艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性.doc

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1、 考点五 函数的性质单调性、奇偶性、周期性知识梳理1函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数 从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示： （2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区

2、间)2函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：考察定义域是否关于原点对称考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是

3、偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数3函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，则称yf(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（nZ）也是函数f(x)的周期，即有f(xnT)f(x)(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的并不

4、是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)C（C为常数）就没有最小正周期典例剖析题型一 函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是_. (填序号) y y(x1)2 y2x ylog0.5(x1)答案 解析 由基本初等函数的性质得，选项中的函数在(0，1)上递减，选项，中的函数在(0，)上为减函数，选.变式训练 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是_. (填序号) f(x)x f(x)x3 f(x) f(x)3x答案 解析f(x)x，f(xy)(xy)xy，不满足f(xy)f(x)f(y)，不满足题意f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y

5、3，不满足f(xy)f(x)f(y)，不满足题意f(x)，f(xy)，满足f(xy)f(x)f(y)，但f(x)不是增函数，不满足题意f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)3x是增函数，满足题意解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增增得增”“减减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性(4)导数法：先求导，再确定导数

6、值的正负，由导数的正负得函数的单调性题型二 函数单调性的应用例2如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.答案a0解析 当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0，则x3.函数ylog(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(

7、，1)解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法2求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数；若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”3求单调区间时需注意两点：最终结果写成区间的形式；不可忽视定义域题型四 判断函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1) ；(3) f(x).解析 (1) 定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)3(x)x3x(

8、x3x)f(x)，函数为奇函数(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3) 因为f(x)定义域为，所以f(x)0，则f(x)既是奇函数也是偶函数解题要点 判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(x)与f(x)关系. 若f(x)f(x) 则函数为奇函数；若f(x)f(x)则函数为偶函数或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)f(x)0则函数为奇函数；若f(x)f(x)0则函数为偶函数题型五 函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案2.5解析

9、由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.解题要点 关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.题型六 函数性质的综合运用例6已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_答案解析偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)ff(|2x1|)f，进而转化为不等式|2x1|，解这个不等式即

10、得x的取值范围是.当堂练习1. 函数f(x)x3x的图象关于_对称. 答案 原点解析 由f(x)(x)3(x)x3xf(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称2已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为_答案 0解析 f(x)为奇函数且f(x4)f(x)， f(0)0，T4， f(8)f(0)0.3已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)_答案1解析 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.4函数f(x)log(x24)的单调递增区间是

11、_答案(，2)解析因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)5函数yf(x)是定义在2，2上的单调减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案 1，1)解析 由条件解得1a1.课后作业一、 填空题1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为_(填序号)yx1 yx2 y yx|x|答案 2函数y1_(填序号)在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减答案 3下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是_(填序号)y1x2 yx2x y y答案4下列函数f(x

12、)中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有0”的是_(填序号)f(x) f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1)答案解析满足0其实就是f(x)在(0，)上为减函数，故选.5已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_答案 3解析 f(x)为奇函数，f(1)f(1)，又g(x)为偶函数，g(1)g(1)，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，将两式相加得2g(1)6，g(1)3.6下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是_(填序号)yx3 y|x|1 yx21 y2|x|答案 7若函数yx2(2a1)x1在区间(，2

13、上是减函数，则实数a的取值范围是_答案 解析 由题意得2，得a.8定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称，且f(x)在(，2)上是增函数，则f(1)与f(3)的大小关系是_答案 f(1)f(3)解析 依题意得f(3)f(1)，且112，于是由函数f(x)在(，2)上是增函数得f(1)f(1)f(3)9函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案 2,410设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.答案 1解析 由题知，f(1)f(12)f(1)121.11给出下列命题y在定义域内为减函数； y(x1)2在(0，)上是增函数；y在(，0)上为增函数； yk

14、x不是增函数就是减函数其中错误命题的个数有_答案3解析错误，其中中若k0，则命题不成立二、解答题12证明函数g(x)在(1，)上单调递增证明：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，因为1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数13已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解f(x)的定义域为2,2有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1.即实数m的取值范围是1,1)