2020年湖南省湘潭中考数学试卷试题真题及答案.pdf

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1、数学试卷第 1页（共 12页）数学试卷第 2页（共 12页） 绝密启用前 2020 年湖南省湘潭市初中学业水平考试 数学数学 考试时量：120 分钟满分：120 分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26 道小题.请考生将解答过程 全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效。考试结束后，将试题卷和答题卡一并 上交. 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答 案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 1.6的绝对值是（） A.6B.6C. 1 6 D. 1 6 2.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经

2、营与有序占道经营，能满足 民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场， 刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了 600000000 次，这个数据用 科学记数法表示为（） A. 8 0.6 10B. 7 6 10C. 8 6 10D. 9 6 10 3.已知 13 2 n xy 与 43 1 3 x y是同类项，则n的值是（） A.2B.3C.4D.5 4.下列图形中，不是中心对称图形的是（） ABCD 5.下列运算中正确的是（） A. 3 25 aaB. 1 1 2 2 C. 0 251D. 336 2aaa 6.如图，ACD是ABC的外角，若110

3、50ACDB，则A（） A.40B.50C.55D.60 7.为庆祝建党 99 周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的 发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行 手抄报的制作：A.“北斗卫星”；B.“5G时代”；C.“智轨快运系统”；D.“东风 快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则 选择“5G时代”的频率是（） A.0.25B.0.3C.25D.30 8.如图，直线(0)ykxbk经过点1,1P，当kxbx 时，则x的取值范围为 （） A.1xB.1xC.1xD.1x 二、填空题（本大题共 8 小

4、题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分） 9.计算：sin45 _. 10.在数轴上到原点的距离小于 4 的整数可以为_.（任意写出一个即可） 11.计算：82_. 12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”， 每天走 6000 步是走路最健康的步数. 手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯.张大 爷连续记录了 3 天行走的步数为：6200 步、5800 步、7200 步，这 3 天步数的平均数 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ 数学试卷第 3页（共 12页）数学试卷第 4页（共 12页） 是_步. 1

5、3.若 3 7 y x ，则 xy x _. 14.如图，在半径为 6 的O中，圆心角60AOB，则阴影部分面积为_. 15.如图， 点P是AOC的角平分线上一点，PDOA， 垂足为点D，且3PD ，点M 是射线OC上一动点，则PM的最小值为_. 16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出 了很大的贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 123456789 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推， 遇零则置空.示例如图：，则表示的数是_. 三、 解答题（本大题共 10 小题，

6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分） 17.（本题满分 6 分）解分式方程： 3 2 11 x xx . 18.（本题满分 6 分）化简求值： 2 23 1 121 a aaa ，其中2a . 19.（本题满分 6 分）生死守护，致敬英雄.湘潭 28 名医护人员所在的湖南对口支援湖 北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务.为致敬 英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈 队.现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生. （温馨提示：用男1、女1；男2、女

7、2分别表示甲、乙两班 4 个学生） （1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果； （2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取.请用列表或画 树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率. 20.（本题满分 6 分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造. 已知四边形ABCD为矩形，10 mDE ，其坡度为 1 1:3i ，将步梯DE改造为斜 坡AF，其坡度为 2 1:4i ，求斜坡AF的长度.（结果精确到0.01 m，参考数据： 31.732，174.122） 21.（本题满分 6 分）“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年 春天一道别样的风景

8、.隔离的是身体，温暖的是人心.“幸得有你，山河无恙”.在钟 南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情.在春暖花开，万物复苏之际，某校为 了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网 络学习时长（单位：小时）进行统计.现随机抽取 20 名学生的数据进行分析： 收集数据： 4.565.56.56.55.5767.58 6.587.55.56.576.566.55 整理数据： 时长x（小时）45x 56x 67x 78x 人数2a84 分析数据： 项目平均数中位数众数 数据6.46.5b 应用数据： （1）填空：a _，b _； （2）补全频数直方图； 数学试卷第 5页（

9、共 12页）数学试卷第 6页（共 12页） （3） 若九年级共有 1000 人参与了网络学习， 请估计学习时长在57x 小时的人数. 22. （本题满分 6 分） 如图， 在ABC中，ABAC， 以AB为直径的O交BC于点D， 过点D作DEAC，垂足为点E. （1）求证：ABDACD； （2）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由. 23.（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶 点A的坐标为3,4. （1）求过点B的反比例函数 k y x 的解析式； （2）连接OB，过点B作BDOB交x轴于点D，求直线BD的解析式. 24.（本题满分 8 分）习近平总书

10、记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧 启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅 盾文学奖的北上 （徐则臣著）和牵风记 （徐怀中著）两种书共 50 本.已知购 买 2 本北上和 1 本牵风记需 100 元；购买 6 本北上与购买 7 本牵风 记的价格相同. （1）求这两种书的单价； （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的 总价不超过 1600 元.请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低 费用为多少元？ 25.（本题满分 10 分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形 的重心. （1）特例感知：

11、如图（一） ，已知边长为 2 的等边ABC的重心为点O，求OBC 与ABC的面积. （2）性质探究：如图（二） ，已知ABC的重心为点O，请判断 OBC ABC SOD OA S 、是否都 为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由. （3）性质应用：如图（三） ，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对 角线AC于点M. 若正方形ABCD的边长为 4，求EM的长度； 若1 CMB S ，求正方形ABCD的面积. 26.（本题满分 10 分）如图，抛物线 2 5yxbx 与x轴交于AB，两点. （1）若过点C的直线2x 是抛物线的对称轴. 求抛物线的解析式； 对称轴上是

12、否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点 B 恰好落在对称轴 上.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （2）当4b，02x 时，函数值y的最大值满足315y ，求b的取值范围. -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ 数学试卷第 7页（共 12页）数学试卷第 8页（共 12页） 2020 年湖南省湘潭市初中学业水平考试 数学答案解析 一、 1.【答案】B 【解析】负数的绝对值等于它的相反数，所以6的绝对值是 6故选：B 2.【答案】C 【解析】解： 8 6000000006 10，故选：C 3.【答案】B 【解析】 13 2 n xy 与 43 1 3 x

13、 y是同类项，14n ，解得，3n ，故选：B 4.【答案】D 【解析】A.是中心对称图形，故此选项不符合题意；B.是中心对称图形，故此选项不符 合题意；C.是中心对称图形，故此选项不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对 称图形，故此选项符合题意；故选：D 5.【答案】C 【解析】A. 3 26 aa，故 A 错误；B. 1 1 2 2 ，故 B 错误；C. 0 (25)1，正确； D. 336 aaa，故 D 错误；故选：C 6.【答案】D 【解析】ACD是ABC的外角，ACDBA ，AACDB ， 50B ，60A ，故选：D 7.【答案】B 【解析】由图知，八年级（3）班的全体人数为：

14、2530102015=100（人） ，选择 “5G时代”的人数为：30 人，选择“5G时代”的频率是： 30 0.3 100 ；故选：B 8.【答案】A 【解析】由题意，将1,1P代入0ykxb k，可得1kb，即1kb ，整理 kxbx 得，10kxb ，0bxb ， 由图象可知0b，1 0 x ，1x ， 故选：A 二、 9.【答案】 2 2 【解析】根据特殊角的三角函数值得： 2 sin45 = 2 10.【答案】3（答案不唯一，3，2，1，0，1，2，3任意一个均可） 【解析】在数轴上到原点的距离小于 4 的整数有：3，3，2，2，1，1，0 从中任选 一个即可. 11.【答案】2 【

15、解析】82=2 22= 2. 12.【答案】6400 【解析】这 3 天步数的平均数是： 620058007200 6400 3 （步）. 13.【答案】 4 7 【解析】由 3 7 y x 可设3yk，7xk，k是非零整数，则 7344 777 xykkk xkk 故 答案为： 4 7 14.【答案】6 【解析】阴影部分面积为 2 66 6 360 ，故答案为：6. 15.【答案】3 【解析】根据垂线段最短可知：当PMOC时，PM最小，当PMOC时，又OP平 分AOC，PDOA，3PD ，3PMPD，故答案为：3 16.【答案】9167 【解析】根据算筹计数法，表示的数是：9167，故答案为

16、：9167 三、 17.【答案】 3 2 11 x xx 32(1)xx， 1x ， 经检验，1x 是原方程的解所以，原方程的解为：1x 【解析】具体解题过程参照答案. 18.【答案】 2 23 1 121 a aaa 2 12 (1) = 13 aa aa =1a ， 将2a 代入得：原式213 【解析】具体解题过程参照答案. 19.【答案】 （1）可能出现的结果有：男 1 女 1、男 1 男 2、男 1 女 2、男 2 女 1、男 2 女 2、女 1 女 2. （2）列表法表示所有可能出现的结果如下： 数学试卷第 9页（共 12页）数学试卷第 10页（共 12页） 共有 4 种情况，其中恰

17、好选中一男一女有 2 种情况，所以恰好选中一男一女的概率为 21 42 【解析】具体解题过程参照答案. 20. 【 答 案 】10 mDE ， 其 坡 度 为 1 1:3i ，在RtDCE中 ， 22 210DEDCCEDC，解得5DC 四边形ABCD为矩形， 5ABCD斜坡AF的坡度为 2 1:4i ， 1 4 AB BF ，420BFAB，在 RtABF中， 22 5 1720.61(m)AFABBF故斜坡AF的长度约为 20.61 米 【解析】具体解题过程参照答案. 21.【答案】 （1）6 6.5 （2）由（1）得6a 频数分布直方图补充如下： （3）由图可知，学习时长在57x 小时的

18、人数所占的百分比 68 =100%70% 20 ， 100070%700（人） 学习时长在57x 小时的人数是 700 人 【解析】（1） 由总人数是 20 人可得在56x 的人数是202846（人） ， 所以6a ， 根据数据显示，6.5 出现的次数最多，所以这组数据的众数6.5b ；故答案为：6， 6.5. （2）具体解题过程参照答案. （3）具体解题过程参照答案. 22.【答案】 （1）证明：AB为O的直径，ADBC，在RtADB和RtADC中 ADAD ABAC ，()RtABDRtACD HL. （2）直线DE与O相切，理由如下：连接OD，如图所示： 由ABDACD知：BDDC， 又

19、OAOB，OD为ABC的中位线，ODAC， DEAC，ODDE，OD为O的半径，DE与O相切 【解析】具体解题过程参照答案. 23. 【答案】（1） 过点A作AEx轴， 过B作BFx轴， 垂足分别为,E F， 如图，(3,4)A， 3OE，4AE ， 22 5AOOEAE，四 边 形OABC是 菱 形 ， 5AOABOC，ABx，5EFAB，358OFOEEF， (8,4)B设过B点的反比例函数解析式为 k y x ，把B点坐标代入得，32k ， 所以，反比例函数解析式为 32 y x . （2）.OBBD，90OBD ，90OBFDBF ，90DBFBDF ， OBFBDF ，又90OFBB

20、FD ，OBFBDF， OFBF BFDF ， 84 4DF ，解得，2DF ，8210ODOFDF，(10,0)D设BD所 在直线解析式为ykxb，把8,4B，10,0D分别代入，得： 8 0 4 10k kb b ，解 得， 2 20 k b ，直线BD的解析式为220yx 【解析】具体解题过程参照答案. 24.【答案】 （1）设购买北上的单价为x元， 牵风记的单价为y元，由题意得： 6 20 7 1 0 x x y y ，解得 30 35 y x 答：购买北上的单价为 35 元， 牵风记的单 价为 30 元. （2）设购买北上的数量n本，则购买牵风记的数量为50n本，根据题意得 3530

21、 56 1 5 2 01 00 0nn nn ， 解得： 2 1620 3 n ， 则n可以取 17、 18、 19、 20， 当17n 时，5033n，共花费17353330=1585元；当18n 时，5032n，共花 费18353230=1590元； 当19n 时，5031n， 共花费193531 301595 元；当20n 时，5030n，共花费203530301600元；所以，共有 4 种 购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为 17 本和 33 本，购买北 上和牵风记的数量分别为 18 本和 32 本，购买北上和牵风记的数量 分别为 19 本和 31 本，购买北上和牵风记的数量

22、分别为 20 本和 30 本；其 中购买 北上 和 牵风记 的数量分别为 17 本和 33 本费用最低， 最低费用为 1585 元 【解析】具体解题过程参照答案. 25.【答案】 （1）连接DE，如图，点O是ABC的重心，AD，BE是BCAC，边 上的中线，D，E为BCAC，边上的中点，DE为ABC的中位线，DEAB， 1 2 DEAE，ODEOAB， 1 2 ODDE OAAB ，2AB ，1BD ， 数学试卷第 11页（共 12页）数学试卷第 12页（共 12页） 90ADB，3AD， 3 3 OD ， 3 2 323 3 ,3 22322 OBCABC BC ODBC AD SS . （

23、2） 由 （1） 可知， 1 2 OD OA ， 是定值； 点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1:3， 则OBC和ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比， 故 1 3 OBC ABC S S ，是定值. （3） 四边形ABCD是正方形，CDAB，4ABBCCD，CMEAMB， EMCE BMAB ，E为 CD的中点， 1 2 2 CECD， 22 2 5BEBCCE， 1 2 EM BM ， 1 3 EM BE ， 即 2 5 3 EM ； 1 CME S ， 且 1 2 ME BM ，2 BMC S ， 1 2 ME BM ， 2 1 4 CME AMB SME S

24、BM ，4 AMB S ， 246 ABCBMCABM SSS ，又 ADCABC SS ，6 ADC S ，正方形 ABCD的面积为：6612 【解析】具体解题过程参照答案. 26. 【答案】 （1） 抛物线 2 5yxbx 的对称轴为直线 2 ( 1)2 bb x ，若过点C 的直线2x 是抛物线的对称轴，则2 2 b ，解得：4b ，抛物线的解析式为 2 45yxx . 存在， 如图， 若点P在x轴上方， 点B关于OP对称的点B在对称轴上， 连接OBPB、， 则OBOB，PBPB，对于 2 45yxx ，令0y ，则 2 450 xx， 解 得 ： 12 1,5xx ，( 1,0)A，(

25、5,0)B，5OBOB， 2 225421CBOBOC，(2, 21)B，设点(2,)Pm，由PBPB 可得： 22 21(52)mm，解得： 2 21 7 m ， 2 21 2, 7 P ；同理，当点 P在x轴下方时， 2 21 2, 7 P 综上所述，点 2 21 2, 7 P 或 2 21 2, 7 P . （2）抛物线 2 5yxbx 的对称轴为直 2 ( 1)2 bb x ，当4b时，2 2 b x ， 抛物线开口向下， 在对称轴左边，y随x的增大而增大，当02x 时， 取2x ， y有最大值， 即42521ybb ，321 15b， 解得：17b ， 又4b ， 47b 【解析】具体解题过程参照答案.