北京市石景山区2021届高三上学期期末考试 数学试题.doc

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1、 石景山区石景山区 20202021 学年第一学期高三期末试卷学年第一学期高三期末试卷 数数 学学 本试卷共 8 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项题目要求的一项 （1）已知集合，则 1,2,3A 1,0,2,3B AB （A）（B）（C）2,3（D） 0,1,20,21,0,1,2,3 （

2、2）复数 2 (1i) （A）（B）（C）（D） 01 2i2i （3）的展开式中的系数为 5 (1)x x （A） 1（B）5（C）10（D）15 （4）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 （A） 1 6 （B） 1 3 （C） 2 3 （D） 2 （5）若抛物线上的点 A 到焦点的距离为 10，则点 A 到 y 轴的距离是 2 4yx （A） 6（B）7（C）8（D）9 正（主）视图侧（左）视图 俯视图 2 1 11 （6）“”是“函数为奇函数”的 sin()yx （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）直线与圆的位置关

3、系是 :1l ykx 22 :(1)4C xy （A） 相切（B）相交（C）相离（D）不确定 （8）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前5项的和为 n a 124 ,a a a n a （A）（B）（C）（D） 10152128 （9）已知函数则函数的零点个数是 2 ,0, ( ) ,0, x x f x x x | ( )2 x yf x （A） （B）（C）（D） 0123 （10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法 画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心， ABCD 51 2 AB BC ABFEF 长为半径作圆弧；然后在矩形中

4、作正方形，以为圆心， AB A BECDEFDEHG H 长为半径作圆弧；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 DE A EG 记圆弧，的长度分别为，对于以下四个命题： A BE A EG A GI,l m n l mn 2 ml n 2m ln 211 mln 其中正确的是 （A） （B）（C）（D） 第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 110110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （11）函数的定义域为_ ( )1lnf xxx （12）已知平面向量，且，则实数_ (2,1)a(4, )yb aby （13）已知

5、双曲线的两个焦点为，一个顶点是，则的标准方程 C 3,0 , 3,0 6,0 C 为_；的焦点到其渐近线的距离是_ C （14）若函数的一个周期是，则常数的一个取值可以为 ( )sin()cos() 3 f xxx _ （15）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式是 2 log (1) S CW N 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最 大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高 CWS 斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比 N S N 根据香农公式，以下说法正确的是_ （参考数据：） lg5 0.6990 若不改变信

6、噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍； S NWC 若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低 WSN 为原来的一半，则增加一倍； C 若不改变带宽，而将信噪比从 255 提升至 1023，增加了； W S NC25% 若不改变带宽，而将信噪比从 999 提升至 4999，大约增加了 W S NC23.3% 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） （本小题 13 分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面， PABCDABCDPA ABCD 分别为棱的中点， ,M N,

7、PD BC 2PAAB （）求证：平面； MNPAB （）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 （17） （本小题 13 分） 在中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一 ABC2c 30C 个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （）的值；a （）的面积 ABC 条件：； 23ba 条件：； 45A 条件：. 2 3b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. N M P D A B C （18） （本小题 14 分） 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的 方法，从全校学生中抽取容量为 200 的样本进行调查被抽中的同学分别对食堂进行

8、评 分，满分为 100 分调查结果显示：最低分为 51 分，最高分为 100 分随后，兴趣小 组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方 图，图表如下： 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况” ，二者的对 应关系如下： 分数分数50, 60）60, 70）70, 80）80, 90）90, 100 满意度情况满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意 （）求的值； a （）为进一步改善食堂状况，从评分在50,70）的男生中随机抽取 3 人进行座谈， 记这 3 人中对食堂“不满意”的人数为 X，求 X 的分布列； （）以调查结果的频率估计概

9、率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂 “比较满意”的概率 分数区间分数区间频数频数 50,60）3 60,70）3 70,80）16 80,90）38 90,10020 男生评分结果的频数分布表 组距 频率 0.005 0.040 5060708090 a 100 0.020 分数 0 女生评分结果的频率分布直方图 （19） （本小题 15 分） 已知椭圆的离心率，且经过点 22 22 :1(0) xy Cab ab 3 2 e (0,1)D （）求椭圆的方程； C （）已知点和点，过点的动直线 交椭圆于两点（在 ( 1,0)A ( 4,0)B BlC ,M N M 左侧） ，试讨

10、论与的大小关系，并说明理由 NBAMOAN （20） （本小题 15 分） 设函数 1 ( )ln,f xaxa x R （）设 是图象的一条切线，求证：当时， 与坐标轴围成的三角形的 l ( )yf x 0a l 面积与切点无关； （）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围 ( )( )g xf xx a （21） （本小题15 分） 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为 n a n a P 数列 （）数列为，数列为判断数列，是否为数列， n a1,1,3,5,7 n b 11 1 1, 24 8 n a n b P 并说明理由 ； （）设数列是首项为的 P 数列

11、，其前项和为（） n a 2nn S * nN 求证：当时，； 2n 2n n S （）设无穷数列是首项为 a（a0） ，公比为 q 的等比数列，有穷数列， n a n b 是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 n c n a ， 1 T 2 T 若判断是否为数列，并说明理由 12 TT n a P （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 石景山区石景山区 20202021 学年第一学期高三期末学年第一学期高三期末 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题

12、号12345678910 答案CDBCDABBCA 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （11）； （12）； （13），； (0,) 2 22 1 63 xy 3 （14）2；（答案不唯一） （15） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 85 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算分解答题应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤 （16）（本小题 13 分） 解：（）在四棱锥中， PABCD 取的中点，连接、， PAEEBEM 因为 是的中点， MPD 所以 ，且. EM AD 1 2 EM

13、AD 又因为 底面是正方形，是的中点， ABCDNBC 所以 ，且. BNAD 1 2 BNAD 所以 . EM = BN 所以 四边形是平行四边形. MNBE 所以 . MNEB N M P D A B C E 由于 平面， EBPAB 平面， MNPAB 所以 平面. MNPAB （II）因为 底面是正方形，所以 . ABCDABAD 又因为 平面. PAABCD 所以以点为坐标原点，、分别为、轴， AABADAPx y z 如图建立空间直角坐标系. ，,，,. (0,0,0)A(2,2,0)C(0,2,0)D(0,0,2)P(0,1,1)M(2,1,0)N (2,2, 2),( 2,0,

14、0),PCCD 设平面的法向量为. PCD ( , , )mx y z 有：即 令，则， 所以. 0, 0, m PC m CD 0, 0, xyz x 1y =1z (0,1,1)m . (2,0, 1)MN 设直线与平面所成角为. MNPCD 有： sincos,MN m = MN m MNm . 02+1 0+11 10 = 1025 （- ） 所以 直线与平面所成角的正弦值为. MNPCD 10 10 （17） （本小题 13 分） 选择条件： 23ba 解：（）在中， ABC 因为， 23ba 所以. 3 2 ba N M P D A B C x y z 因为,. 2c 30C 根据

15、余弦定理：，得， 222 cos 2 abc C ab 22 3 ()4 3 2 cos30 = 23 2 2 aa aa 整理，得， 2 16a 由于， 0a 所以 . =4a （）由（I）可知，. 3 2 3 2 ba 因为， 4a 2c 所以. 222 abc 所以. =90A 因此，是直角三角形. ABC 所以. 11 2 322 3 22 Sbc 选择条件：. 45A 解：（）在中， ABC 因为 ,. 45A 30C =2c 根据正弦定理： ， sinsin ac AC 所以 . 2 2 sin2sin45 2 =2 2 1 sinsin30 2 cA a C （）在中， ABC

16、因为. sinsin()BAC 所以. sinsin(3045 )=sin30 cos45cos30 sin45B 6+ 2 = 4 所以. 1 sin 2 SacB 16+ 2 =2 22= 3+1 24 选择条件：不给分 （18） （本小题 14 分） 解：（）因为 ， 0.005+0.0200.0400.020) 101a （ 所以 . 0.015a （）依题意，随机变量的所有可能取值为. X 0,1,2,3 ； ； 03 33 3 6 1 (0) 20 CC P X C 12 33 3 6 9 (1) 20 CC P X C ； . 21 33 3 6 9 (2) 20 CC P X

17、C 30 33 3 6 1 (3) 20 CC P X C 所以随机变量的分布列为： X （）设事件“随机抽取一名学生，对食堂比较满意 ”. =A 因为样本人数人，其中男生共有人， 20080 所以样本中女生共有人. 120 由频率分布直方图可知， 女生对食堂“比较满意”的人数共有：人. 1200.020 10=24 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有人, 16 . 24161 2005 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为. 1 ( ) 5 P A （19） （本小题 15 分） 解：（）由已知， 1b 3 2 c e a 又，解得. 222 abc 2,1ab 所以

18、椭圆的方程为. C 2 2 1 4 x y （）依题意设直线 的方程为，设. l (4)yk x 1122 ( ,) ,(,)M x yN xy 联立消去，得， 2 2 4 (4), 1, yk x y x y 2222 (41)326440kxk xk X0123 P 1 20 9 20 9 20 1 20 则，解得. （*） 2 16(1 12)0k 33 66 k 则，. 2 12 2 32 41 k xx k 2 12 2 644 41 k x x k 若，则，与（*）式矛盾，所以. 1 1x 1 3 2 y 3 6 k 1 1x 同理. 2 1x 所以直线和的斜率存在，分别设为和.

19、AMANAM k AN k 因为 1212 121212 (4)(4)33 2 111111 AMAN yyk xk xkk kkk xxxxxx 1212 121212 2 2 2 222 22 3 (2)3 (2) 22 (1)(1)1 32 3 (2) 3 ( 242) 14 220 64432363 1 1414 k xxk xx kk xxx xxx k k kk k kk kkk kk 所以. AMAN kk 所以. BAMOAN （20） （本小题 15 分） 解：（）当时， 0a 1 ( ),0f xx x 2 1 ( )fx x 设图象上任意一点， ( )f x 0 0 1

20、(,)P x x 切线 斜率为. l 0 2 0 1 ()kfx x 过点的切线方程为. 0 0 1 (,)P x x 0 2 00 11 ()yxx xx 令，解得；令，解得. 0 x 0 2 y x 0y 0 2xx 切线与坐标轴围成的三角形面积为. 0 0 12 | |2| 2 2 Sx x 所以 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关 . l （）由题意，函数的定义域为. ( )g x(0,) 因为在上单调递减， ( )g x(0,) 所以在上恒成立， 2 1 ( )10 a g x xx (0,) 即当，恒成立， (0,)x 1 ax x 所以 min 1) ax x ( 因为当，当且

21、仅当时取等号. (0,)x 1 2x x 1x 所以当时， 1x min 1) 2x x ( 所以. 2a 所以的取值范围为. a (, 2 （21） （本小题 15 分） 解：（）数列不是数列，数列是数列. n a P n b P 对于数列，所以数列不是数列； n a 1 1357 n a P 对于数列，所以数列是数列. n b 111111 1, 1, 1 224248 n b P （）由题意知，即，即. 1nn aS 1nnn SSS 1 2 nn SS 又因为， 11 20Sa 所以 . 0 n S 所以 当时， 2n 12 1 121 2n nn n nn SSS SS SSS 命题

22、得证. （）数列不是数列. n a P 假设数列是数列，则得， n a P2 aaqa1q 所以数列是单调递增数列，且，. n a0 n a * nN 若数列中的元素都在数列中，则； n b n c 12 TT 若数列中的元素都在数列中，则； n c n b 12 TT 若数列和数列有部分公共元素，将数列和的公共元素去掉 n b n c n b n c 得到新的数列和， n b n c 不妨设数列和中的最大元素在数列中， n b n c m a n c 则数列的前项和. n a 1m 1mm Sa 因为， 0 n a * nN 所以数列中的所有项和小于等于. n b 1m S 所以数列中的所有项和小于. n b m a 所以. 12 TT 综上知.与已知矛盾，所以数列不是数列. 12 TT 12 TT n a P