一元一次方程复习巩固.doc

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1、 一元一次方程单元复习与巩固一、目标与策略学习目标：l 了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。l 了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。l 能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想，感受数学的应用价值。重点难点：l 重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。

2、知识网络l 难点：一元一次方程的解法，列方程解应用题。二、学习与应用知识点一：一元一次方程及其解的概念只含有 个未知数，并且未知数的次数都是 的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的。请你注意：（一）一元一次方程必须满足的3个条件：（1） ；（2） ；（3） ；三者缺一不可。（二）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否 。 知识点二：方程变形解方程的重要依据（一）等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质1： 。即： 。等式的性质2： 。即： 。（二）分数的基本的性质:分数的分子、分母同时 的数，分数的值不变。即

3、： （其中m0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ，如方程：=1.6，将其化为： =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。知识点三：解一元一次方程的一般步骤：（一）解一元一次方程的基本思路：通过对方程变形，把含有 的项归到方程的一边，把 归到方程的另一边，最终把方程“转化”成 的形式。（二）解一元一次方程的一般步骤是：变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号) 合并同类项把方程化成axb(a

4、0)的形式 系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x （三）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:（1）a0时，方程有唯一解 ；（2）a=0，b=0时，方程有 ；（3）a=0，b0时，方程 。知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:（一）列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1） ，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系（2） ，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数（3） ，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4） （5） ，看方程的解是否符合题意（6）写出答案（二）解应用题的书写格式：设根据题

5、意解这个方程答。注意：（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母 示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含 的代数式表示。（2）解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。（3）列方程时，要注意方程两边是同一个数量，并且单位要统一。（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能 使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个 ，无法求得应用题的解。知识点五：常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2)等

6、积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程速度时间甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程顺逆流问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1(6)利润率问题商品利润 商品利润率 100售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位

7、数可表示为 抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系(8)储蓄问题利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率)(9)按比例分配问题甲乙丙abc全部数量各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 。日历中的数a的取值范围是_，且都是正整数知识点六：整式、等式与方程的关系:（一）正确理解代数式、等式和方程的概念代数式：像1,0，a，2x5等，这些用 把数或表示数的 连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。等式：用 来表示相等关系的式子叫做等式。如，mnnm等都叫

8、做等式，而像， m2n不含等号，所以它们是 。方程：含有 的等式叫做方程。如5x311，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点： ； 。两者缺一不可。（二）整式、等式与方程的区别和联系区别：（1）定义不同。（2）从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“”将两个 连接起来的等式，而整式仅用 连接起来，不含有等号。（3）等式含有“”，表示左右两边相等，方程是个特殊的 ，但其中必须含有 。所以有：方程是 ，但等式不一定是方程。联系：（1）当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是 。如：要使代数式5x1的值等于0，即求方程 的解。（2）

9、当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个 。如：要使整式x5的值与整式x5的值相等，即求方程 的解。（3）当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成 。如：要使整式x4的值比的值大3，即求方程 的解。类型一：一元一次方程的有关概念例1、 已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然 不合题意。解：总结升华： 举一反三：【变式1】判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2

10、（4）2x2-1=1-2(2x-x2)解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行 后再作判断。答案：【变式2】已知：(a3)(2a5)x(a3)y60是一元一次方程，求a的值。解析：类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。（一）巧凑整数解方程例2、解方程：思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ，常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单。解：举一反三：【变式】解方程：2x5解：（

11、二）巧用观察法解方程例3、解方程：思路点拨：该方程可化为3，不难看出，当 时，该方程左边三项的值都是1，即左边右边，原方程是 元 次方程，只能有 个解，于是可求得方程的解 。解：（三）巧去括号法解方程含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。例4、解方程：思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。解：举一反三：【变式】解方程：解：（四）运用拆项法解方程在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。例5、解方程：思路点拨：注意到_，这样逆用分

12、数加减法法则，可使计算简便。解：（五）巧去分母解方程当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。例6、解方程：1解：总结升华： （六）巧组合解方程例7、解方程：思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通分化简，可简化解题过程。解：（七）巧解含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一

13、次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则_。例8、解方程：|x2|30解法一： 解法二：举一反三：【变式1】5|x|163|x|4解析：【变式2】 解析：小结：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母

14、。（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。类型三：一元一次方程的综合应用题（一）优化方案问题例1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且宾馆给他们打五折优惠，这样一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？类型普通(元/间)豪华(元/间)双人房140300三人房150400解：（二）行程中的追及相遇问题例2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行

15、车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：相遇前相遇后速度时间路程速度时间路程甲3+90乙3相遇前甲行驶的路程+_=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.解：总结升华： 举一反三：【变式】甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？分析：

16、本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是： 。虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程摩托车所行的路程 ，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：其中摩托车先行的路程为_千米；摩托车后来所行的路程为_千米。解：（三）日历中的方程例3、（1）在2006年8月的日历中(如图(1)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是。（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2)的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。在图（2）中框出的这16个数的和是。在图(2

17、)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大_；(2)经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数_与最后一个数_的和为_，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，它们的和都是_；设最小的数为a，由图（2）及（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是_。解：总结升华： 举一反三：【变式】每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告

18、诉同伴，由同伴求出这个数。(1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。解：（四）教育储蓄例4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？解：（五）图表信息题例5、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：0022：00）和谷时段（22：00次日6：00）分别计费，平时段每千瓦时电价为0.61元，谷时段每千瓦时电价为0.30元。小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。项目 月份（月）月用电量（千瓦时）电费（元）19051.8

19、029250.8539849.24410548.445 根据上述信息，解答下列问题：（1）计算5月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；（2）小明家这5个月的平均用电量为_千瓦时；（3）小明家这5个月每月用电量是_趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈_趋势（选择“上升”或“下降”）；（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500千瓦时，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量解析：解一元一次方程的注意事项：（1）分母是小数时，根据_，把分母转化为_；（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的_，此时不含分母的项切勿

20、漏乘，分数线相当于_，去分母后分子各项应加_；（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；（4）移项时，切记要_，不要丢项，有时先_再移项，以免丢项；（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的_或同除以_，不要弄错符号；（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。列方程解应用题的注意事项：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：设未知数。根据_列方程。_。检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。作答。列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。