5-4三次函数的图象和性质.pdf

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1、学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 293 专题专题 4三次函数的图像和性质三次函数的图像和性质 第一讲 三次函数的基本性质 设三次函数为 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ），其基本性质有： 性质一：定义域为 R 性质二：值域为 R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值 性质三：单调性和图象 0a 0a 图像 0 0 0 0 当0a 时，先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc， 22 4124(3)bacbac 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，( )fx与x轴有两个交点 1 x， 2 x，)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x，

2、2 x，图像如图 1，2 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与x轴有两个等根 1 x， 2 x，)(xf没有极值点 图像如图 3，4 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，( )fx与x轴没有交点，)(xf没有极值点，图像如 图 5，6 图 1图 2图 3图 4图 5图 6 当0a时，同理先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc，. 22 4124(3)bacbac 当0)3(4124 22 acbacb，即03 2 acb时，)(x f 与x轴有两个交点 1 x， 2 x，)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x，

3、2 x. 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与 x 轴有两个等根 1 x， 2 x，)(xf没有极值点. 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与 x 轴没有交点，)(xf没有极值点. 性质四：三次方程 0f x 的实根个数 对于三次函数 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ），其导数为cbxaxxf23)( 2 当03 2 acb，其导数0)( x f有两个解 1 x， 2 x，原方程有两个极值 2 12 3 = 3 bbac x x a 、 . 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 294 当0)

4、()( 21 xfxf，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. 当 12 ()()0f xf x，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. 当 12 ()()0f xf x，则方程有三个实根，图像如图 17. 图 13图 14图 15图 16图 17 性质五：奇偶性 对于三次函数 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ）. )(xf不可能为偶函数；当且仅当0bd时是奇函数 性质六：对称性 （1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,() 33 bb f aa ； （2）结论二：其导函数为 2 ( )320fxaxbxc对称轴为 3 b x a ，所以对称中心

5、的横坐标也就是导函数 的对称轴，可见，)(xfy 图象的对称中心在导函数 yfx的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点； （3）结论三：( )yf x是可导函数，若( )yf x的图象关于点( , )m n对称，则( )yfx图象关于直线mx 对称. （4）结论四：若( )yf x图象关于直线xm对称，则( )yfx图象关于点( ,0)m对称. （5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. （6）结论六：已知三次函数 32 f xaxbxcxd的对称中心横坐标为 0 x，若 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，则有 2 12

6、120 12 2 23 f xf xa xxfx xx . 性质七：切割线性质 （1）设P是 f x上任意一点(非对称中心)，过点P作函数 f x图象的一条割线AB与一条切线PT(P点 不为切点),A B T均在 f x的图象上，则T点的横坐标平分AB、点的横坐标，如图 18 图 18图 19图 20 x1x2 x x1x2 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 295 推论 1：设P是 f x上任意一点（非对称中心)，过点P作函数 f x图象的两条切线PMPN、切点分别 为MP、，则 M 点的横坐标平分PN、的横坐标，如图 19 推论 2：设)(xf的极大值为M，当成Mxf)(的两根为 1 x

7、， 2 x 12 ()xx，则区间 12 ,xx被中心 (,() 33 bb f aa 和极小值点三等分，类似的，对极小值点N也有此结论，如图 20 第二讲 三次函数切线问题 一般地，如图，过三次函数 f x图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f x的图象分割为 四个区域，有以下结论： （1）过区域、IV 内的点作 f x 的切线，有且仅有 3 条； （2）过区域 II、内的点以及对称中心作 f x的切线，有且仅有 1 条； （3）过切线 L 或函数 f x图象（除去对称中心）上的点作 f x的切线，有且仅有 2 条 【例 1】过点11，与曲线 3 2f xxx相切的直线方

8、程是_ 【解析】由题意可得： 2 32fxx，设曲线上点的坐标为 3 000 ,2xxx，切线的斜率为 2 0 32kx， 切线方程为： 32 0000 232yxxxxx， 由于切线过点1, 1， 则： 32 0000 1232 1xxxx ， 解得： 0 1x 或 0 1 2 x 将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：20 xy或5410 xy . 【例 2】 若 2f xfx 3 3xx对Rx恒成立， 则曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为_ 【解析】 3 3 23,23f xfxxxfxf xxx 3 3 3233f xxxxx 32 1,31,213f xxxfxxf 又 2

9、11f，则曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为11 132yx，即1315yx. 【例 3】过点21A，作曲线 3 3f xxx的切线最多有（） A3条B2条C1条D0条 【解析】法一：设切点为 3 00 ,3xxx，则切线方程为 32 0000 333yxxxxx，因为过21A，所 以 3232 000000 133322670 xxxxxx令 32 267g xxx， 2 6120gxxx 0,2xx ，而 070,210gg ，所以 0g x 有三个零点，即切线 最多有 3 条，选A. 法二：根据题意， 3 3f xxx关于点0,0中心对称， 2 3303fxxf ，在原点的切线方

10、程 为3yx ， 221f故点2,1A位于区域，有三条切线（如图），选A. 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 296 秒杀秘籍：秒杀秘籍：第三讲 四段论法则“房间里装大象” 32 0f xaxbxcxd a且导函数0 32 0f xaxbxcxd a且导函数0 极大值极大值 极小值等值点中心极小值极小值中心极小值等值点 1对称中心： 33 bb f aa ，； 2极大值到对称中心距离为x，极小值到对称中心距离为x，极小值等值点到极大值距离为x，极大值 等值点到极小值距离为x； 3对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）. 【例 4】函数 3 31f xxx在闭区间, 03上的最

11、大值、最小值分别是（） A1，1B3，17C1，17D9，19 【解析】依题意得对称中心为0, 1，由 2 33fxx，得1x ，如图，画出四段论图像，得 max 13f xf， min 317f xf . 【例 5】已知函数 3 f xxaxb的定义域为 1, 2，记 f x的最大值为M，则M的 最小值为（） A4B3C2D3 【解析 】依题意得对称中心为0, b，定义域内画出四段论图像，得 112fff ，解得3a ， 0b ，即 1122fff ，故选C. 【例 6】 已知 3 3f xxxm， 在区间0, 2上任取三个数a，b，c， 均存在以 f a， f b， f c为边长的三角形，

12、则m的取值范围是（） A2m B4m C6m D8m 【解析】由 2 33311fxxxx，得1x ，画出函数四段论图像 函数的定义域为0, 2，所以 min 12f xfm， max 22f xfm， 0fm由题意知 112fff，即422mm 得到6m ，故选C 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 297 【例 7】已知 32 ( )2f xaxaxb在区间 2, 1上的最大值是5，最小值为11，求( )f x解析式 【解析】由 32 ( )2f xaxaxb，得 2 ( )34(34)fxaxaxaxx，令( )0fx，则 1 0 x ， 2 4 3 x （舍去） ， 如图分类画出四段论

13、图像； 当0a时，如图 1 所示， max 05f xfb， min 251611f xfa ，得1a ， 所以 32 ( )25f xxx； 当0a时，如图 2 所示， max 216115f xfa ，得1a ， min 011f xfb ，所以 32 ( )211f xxx ；综上 32 32 25,0 ( ) 211,0 xxa f x xxa . 图 10a 图 20a 【例 8】若函数 32 12 33 f xxx在区间)5,(aa内存在最小值，则实数a的取值范围是（） A)0,5B)0,5(C)0,3D)0,3( 【解析】由题意， 2 2fxxx，另 12 02,0fxxx ，又

14、 30ff画出四段论图像，依题意结合图象可知， 05 03 a a ，得 a3，0），故选C 【例 9】若函数 32 430axxx对任意的2, 1x 恒成立，求a的取值范围（） A2, 2B2, 4C2, 6D2, 8 【解析】两边同时除以 3 x，当0 x 时恒成立；当0, 1x时，即 32 341 0a xxx 恒成立，令 1 1, +tt x ，构造 322 min 340,981911g ttttag tg ttttt ，对称 中心为 44 , 99 f ，画出函数四段论图像得 min 160g tga，即 6a ；同理当, 02x 时， max 10g tg，得2a ，故选C. 学

15、习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 298 【例 10】设函数 3 f xxaxbxc，abcR， ，总存在 0 04x ，使 得不 0 f xm等式成立，则实数m的取值范围是. 【解析】根据四段轮法则（最佳位置选取）得对称中心为20，画出四段论图 像知 20 02 10 f bc ff ， 即 32 692f xxxx， 2 3129fxxx，易得 min 12Maxf xf，所以2m . 达标训练达标训练 一选择题 1函数 32 395f xxx在区间2,2上的最大值是（） A5B2C7D14 2已知 32 ( )26f xxxa（a是常数）在 2 2 ，上有最大值3，那么在 2 2 ，上的

16、最小值是（） A5B11C29D37 3函数 3 ( )34(0 1)f xxxx，的最大值是（） A1B 1 2 C0D1 4若函数 32 3 2 f xxxa在 1,1上有最大值3，则该函数在 1,1上的最小值是（） A 1 2 B0C 1 2 D1 5若函数 3 3f xxx在区间 2 12,aa上有最小值，则实数a的取值范围是（） A)11,1(B)4,1(C2,1(D)2,1( 6若函数 3 3f xxx在)8,( 2 aa上有最小值，则实数a的取值范围是（） A) 1,7(B) 1,7C) 1,2D) 1,2( 7函数 3 3f xxaxa在) 1,0(内有最小值，则a的取值范围是

17、（） A01aB01aC11a D 1 0 2 a 8当 1,2x时，不等式 32 43mxxx恒成立，则实数m的取值范围是（） A 8 6, 9 B6,2C5,3D4,3 9若关于x的不等式 32 392xxxm对任意2, 2x 恒成立，则m的取值范围是（） A, 7B,20C, 0D12, 7 10函数 32 1 3 f xxxa，函数 2 3g xxx，它们的定义域均为1, ，并且函数 f x的图象始 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 299 终在函数 g x的上方，那么a的取值范围是（） A),0(B)0,(C), 3 4 (D 3 4 ,( 11 设函数 32 1 25 2 f x

18、xxx， 若对于任意1, 2x， f xm恒成立， 则实数m的取值范围为 （） A),7(B),8(C),7D),8 12已知函数 32 31f xaxx，若 f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0 x ，则a的取值范围是（） A),2(B)2,(C),1 (D) 1,( 13已知 3 0 4 ab ，函数 3 11f xxaxbx ，设 f x的最大值为M，对任意的abR、恒 有Mk，则实数k的最大值为（） A4B2C 2 1 D 4 1 14曲线 3 yxx的所有切线中，经过点(1, 0)的切线的条数是（） A0B1C2D3 15已知函数 32 1 ( )3() 3 f xxxaxaR有

19、两个极值点 1 x， 212 ()xxx，则（） A 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f xB 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f x C 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f xD 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f x 16已知函数 32 ( )698f xxxx ，则过点(0, 0)可以作几条直线与曲线( )yf x相切（） A3条B1条C0条D2条 17已知函数 32 ( )f xxaxbxc， 3x ，3的图象过原点，且在点(1，f（1）)和点( 1，( 1)f 处 的切线斜率为2，则( )f x （） A是奇函数B是偶函数 C既是奇函数

20、又是偶函数D是非奇非偶函数 18 已知函数 32 ( )f xxaxbxc有两个极值点 1 x，2x， 若 122 ()xxf x， 则 1 ( )f xx的解的个数为 （） A0B1C2D3 19已知函数 32 ( )21f xxmxnx，( )fx是函数( )f x的导数，且 2 (2)() 3 fxfx ，若在1，上 ( ) 1f x 恒成立，则实数n的取值范围为（） A 2 1 ,(B 2 1 ,(C), 2 1 D), 20（2019汕头月考）函数 32 1 ( ) 3 f xxxax在 1，2上单调递增，则a的取值范围是（） A0a B0aC1aD1a 21（2019浙江期中）已知

21、函数 32 1 ( )2 3 f xxaxx在区间(1,)上有极小值无极大值，则实数a的取值 范围（） A 1 2 a B 1 2 a C 1 2 aD 1 2 a 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 300 22 （2019长沙期中）已知函数 2 ( )431f xxx， 3 ( )31g xxx，则( )f x与( )g x的大小关系是（） A( )( )f xg xB( )( )f xg xC( )( )f xg xD随x的变化而变化 23（2019临川月考）正项等差数列 n a中的 11 a， 4027 a是函数 32 1 ( )443 3 f xxxx的极值点，则 2019 2 lo

22、ga（） A2B3C4D5 24若函数 3 2 ( )1 32 xa f xxx在区间(1, 2)上单调递减，则实数a的取值范围为（） A 2 5 ,2B), 2 5 C), 2 5 (D(2,) 25（2019醴陵期中）函数 32 ( )394f xxxx，若函数( )( )g xf xm在 2x ，5上有 3 个零点， 则m的取值范围为（） A( 23,9)B2,23(C9,2D)9,2 26（2019湛江一模） 已知函数 32 ( )f xxxaxa存在极值点 0 x， 且 10 ()()f xf x， 其中 10 xx，1 0 2xx （） A3B2C1D0 27 （2019邯郸一模）

23、过点( 1,0)M 引曲线 3 :2C yxaxa的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A， B两点，若| |MAMB，则a （） A 25 4 B 27 4 C 25 12 D 49 12 28 （2019黔东南州一模）已知函数 322 ( )2(63)1216(0)f xxaxaxa a只有一个零点 0 x，且 0 0 x ， 则a的取值范围为（） A 1 (,) 2 B)0, 2 1 (C 3 (,) 2 D)0, 2 3 ( 29（2019莆田一模）若函数 32 ( )2 3 a f xxxx没有极小值点，则a的取值范围是（） A 2 1 ,0B 1 ,) 2 C 1 0 ,) 2 D

24、1 0(,) 2 30 （2018 秋晋中期末） 已知 32 15 ( )6 32 f xxaxaxb的两个极值点分别为 1 x， 212 ()xxx， 且 21 3 2 xx， 则函数 12 ()()f xf x（） A1B 1 6 C1D与b有关 31（2019陕西一模）已知函数 3 ( )3f xxx，则不等式 3 3 86 3 (1)1 xx xx 的解集为（） A) 1,1()2,(B),1 ) 1,2 C),1 (2,(D) 1,2( 32（2018宜春期末）等比数列 n a的各项均为正数， 5 a， 6 a是函数 32 1 ( )381 3 f xxxx的极值点， 则 21222

25、10 logloglog(aaa（） A 2 3log 5B8C10D15 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 301 33（2018湖北期末）已知函数 32 ( )17(f xaxbxcxa，b，)cR的导函数为( )fx，( ) 0fx的解集 为 | 23xx ，若( )f x的极小值等于98，则a的值是（） A 81 22 B 1 3 C2D5 34（2019朝阳二模）已知 3 1 ( ) 3 f xxx 在区间 2 ( ,10)aa上有最大值，则实数a的取值范围是（） A1a B23aC21aD31a 35（2018海淀期末）函数 32 ( )7f xxkxx在区间 1,1上单调递减，

26、则实数k的取值范围是（） A2,(B2,2C),2D),2 36（2019汉阳模拟）函数 32 ( )31f xaxx存在唯一的零点 0 x，且 0 0 x ，则实数a的范围为（） A(, 2) B(,2)C(2,)D( 2,) 37（2019瀍河月考）设函数 3 ( )2f xaxbx的极大值和极小值分别为M，m，则(Mm（） A0B1C2D4 38（2018南阳期末）函数 32 ( )392f xxxx在4,0上的最大值和最小值分别是（） A2，18B18，25C2，25D2，20 39（2018合肥期末）已知函数 53 ( )353f xxxx ，若f（a）(2)6f a，则实数a的取值

27、范围 是（） A(,3)B(3,)C(1,)D(,1) 二填空题 1 （2019东城一模） 已知函数 3 ( )4f xxx， 若 1 x， 2 xa，b， 12 xx都有 1212 2 ()(2)(2)f xxfxfx 成立，则满足条件的一个区间是 2（2019陕西二模）设函数 32 ( )21f xxaxbx的导函数为( )fx，若函数( )yfx的图象的顶点横坐 标为 1 2 ，且f（1）0则ab的值为 3（2019新疆二模）已知函数 32 ( )f xxax在( 1,1)上没有最小值，则a的取值范围是 4 （2019十堰模拟） 对于三次函数 32 ( )(f xaxbxcxd a，b，

28、c，dR，0)a ， 有如下定义： 设( )fx 是函数( )f x的导函数，( )fx是函数( )fx的导函数，若方程( )0fx有实数解m， 则称点(m，( )f m为 函数( )yf x的“拐点”若点(1, 3)是函数 32 ( )5g xxaxbx，( ,)a bR的“拐点”也是函数( )g x 图象上的点，则当4x 时，函数 4 ( )log ()h xaxb的函数值为 5（2018揭阳期末）已知函数 3 ( )2f xxx，若 2 (1)(2) 0f afa，则实数a的取值范围是 6（2018长治期末）已知函数 3 ( )23f xxx，若过点(1, )Pt存在 3 条直线与曲线(

29、 )yf x相切，则t的取 值范围是 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 302 7（2019自贡模拟） 已知 32 ( )31f xaxx存在唯一的零点 0 x， 且 0 0 x ， 则实数a的取值范围是 8（2019天山月考）设 32 1 ( )25 2 f xxxx，当 1x ，2时，( )f xm恒成立，则实数m的取值范 围为 9已知函数 32 14 3 + 33 f xxxx，直线l：920 xyc若当2, 2x 时，函数 yf x的图象恒 在直线l的下方，则c的取值范围是 三 解答题 1已知函数 32 1 ( )2 3 f xaxx，其中0a 若( )f x在区间 1 1 ，上的最

30、小值为2，求a的值 2知函数 32 ( )6( 1 2)f xaxaxb x ，的最大值为3，最小值为29，求a、b的值 3已知函数 32 1 ( ) 2 f xxxbxc； （1）若( )f x在(,) 上是增函数，求 b 的取值范围； （2）若( )f x在1x时取得极值，且 1, 2x 时， 2 )(cxf恒成立，求c的取值范围. 4（2019海淀期中）已知函数 32 ( )f xaxbxxc，其导函数( )yfx的图象过点 1 ( ,0) 3 和(1,0) （1）函数( )f x的单调递减区间为，极大值点为； （2）求实数a，b的值； （3）若( )f x恰有两个零点，请直接写出c的值

31、 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 303 5（2019莱西月考）设函数 32 ( )32g xxx （1）若函数( )g x在区间(0,)m上递减，求m的取值范围； （2）若函数( )g x在区间(，n上的最大值为 2，求n的取值范围 6（2019海淀一模）已知函数 32 15 ( )| 1 32 f xxxa x （1）当6a 时，求函数( )f x在(0,)上的单调区间； （2）求证：当0a 时，函数( )f x既有极大值又有极小值 7（2019怀柔一模）已知函数 32 ( )231()f xxaxaR （1）当0a 时，求( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）求( )

32、f x的单调区间； （3）求( )f x在区间0，2上的最小值 8（2019天津一模）已知函数 32 ( )21()f xxaxaR （1）6a 时，直线6yxm 与( )f x相切，求m的值； （2）若函数( )f x在(0,)内有且只有一个零点，求此时函数( ) x的单调区间； （3）当0a 时，若函数( )f x在 1,1上的最大值和最小值的和为 1，求实数a的值 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 304 9（2018镇海期末）已知函数 3 11 ( ) 32 f xx （1）求曲线( )yf x在点 5 (1, ) 6 P处的切线与x轴和y轴围成的三角形面积； （2）若过点(2, )a可作三条不同直线与曲线( )yf x相切，求实数a的取值范围 10（2018太原期末）若2x 是函数 32 ( )3f xaxx的极值点 （1）求a的值； （2）若xnm，时，4( ) 0f x 成立，求mn的最大值 11（2018佛山期末）已知函数 322 ( )33()f xxaxal x （1）若( )f x在1x 处取得极小值，求a的值； （2）设 1 x， 2 x是 22 ( )( )635 (0)g xf xaxa xa a的两个极值点，若 12 ()() 0g xg x，求a的最小值