随机Gompertz模型解的存在唯一性和全局.doc

《随机Gompertz模型解的存在唯一性和全局.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机Gompertz模型解的存在唯一性和全局.doc（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中国科技论文在线 http:/随机Gompertz模型解的存在唯一性和全局渐近稳定性王芳芳，张建勋宁波大学理学院数学系，浙江宁波（315211）E-mail:wfangfang-摘要：本文考虑随机Gompertz种群竞争模型。证明在有限的时间内，环境的扰动不会导致种群的爆发。另外，本文运用比较准则，Lyapunov方法证明在一定的条件下，随机微分方程解的存在唯一性及全局渐近稳定性。关键词：随机Gompertz模型；存在唯一性；全局稳定性；公式中图分类号：O175.11 文献标志码：A1.引 言在生态学中，人们常常用确定性的模型来描述种群的生长情况，如经典的Lotka-Volterra模型。但由

2、于种群的生长总是处在一定的环境中，因此本文把环境因素的扰动对种群生长数量的影响考虑在内具有一定的现实意义。考虑由个种群构成的系统满足Lotka-Volterra模型具有任意的环境扰动因素的系统为目前已有大量文献研究Lotka-Volterra随机模型 1，2，但对种群的增长服从Gompertz规律的模型的研究较少，本文在Gompertz模型的基础上考虑两种群的竞争4，p79模型 (1.1)其中表示种群的密度。假设（1.1）中被随机扰动， ，其中，是独立的白噪声，表示噪声密度3，那么具有环境扰动的系统为 (1.2)且满足初值是独立的标准布朗运动。假设：存在，使得本文将证明系统（1.2）在假设（A

3、）下有唯一的全局正解，并且在任何有限时间内解不会趋于无穷爆发。在假设（A）（B）下，通过比较准则得到p-瞬时上限，利用Lyapunov函数方法得到解的全局渐近稳定性。2.正的全局解由于系统中分别表示种群数量,则非负.下面证明系统(1.2)在假设(A)下存在唯一的全局解,并且在有限时间内解不会趋于爆发。令为全概率空间，其中满足网的条件。令，为这个概率空间的独立标准布朗运动，。定理2.1 假设（A）成立，初始值，那么对系统（1.2），当时存在唯一解，并且解在内的概率为1。证明：对于随机微分方程，若满足任何初值有唯一的全局解（在有限时间内不爆发），则系数必须满足线性增长条件3和局部Lipschitz

4、条件3。然而系统（1.2）的系数虽然满足局部Lipschtz条件，但不满足线性增长条件，所以存在唯一的局部解，即解在有限时间内可能会爆发。为了证明解是全局的, 设为爆发时间，那么只要证明。令足够大，使得所有在区间内。对整数定义停止时间，且令。显然，当时，递增。令，且。如果能证明，那么对所有，则 。为此只要证明。下面用反证法来证明。如果这个假设不成立，那么存在常数使得，因此存在整数，使得对所有 （2.1）定义一个函数为 ，由于对，则。由3公式： 令 写，则有上界为。则。从0到积分因为，则两边取期望因此得到对，令，则由（2.1）得到。对每个，有等于，因此不小于或。所以那么其中为的指示函数。当时，矛

5、盾。所以得到，定理2.1得证。3.p-瞬时上限假设（B），对任何初值，存在，使得下面证明系统（1.2）的解的p-瞬时有上界。定理3.1 若（A），（B）成立，令系统（1.2）满足初值的解为，那么证明：从0到积分，并取期望所以 令，则，由于，则由比较准则5，p12得到：类似的对从0到积分，并取期望得所以 令，则由于，则定理3.1得证。4.全局渐近稳定性定义4.11 令为系统（1.2）的正解，如果是全局渐近稳定的，那么对于，任何满足初值的解有引理4.11 假设维随机过程满足条件为正的常数，那么存在一个的连续修正，且对每个有一个任意的变换使得也就是说，对所有过程是局部的，但对指数是一致Holder连

6、续的。引理4.2 若假设（A），（B）成立，令是时系统（1.2）满足初值的解，那么当时解是一致连续的。证明：把代替（1.2）其中，那么 假设，对令则得到由引理4.1得到对所有指数，是局部的，但是一致Holder连续。即对，是一致连续的。类似对有 则。引理4.2得证。引理4.31 令是的非负函数，若在上可积并一致连续，那么定理4.1 若假设（A）（B）成立，则对系统（1.2）当时满足初值的解是全局渐近稳定的证明：由定理2.1，对任何初值系统（1.2）的解是唯一的。下面证明是全局渐近稳定的。假设是系统（1.2）满足初值的另一个解。定义Lyapunov函数。由公式，沿着解的导数 从0到积分并取期望

7、所以 因为，则从0到积分上式那么 因此从引理4.2，4.3得到，对所有，定理4.1得证。5.总结在生态数学中常用确定性模型来描述种群的生长情况，但由于种群的生长总是处于一定的环境中，因此本文在Gompertz竞争模型的基础上加入随机性更具有现实性。由于许多确定性模型的解在在有限的时间内可能会趋于爆发，本文所考虑的加入环境因素的的扰动将抑制种群的爆发，即当时，对系统满足初值的解存在且唯一，以及解在内的概率为1。另外，本文还估计了解的p-瞬时上限，运用Lyapunov方法证明在一定的条件下，系统（1.2）的解是全局渐近稳定的。参考文献1 LI Yanqiu, GAO Hailong . Exist

8、ence, uniqueness and global asymptotic stability of positive solutions of a predator-prey system with Holling II functional response with random perturbationJ.Nonlinear Analysis, 2008,68: 1694-17052 Arifah Bahar, MAO Xuerong . Stochastic delay Lotka-Volterra modelJ.J.Math.Anal.Appl.2004,292: 364-380

9、3 B.ksendal. Stochastic Differential EquationsM.北京：世界图书出版公司，20034 J.D.Murray. Mathematical BiologyM.北京：世界图书出版公司，19985 马知恩.周义仓.常微分方程定性与稳定性方法M.北京；科学出版社，2003Existence, uniqueness and global asymptotic stability of the solution of a stochastic Gompertz modelWANG Fang-fang, ZHANG Jian-xun( faculty of Sci

10、ence, Ningbo University, Ningbo ,315211,China)Abstract: This paper considers a stochastic Gompertz populations competition model .It shows that the population dose not explode to infinity in a finite time. In addition, this paper uses the comparison principle, Lyapunov method to show when the condition is hold, the existence, uniqueness and global asymptotic stability of the solution of the stochastic differential equation.keywords: stochastic Gompertz model; existence and uniqueness ;global stability; FormulaCLC number: O175.11 Document code: A10