初中二年级数学下册第二章分解因式21分解因式第一课时课件.doc

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1、6.4分解因式之回顾与思考 景德镇市第十九中学 余海一、 教学背景:八年级下册第二章（北师大版）分解因式事实上是对七年级下册的整式的乘法的再认识，同时是下章分式的学习基础，更在后期学习的解一元二次方程、二次函数中有着广泛的应用。本堂课是对第二章分解因式的回顾与拓展，是节复习课。二、 教学目标：本节课时旨在应对学生知识技能的发展和不同层次学生的需求，进一步理解分解因式的意义及与整式乘法两者之间可以相互转化的辩证思想;巩固学生根据多项式的特征，合理运用提公因式法、公式（直接运用公式不超过两次）、分组分解法、十字相乘法、配方法和拆项添项法分解因式（指法数是正整数）和分解因式的一般步骤，及利用分解因式

2、解决综合实际问题。培养学生利用观察、归纳、类比等能力，进一步发展学生有条理性思考和语言表达能力。三、 教学重、难点：重点：根据多项式特征，灵活运用合理的方法分解因式;难点：利用分解因式综合解题能力。四、 教学方式与理念：教师引导与学生自主学习相结合；通过小组模式，使学生互相合作探索，培养学生的团体合作意识；多媒体教学与传统教学相结合；根据不同层次学生的需求，设置不同层次的题型，做到“因材施教，因人而异”，让同学们在数学学习活动中体念到成功和快乐，增强学生的求知欲和学好数学的自信心。五、 教学过程设计：1、 引入：师：“在日常生活中，如取款、个人私密账号等我们喜欢设置个人密码。那么本节课我也设置

3、一种运用分解因式产生的密码，原理如下： 例（1）：多项式m4-n4可分解因式为(m-n)(m+n)(m2+n2) 若m=8，n=8时，三个因式的值分别为0,16,128；016128 即可产生一个六位数的密码请聪明的你“如法炮制”解密： 已知：多项式,9m3-mn2 ；若m=10,n=10。（写出一种可能性即可）”【解析】多项式9m3-mn2分解因式为m(3m-n)(3m+n)，当m=10,n=10时三个因式的值分别为10,20,40.则六位数的密码可为102040（或104020、201040、204010、401020、402010）。中学生时代的学生对新奇事物充满了“好奇”，课前设置一个

4、开启课堂学习的解密游戏，激起学生的学习兴趣。同时也感受到了数学的神秘和灵活性。对于第一个给出密码的同学予以表扬，对于提出多种答案的同学予以鼓励。 2、 对号入座：例（2）：下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是_ (x-2)(x+1)=x2-x-2 ; ma-mb+m=m(a-b)+m ; x2+x+1=（x+1）2 ; x3y2+x2y3=x2y2(x+y) ; x3-x=x(x2-1) ; -1=(+1)( -1) .【解析】选。因为式的左边是几个整式乘积形式，右边是多项式求和形式，属于整式的乘法：式整体上没有化成几个多项式乘积的形式：式的左右不相等（可利用整式乘法从右至左验证其正确性

5、）：式的变形属于分解因式，并分解正确：式分解不彻底，属于一种错误的分解因式的范畴内因式x2-1应继续分解为(x+1)(x-1): 式不属于整式范畴内。师：“我们再来回顾下分解因式的定义”分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做分解因式。【注意】 分解的结果要以乘积的形式表示; 每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原多项式的次数; 必须分解到每个因式不能分解为止.(一般在不做要求下，实数范围内)3、 抢答能手:例(3): 请将下列各式分解因式: 7x2-21x ; 2a2b-4ab2+2ab ; 25-16x2 ; x2+14x+49 .【解析】 7x2-21x=7xx- 7x

6、3=7x(x-3); 2a2b-4ab2+2ab=2aba-2ab2b+2ab1=2ab(a-2b+1); 25-16x2=(5)2-(4x)2=(5+4x)(5-4x) ; x2+14x+49=(x)2+2x7+(7)2=(x+7)2 ;、式提公因式时要注意，各项是整系数时公因式系数取最大公约数，并取相同字母的最低次数，分解步骤可在各项中先分解出公因式，特别要注意若一项刚好就是公因式，写成乘以1的形式，防范漏项。“公因式全提走，留下一把家守”对于二项式，在没有公因式提取下可优先考虑运用平方差公式分解,写成两数的平方差的形式，即运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b);对于三项式，还是优

7、先考虑提公因式，在没有公因式可提下，可考虑能否写成两数的平方和加上或减去两倍的它们的乘积的形式，即运用完全平方公式a22ab+b2=(ab)2本题题型较为简单，设置抢答模式。要求学生口述其解题过程，进一步训练和提高学生的表达能力。4、 火眼金睛:例(4): 请将下列各式分解因式： 5x2-y2 ; (m+n)2-6(m+n)+9 ; -3ax2+6axy-3ay2 ; (m2+4)2-16m2 ;【解析】 5x2-y2=(5x+y)(5x-y) 或=5(x+y)(x-y) ; (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2 ; -3ax2+6axy-3ay2=-3a(x2-2xy+y2)=-

8、3a(x-y)2 ; (m2+4)2-16m2=(m2+4+4m)(m2+4-4m)=(m+2)2(m-2)2 ;式是在训练当系数是分数（或小数），而又不能写成一个有理数平方的形式，可先根据系数特点，提为整系数后，再继续来分解；式中渗透换元思想，达到“化繁为简、化难为易”； 式我们在分解因式时，通常保证括号里第一项为正号，在解析时，也可让学生利用加法交换律，可将系数为负的一项放后，系数为正的放第一项；式第一步套平方差公式分解因式后，许多学生就会以为分解一步就完成任务了，而当因式中还有高次项或项数较多时，要注意是否需要继续分解因式（中考一般要求：直接运用公式不超过两次），要分解到每一个因式都分解

9、完全。（一般地，实数范围内）5、 小组比一比：例(5): 请将下列各式分解因式： a2-ab+ac-bc ; 9x2-y2-4y-4 ; (x+1)(x+2)+ x2+y2+2xy-4x-4y+4 (变式训练：将末项“4”换为“3”) .【解析】 a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b) ;（多方法解题：本题给出的是第一、二项组合，三、四项组合；也可第一、三项组合，二、四项组合。） 9x2-y2-4y-4=9x2-(y2+4y+4)=(3x)2-(y-2)2=(3x+y-2)(3x-y+2) ; (x+1)(x+2)+ =(x+1

10、)(x+1)+1+ =(x+1)2+(x+1)+ =(x+)2 ; x2+y2+2xy-4x-4y+4=(x2+2xy+y2)-(4x+4y)+4=(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2 .将末项换为3后 多项式为x2+y2+2xy-4x-4y+3=(x+y)2-4(x+y)+3=（x+y-1）(x+y-3)本题设置了一定的难度，主要是考察学生面对一些项数较多的多项式分解因式时，各项没有公因式，而又不能直接套用公式时，可先进行适当的分组（一般地，四项式时可采用二二分，一三分；五项式可二三分），再运用合理的方法分解因式，最后转化成整式积的形式，达到分解因式的目的。同时为培养学生的团体合

11、作意识，让更多的同学都能参与其中，让每个小组选取一个例题进行专项突破，再请小组代表给大家说出解题的每一步思路，以及为什么这样选择。通过组内互相帮助和组外竞技比赛，增强学生的求知欲和集体荣誉感。表扬他们由实践动手操作而得的分组方案，对于分组不合适的也提示他们换个“更好”的分组方案。对于第题的变式训练一个小变化，“4”项换为“3”项后，主要是考察利用十字相乘法分解因式，同时让学生感受到数学的灵活多变性。（十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6、学以致用：例(6): 利用分解因式计算： (-2)2004-22003 ; 3937-1334; 19992+1999-20002 ; (1-)(

12、1-)(1-)(1-)(1-)【解析】考察学生利用分解因式进行简便运算。 (-2)2004-22003=22004-22003=220032-220031=22003（2-1）=22003 ； 3937-1334=3937-3927=39(37-27)=3910=390 ； 19992+1999-20002=1999(1999+1)-20002=19992000-20002=2000(-1)=-2000 ； (1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=(1-)(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )= =7、大家来找茬：例(7)：已知x,y,z为

13、ABC的三条边，且满足x4+y2z2=y4+x2z2.试判断ABC的形状。 小马虎同学解题如下： x4+y2z2=y4+x2z2 - - - - - - - ( 已 知 ) x4 -y4= x2z2 -y2z2 - - - - - - - ( 移 项 ) (x2+y2)(x2-y2)=z2(x2-y2) - - - - - - -（ 分解因式 ） 即 x2+y2 = z2 - - - - - - （ 等式性质 ） ABC为直角三角形 - - - - - - ( 勾股逆定理 ) 请问：你赞成他的观点吗？若不赞成，请提出你的看法。【解析】小马虎的结论是不完整的。第步忽略了等式两边乘以(或除以)同一

14、个数(或式)是否为0。正确解答如下：方法一：等式两侧变形 x4+y2z2=y4+x2z2 x4 -y4= x2z2 -y2z2 (x2+y2)(x2-y2)=z2(x2-y2)若x2-y20时 x2+y2 = z2 此时，ABC为直角三角形；若x2-y2=0时 (x+y)(x-y)=0 而x0.y0 x+y0,x-y=0 x=y 此时，ABC为等腰三角形；综上所述，此ABC为直角三角形或等腰三角形。方法二：移至同侧 x4+y2z2=y4+x2z2 x4 +y2z2 -y4-x2z2=0 （x4 -y4）-（x2z2+y2z2）=0(x2+y2)(x2-y2)-z2(x2-y2)=0(x+y)(

15、x-y)(x2+y2-z2)=0 而x0.y0 x+y0 x-y=0或x2+y2-z2=0 即x=y 或x2+y2 = z2综上所述，此ABC为直角三角形或等腰三角形。本题旨在利用分解因式解决几何背景下的一道综合实际问题，渗透利用分解因式解一元二次方程的方法，但此时暂不要求学生会解一元二次方程，意在利用分解因式结合简单的几何背景，考虑方程的根的个数。8、看我七十二变： 例(8):已知x,y,z为ABC的三条边，试判断x2-2xy+y2-z2的值是大于0？等于0？还是小于0？【解析】x2-2xy+y2-z2= (x2-2xy+y2)-z2 =(x-y)2-z2 =(x-y+z)(x-y-z) x

16、,y,z为ABC的三条边 xy-z, xy+z 即x-y+z0 ,x-y-z0 (x-y+z)(x-y-z)0 原式值小于0 。9、勇攀高峰：例(9):已知x=999,求2x2-2x+2-+4x-4的值。【解析】 x2-2x+2=(x2-2x+1)+1=(x+1)2+10 =x2+1= x2+1 原式=2x2-4x+4-x2-1+4x-4=x2-1=(x+1)(x-1) 将x=999 代入得值 998000=9.98105 （科学计数法表示）六 、课堂小结1、分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做分解因式。【注意】 分解的结果要以乘积的形式表示; 每个因式必须是整式，且每个因式的次

17、数必须低于原多项式的次数; 必须分解到每个因式不能分解为止.(一般在不做要求下，实数范围内)2、分解因式的一般步骤：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分的要合适，几种方法反复试，结果必是连乘式。（这些方法行不通，再考虑用配方法和拆项添项法）3、互相合作好处多，自主探究能力强。4、数学能给我们的学习生活“添油加醋”，让我们的学习生活更精彩。七、 布置作业：书本课后习题，及完成练习册第二章总复习。八、 教学反思：本节是一节复习第二章分解因式的课，能够帮助同学们回顾与整理所学的知识内容，可加强他们的基础知识和简单的应用，而同时一些开放性试题的探究，也很好的锻炼了学生的思维辩证能力，不同难易层次的题型也适应了不同层次学生的需求和发展需要，整节课堂较为轻松。但缺少一些图形题，虽有两道几何背景下的习题，但不如图形来的直观，没很好的体现出数学的数形结合；再者，利用配方法分解因式时没给出具体的习题复习，而是直接用在了最后一道“勇攀高峰”中，而配方法对了解一元二次方程来说，是非常重要方法之一。所以，在今后的教学过程中，理应将配方法、拆项添项法和十字相乘法做突出复习。还有求根法、图象法等一些特殊的方法安排在后期进行教学。作者：余海 工作单位：景德镇市第十九中学地址：江西省景德镇市朝阳路999号第十九中学邮编：333000 联系电话：13979866686电子邮箱：yuhai1202