初中数学竞赛专题培训 梯形.doc

《初中数学竞赛专题培训 梯形.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛专题培训 梯形.doc（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、智浪教育普惠英才文库初中数学竞赛专题培训梯形与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用例1 如图2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DFEC交BC延长线于F求证：四边形EBFD是等腰梯形分析 因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以EDBF此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF证 因为E，D是ABC的边AB，AC的中点，所以EDBF又已知DFEC，所以ECFD是平行四边形，所以EC=DF 又E是RtABC斜边AB上的中点，所以EC=EB 由，EB=DF下面证明EB与

2、DF不平行若EBDF，由于ECDF，所以有ECEB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF根据定义，EBFD是等腰梯形例2 如图2-44所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度数分析 由于BCD是等腰三角形，若能确定顶点CBD的度数，则底角BCD可求由等腰RtABC可求知斜边BC(即BD)的长又梯形的高，即RtABC斜边上的中线也可求出通过添辅助线可构造直角三角形，求出BCD的度数解 过D作DEEC于E，则DE的长度即为等腰RtABC斜边上的高AF设AB=a，由于ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即

3、又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在RtBED中，从而EBD=30(直角三角形中30角的对边等于斜边一半定理的逆定理)在CBD中，例3 如图2-45所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M求证：AD=BF分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC由ADBC及ADC=135知，C=45，从而NDC=45，DNC=90，所以ABND是矩形，进而推知BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF证 连接DN因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC由已知，ADBC及ADC=135知

4、C=45，从而NDC=45在NDC中，DNC=90(=DNB)，所以ABND是矩形，所以AFND，F=DNM=45BNF是一个含有锐角45的直角三角形，所以BN=BF又AD=BN，所以 AD=BF例4 如图2-46所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中点若AD=2，BC=8，求ABE的面积分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)取腰AB的中点F，(或BC)过A引AGBC于G，交EF于H，则AH，GH分别是AEF与BEF的高，所以

5、AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8这样SABE(=SAEF+SBEF)可求解 取AB中点F，连接EF由梯形中位线性质知EFAD(或BC)，过A作AGBC于G，交EF于H由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF在RtABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，所以 AG=8，从而 AH=GH=4，所以SABE=SAEF+SBEF例5 如图2-47所示四边形ABCF中，ABDF，1=2，AC=DF，FCAD(1)求证：ADCF是等腰梯形；(2)若ADC的周长为16厘米(c

6、m)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长分析 欲证ADCF是等腰梯形归结为证明ADCF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC利用已知相等的要素，应从全等三角形下手计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将ADC的周长过渡到梯形的周长解 (1)因为ABDF，所以1=3结合已知1=2，所以2=3，所以EA=ED又 AC=DF，所以 EC=EF所以EAD及ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知3=4，从而ADCF不难证明ACDDFA(SAS)，所以 AF=DC若AFDC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FCAD矛盾，所以

7、AF不平行于DC综上所述，ADCF是等腰梯形(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF 由于ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)， AF=3(厘米)， FC=AC-3， 将，代入四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)例6 如图2-48所示等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点求证：PQR是等边三角形分析 首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可注意到OAB与OCD均是等

8、边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BPOA，CROD在RtBPC与RtCRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半问题获解证 因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等进而推知，OAB=OBA及OCD=ODC又已知，AC与BD成60角，所以，ODC与OAB均为正三角形连接BP，CR，则BPOA，CROD在RtBPC与RtCRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以又RP是OAD的中位线，所以因为 AD=BC， 由，得PQ=QR=RP，即PQR是正三角形说明 本题证明引人注目之处有二：(

9、1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BPOA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀使PQR的三边相等 练习十三1如图2-49所示梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，BDCD求A的度数2如图2-50所示梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，ABE的周长=13厘米，AD=4厘米求梯形的周长3如图2-51所示梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点求EF4如图2-52所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中点，MNAB于N，且MN=b，AB=a求梯形ABCD的面积5已知：梯形ABCD中，DCAB，A=36，B=54，M，N分别是DC，AB的中点求证：