常微分方程初等积分法中的变量替换.doc

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1、常微分方程初等积分法中的变量替换蒋自国* 收稿日期基金项目四川省教育厅自然科学基金（12ZB168），阿坝师专课题（ASA12-22，ASC12-28）.作者简介蒋自国(1974.5)，男，四川巴中人，阿坝师范高等专科学校副教授，研究方向：微分方程定性及稳定性.（阿坝师范高等专科学校数学与财经系 四川 汶川 623000）摘要：该文系统的阐述了变量替换法在常微分方程初等积分法中的应用. 介绍了在不同类型的常微分方程（例如一阶微分方程和高阶微分方程）中变量替换的技巧. 基本思想是通过变量替换将微分方程化为可分离变量方程、有已知解的微分方程和低阶的微分方程.关键词：显示微分方程；隐式微分方程；高阶

2、微分方程；变量替换1 引言联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的函数方程称为微分方程，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程1. 在自然科学和技术科学的很多领域中，例如物理、化学、生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的常微分方程问题。同样在社会科学的一些领域也存在着常微分方程问题. 此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也非常密切，它们往往互相联系、互相促进. 例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具.常微分方程的求解是一个技巧性非常强的的工作，即使是一阶常微分方程的求解也是十分困难的. 历史上，Newton、Leibniz、Bernoulli兄弟和Euler等数学

3、家对一些特定形式的微分方程给出了精确求解方法. 这些方法是把常微分方程的求解问题化成初等函数的积分问题，因此称为初等积分法2. 这些方法是最经典、最古老的方法，也是最基本、最重要的方法. 这些方法中，大多数都用到了一类重要的数学方法和思想，那就是变量替换. 变量替换在常微分方程的初等积分法中主要起到两方面的作用：第一，将一阶常微分方程化为可分离变量或对称形式的微分方程；第二，将高阶常微分方程化为低阶的常微分方程. 下面，笔者根据常微分方程的教学实践，从以下两个方面来谈一谈变量替换在常微分方程初等积分法中的应用.2 一阶微分方程中的变量替换2.1 一阶显示微分方程中的变量替换一阶显示微分方程是指

4、形如 (1)的微分方程. 在此类常微分方程中，利用变量替换，通常可以将其化为可分离变量微分方程或有已知解的微分方程.(i) 若是零次齐次函数，即对任意不为0的常数都有.在方程(1)中引入新的未知变量，即，因此，通过简单计算可得 (2)方程(2)是一个可分离变量的微分方程.例1 求解解 将方程化为令，即，代入上式，得即易见为这个方程一个解，从而为原方程一个解. 当时，分离变量，得，两端积分，得 或 .将代入，得原方程的通解.(ii) 若是线性分式形式，即(其中都是给定的常数)本身不是齐次方程，但可以通过变量替换化为齐次方程或可分离变量方程.例2 求解解 令，代入原方程，得这是一个零次齐次方程，利

5、用上面的解法可得该方程的通积分为.以代回，整理得原方程通积分.例3 求解解 令，代入原方程，得这是一个可分离变量的微分方程，解得原方程的通解为.(iii) 若，此时的微分方程称为Bernoulli方程3. 该方程通过变量替换，可化为线性方程，而线性方程的求解是已知的.将方程两端同除以，得到.令，有.代入上式，得即.这是一个线性方程，求出z之后，再用y代回，即得Bernoulli方程的解.2.2 一阶隐式微分方程中的变量替换形如 (3)的常微分方程称为一阶隐式微分方程. 求解这类方程的基本思想是将看成独立的变量而考虑代数方程所定义的上的曲面的参数化，再通过变量替换的方法把方程(3)化为一阶显示方

6、程，然后求解. 其具体做法是：第一步 将曲面表示成参数形式 (4)第二步 对式(4)求x，y的微分，用给出dy和dx的关系： (5) (6) (7)第三步 将式(5)、式(6)代入式(7)，得整理得到 (8)这是一个一阶显示微分方程.第四步 如果求得了方程(8)的通解，则将它代入(4)就得到方程(3)的参数形式的解 (9)其中C为任意常数.例4 求解解 令，得 (10)两端对x求导并整理化简后，得.取，得,代入(10)，得到解取，得到，代入(10)，得到原方程通解.例5 求解解 令，则由方程得，从而，于是积分，得到因此，原方程的通解为3 高阶微分方程中的变量替换对于高阶微分方程， (11)一般

7、没有普遍的解法，求解高阶微分方程的基本思路是降阶，即通过变量替换的方法将方程(11)化为阶数较低的方程来求解，从而将问题简化.3.1 不显含未知函数y的方程： (12)令，则方程(12)变为关于p的n-k阶微分方程 (13)如果能够求出方程(13)的通解，则方程，经过k次积分后得到原方程的通解.例6 解方程解 令，则原方程化为，通解为，即，积分四次，得原方程通解3.2 不显含自变量x的方程：， (14)令，则用数学归纳法容易证明：对任意的，可以用来表出. 把它们代入方程(14)就得到形如的关于p的n-1阶微分方程，从而达到降阶的目的.例7 解方程解 令，则从而原方程化为得到，p=0或，积分后得

8、，即，所以原方程通解为.3.3 齐次方程：， (15)其中，当时，齐次方程(15)等价于. (16)令，并以p为新未知函数，则原方程课化为. (17)这是关于p的n-1阶微分方程，从而达到降阶的目的.例8 解方程解 令，则故原方程化为.当时，原方程等价于解得，其中C1为任意常数.因此原方程的通解为其中C2为任意常数.4 结束语通过上面的讨论，我们可以看到，变量替换在常微分方程的初等积分法中起到至关重要的作用. 另外，对于高阶微分方程，还可以利用变量替换的方法化为一阶的微分方程组. 因此，在常微分方程初等积分法的教学中，要充分的重视变量替换法的应用. 参考文献：1 王高雄等, 常微分方程(第二版)M. 高等教育出版社.2 张伟年, 林正东, 徐冰, 常微分方程M. 高等教育出版社.3 魏俊杰, 潘家齐, 蒋达清, 常微分方程M. 高等教育出版社.10