艺术生高考数学专题讲义：考点51 变量间的相关关系与统计案例.doc

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1、 考点五十一 变量间的相关关系与统计案例知识梳理1相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2散点图通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图3正相关与负相关从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关4回归直线方程(1)曲线拟合从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致

2、趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合(2)线性相关在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的(3)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2来刻画这些点与直线yabx的接近程度，使得上式达到最小值的直线yabx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法(4)回归方程方程ybxa是两个

3、具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数说明：回归直线必过样本中心(，)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上5相关系数相关系数r ；当r0时，表明两个变量正相关；当r2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联典例剖析题型一 相关关系判断例1变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,

4、5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则_r2r10 0r2r1 r200；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r20，所以有r200时，x与y正相关，当0时，x与y负相关，所以一定错误解题要点 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱题型二 回归分析例2已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的

5、散点图分析可知：y与x线性相关，且0.95xa，则a_答案 1.45解析 4，5.25，又0.95xa过(，)，5.250.954a，得a1.45.变式训练 已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程2.1x0.85，则m的值为_答案 0.5解析 ，把(，)代入线性回归方程，2.10.85，m0.5.解题要点 回归直线方程x必过样本点中心(，)利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数例3下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；

6、(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)解析 (1)由题意，作散点图如图(2)由对照数据，计算得iyi66.5，3242526286，4.5，3.5，0.7，3.50.74.50.35，所以回归方程为0.7x0.35.(3)当x100时，y1000.70.3570.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨标准煤)变式训练

7、(2015新课标文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(I)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(III)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(

8、II)的结果回答下列问题：(i)当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？(ii)当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解析 (I)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(II)令w，先建立y关于w的线性回归方程，由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(III)(i)由(II)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.

9、60.24966.32.(ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时， 取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大解题要点 (1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键(2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值(3) 求解回归方程关键是确定回归系数，因求解的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如，x，xiyi等，便可直接代入求解充分利用回归直线过样本中心点(，)，即有y，可确定.题型三 相关分析例4有甲、乙两个

10、班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是_ 列联表中c的值为30，b的值为35 列联表中c的值为15，b的值为50 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”答案 解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c20，b45，选项A、B错误根据列联表中的数据，得到26.1093.841，因此有95%的把握

11、认为“成绩与班级有关系”变式训练 在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲(1)根据以上数据建立一个22列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率解析 (1)22列联表如下：患色盲不患色盲总计男38442480女6514520总计449561 000(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中22列联表中数据，可求得227.14，又P(210.828)0.001，即H0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.解题要点 (1)独立性检验的关键是正确列出22列联表，并

12、计算出2的值(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答当堂练习1(2015湖北文)已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是_x与y正相关，x与z负相关 x与y正相关，x与z正相关x与y负相关，x与z负相关 x与y负相关，x与z正相关答案解析因为y0.1x1，0.10)，所以z0.1axab，0.1a0，所以x与z负相关2(2014湖北卷) 根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为bxa，则_a0，b0 a0，b0 a0，b0 a0，b0答案 解析 作出散点图如下：由图象不难得出，回归直

13、线bxa的斜率b0，所以a0，b6.635，所以选项正确4下列有关样本相关系数的说法不正确的是_相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大|r|1，且|r|越接近0，相关程度越小|r|1，且|r|越接近1，相关程度越小答案5两个相关变量满足如下关系：x1015202530y1 0031 0051 0101 0111 014则两变量的回归方程为_答案0.56x997.4解析回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意课后作业一、 填空题1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1,x2,xn不全

14、相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i=1,2,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为_ 答案 1解析 根据相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为12设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是_y与x具有正的线性相关关系回归直线过样本点的中心(，)若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg答案 解析 由回归方程为=0

15、.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心(，)，利用回归方程可以预测估计总体，所以不正确.3(2015新课标II文)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图以下结论不正确的是_ 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大

16、，选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项错误，故选4下面是一个22列联表y1y2总计x1a2173x2222547合计b46120其中a，b处填的值分别为_答案5274解析由a2173，得a52，a22b，得b745为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K28.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为_P(K2k0)0.1000.0500

17、.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828答案 99%解析 因为K28.016.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”6下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 0.7x0.35，那么表中t的值为_答案 3 解析 由0.70.35得0.70.353.5t3.7(2014江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4

18、，则与性别有关联的可能性最大的变量是_ 表1 表2 成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652 视力性别好差总计男41620女122032总计163652 表3 表4 智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652答案 阅读量解析 通过计算可得，表1中的20.009，表2中的21.769，表3中的21.300，表4中的223.4818已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为0.01x0.5，则加工600个零件大约需要的时间为_答案 6.5 h解析 将600代入线性回归方

19、程0.01x0.5中得需要的时间为6.5 h.9为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为_答案5%解析由K2的观测值k4.8443.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.10考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为1.197x3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长

20、度的估计值为_cm.答案 56.19解析 根据回归方程1.197x3.660，将x50代入，得y56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.11已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程为_答案 1.23x0.08解析 设回归直线方程为1.23xa，由题意得：51.234a，得a0.08，故回归方程为1.23x0.08.二、解答题12 (2013重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程

21、ybxa；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程ybxa中，b，ab，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为x.解析 (1)由题意知n10，i8，i2，又n2720108280，iyin 184108224，由此得b0.3，ab20.380.4，故所求回归方程为0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y0.370.41.7千元13近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困

22、难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表.患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别有关？P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中nabcd.解析 (1)在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为，男性应该抽取204人(2)K28.333，且P(K27.879)0.0050.5%，所以有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关系