛于0，问级数是否收敛？解：不一定收敛。例如单调减少，且收敛于0，但发散；而单调减少，且收敛于0，但收敛。2、3分试证：级数是发散的。证：令，所以，从而级数是发散的。四、 计算下列各题1、6分利用极坐标计算二重积分（）解：在极坐标下为2、6分 设为连续函数，交换二次积分

2、的积分次序。解：由上下限知积分区域D两部分为及，作图发现即为故原式3、6分 计算，其中是立方体，表面的外侧，。解：或由对称五、 解答下列各题1、5分 求全微分方程的通解。解：原式即为通解另解法：由此推出为通解2、5分已知，试问是否存在函数，使得？解：因为所以不存在函数，使得六、 解答下列各题1、5分 判别级数的敛散性。解：故正项级数的收敛2、5分设在内有连续的导函数，且。已知展成以为周期的傅立叶级数的系数为。试用表示的傅立叶级数的系数解：注意用的展开式求导来推不给分！因缺乏理论依据。七、 解答下列各题1、7分利用二重积分计算由曲面所围成的曲顶矩体的体积解：2、7分利用曲线积分计算椭圆圆周所围成的面积。解：3、7分试求在极坐标下由所确定图形的面积。解：由知八、 解答下列各题1、6分利用近似公式时，试估计当时所产生的最大误差。解：在内收敛当时，2、6分求微分方程的一条积分曲线，使其在点处有水平切线。解：特征方程为通解由过点知由在点处有水平切线知。从而为所要求的特解3、6分设，其中是具有连续导数的函数，试消去建立所满足的一个一阶偏微分方程。解：即为所满足的一个一阶偏微分方程。共5页第5页