艺术生高考数学专题讲义：考点60 极坐标与参数方程.doc

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1、 考点六十 极坐标与参数方程知识梳理1极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)2. 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.3直线的极坐标方程(1)直

2、线过极点：0和0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M(b，)且平行于极轴：sin b4圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2acos .(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为2asin . 5参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程

3、与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致6直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2R2(为参数且02)椭圆1(ab0)(t为参数且0t2)抛物线y22px(p0)(t为参数)双曲线1(a0，b0)(为参数)典例剖析题型一 极坐标与直角坐标的互化例1（2015湖南文）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_答案x2y22y0解析将极坐标方程2sin 两边同乘得22sin ，x2y22y，故曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.变式

4、训练 （2015江苏）(本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.解题要点 极坐标与直角坐标互化的注意点：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性题型二 极坐标方程的应用例2（2015新课标文）在直角坐标系xO

5、y中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解析(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.变式训练 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求AOB(其中O为极点)的面积解析 由题意知A，B的极

6、坐标分别为、，则AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin3.解题要点 1.弄清极坐标方程中的和 的几何意义，利用数形结合思想解题2.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决题型三 参数方程的应用例3(2014高考课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解析(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2c

7、os ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.变式训练 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解析 (1)曲线C的标准方程：(x1)2(y2)216，直线l的参数方程：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的标准方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，

8、则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.解题要点 1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等2根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦M1M2的中点t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.题型四 极坐标、参数方程的综合应用例4（2015新课标文）(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为

9、参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.变式训练 （2015湖南理）已知直线l：(t为参数)，以坐标

10、原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解析(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.解题要点 1. 化归思想的运用，即涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，体现了2. 数形结合的应用，即充分利

11、用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的当堂练习1在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是_答案 cos 1解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x1，其极坐标方程为cos 1.2直线(t为参数)的倾斜角为_答案20解析将直线参数方程化为标准形式：(t为参数)，则倾斜角为20.3. 极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是_答案 一个圆和一条射线解析 原方程等价于1或，前者是半径为1的圆，后者是一条射线.4（2015广东理）已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_答案解析依题已

12、知直线l：2sin和点A可化为l：xy10和A(2，-2)，所以点A到直线l的距离为d.5（2015湖北理）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2x24，联立解得或所以点A，B.所以|AB| 2.课后作业一、 填空题1极坐标方程cos化为直角坐标方程为_答案(x)2y2解析由cos，得2cos，x2y2x.2在极坐标系中

13、，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是_答案 sin1解析 点P的直角坐标为(，1)，所求直线平行于极轴，所求直线的斜率k0.所求直线的普通方程为y1，化为极坐标方程为sin1.3参数方程(为参数)和极坐标方程6cos所表示的图形分别是_答案椭圆和圆解析参数方程(为参数)的普通方程为y21，表示椭圆极坐标方程6cos的直角坐标方程为(x3)2y29，表示圆4在极坐标系中，直线(cossin)2与圆4sin的交点的极坐标为_答案(2，)解析(cossin)2可化为直角坐标方程xy2，即yx2.4sin可化为x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x

14、，y1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为(2，).5在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为_答案 (R)和cos2解析 由题意可知，圆2cos可化为普通方程为(x1)2y21.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x0和x2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为(R)和cos26在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是_答案 (1，)解析 由2sin，得22sin，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，)7在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线(t

15、为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_答案 解析 由得y(x2)2，化为直角坐标方程为yx(x0)，由得x25x40，x1x25，中点坐标为.8以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为_答案2解析由题意得直线l的方程为xy40，圆C的方程为(x2)2y24.则圆心到直线的距离d，故弦长22.9（2015北京理）在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_答案1解析在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：xy6，点(1，

16、)到直线的距离为d1.10（2015重庆理）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_答案(2，)解析直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)11（2015广东文）(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2

17、交点的直角坐标为_答案(2，4)解析曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C1的直角坐标方程为xy2.曲线C2的参数方程为(t为参数)，则其直角坐标方程为y28x，联立解得x2，y4，即C1，C2的交点坐标为(2，4)二、解答题12（2015福建理）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值解析 消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.13（2015陕西文）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解析 (1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)