艺术生高考数学专题讲义：考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质.doc

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1、 考点十八 函数y=Asin(x+)的图象和性质知识梳理1五点法作yAsin(x)一个周期内的简图用“五点法”作图，就是令x取下列5个特殊值：0, , , , 2，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象2三角函数图象变换3函数y=Asin(x+)的几个概念若函数yAsin(x) (A0，0，x(，)表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相典例剖析题型一 三角函数的图象变换例1(2015山东文)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象_(填序号) 向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位答案解析ysinsin，要得到ysi

2、n的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位变式训练 把函数ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为_答案 x解析 将ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin(2x)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数ysin2(x)sin(2x)，故x是其图象的一条对称轴方程解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由ysinx的图象变换到yAsin(x)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是(0)个单

3、位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值题型二 三角函数的五点法作图例2设函数y2sin(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的解析 (1) 列表，xysin x01010y2sin02020描点画出图象：(2) 方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将

4、ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”题型三 由图象求yAsin(x)的解析式例3函数f(x)

5、Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的取值范围解析 (1)由题中图象得A1，所以T2，则1.将点代入得sin1，又0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降

6、时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.题型四 函数yAsin(x)的对称性、周期性、奇偶性例4函数f(x)cos(2x)的最小正周期是_答案 解析最小正周期为T.变式训练已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是_(填序号) 函数f(x)的最小正周期为 函数f(x)是偶函数 函数f(x)的图象关于直线x对称 函数f(x)在区间上是增函数答案解析 f(x)sincos 2x，故其最小正周期为，故正确；易知函数f(x)是偶函数，正确；由函数f(x)cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x对称，错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上

7、是增函数，正确，故选.解题要点 1.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断2.求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.利用图象3.三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用另外函数yAsin(x)、余弦函数yAcos(x)在对称轴处必取极值A，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题当堂练习1函数f(x)2sin(

8、x)(0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是_答案 2，解析 由图象可得，T，则2，再将点代入f(x)2sin(2x)中得，sin1，令2k，kZ，解得，2k，kZ，又，则取k0，.2(2014辽宁卷) 将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数_(填序号)在区间上单调递减 在区间上单调递增在区间上单调递减 在区间上单调递增答案 解析 由题可知，将函数y3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y3sin的图象，令2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，函数单调递增，即函数y3sin的单调递增区间为，kZ，可知当k0时，函数在区间上单调递增3. (2014四川卷)为了得到函数y

9、sin (2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点_(填序号)向左平行移动个单位长度 向右平行移动个单位长度向左平行移动1个单位长度 向右平行移动1个单位长度答案 解析 因为ysin(2x1)sin2，所以为得到函数ysin(2x1)的图象，只需要将ysin 2x的图象向左平行移动个单位长度4(2014安徽卷)若将函数f(x)sin的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案 解析 将f(x)sin的图象向右平移个单位，得到ysin的图象，由该函数的图象关于y轴对称，可知sin1，即sin1，故2k，kZ，即，kZ，所以当0时，min.5(2015新课标文)

10、函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为_答案，kZ解析由已知图象可求得与的值，然后利用余弦函数的单调区间求解由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，|0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是_.答案 2解析 ysin(x)过点(，0)，sin0，k，2k，当k1时，最小值为2.9函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则f(x)_.答案 sin(x)解析 依题意得，A，2(62)16，sin(2)1，又|0，在函数y2sin x与y2cos x 的图象的交点中，距离

11、最短的两个交点的距离为2，则_.答案解析由得sin xcos x，tan x1，xk (kZ)0，x (kZ)设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，2(2)212，.二、解答题12 已知函数f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数yf(x)在上的图象解析 (1)振幅为，最小正周期T，初相为.(2)图象如图所示13(2015湖北文)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到yg(x)的图象，求yg(x)的图象离原点O最近的对称中心解析(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，因此g(x)5sin5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2xk，解得x，kZ.即yg(x)图象的对称中心为，kZ，其中离原点O最近的对称中心为.