大题专练训练30：圆锥曲线（探索性问题2）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练30圆锥曲线（探索性问题2）1已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于、两点，（）求椭圆的方程；（）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于、两点，是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由解：（）由题意可得，即，又，解得，即有椭圆的方程为；（）设，可得，即有，由题意可得，设，由，共线可得，即为，可得，由，共线可得，即为，可得假设存在点，使得以为直径的圆经过点可得，即有，即即有，化为，解得或8，由，不重合，以及，可得不存在2已知椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上的三个点，判断四边形能否为矩形？并说明理由

2、解：（1）椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，由题意，得，椭圆的方程为（2）设直线，的中点，直线代入抛物线方程可得，由条件，得，即，整理得，将（1）式代入得，又，且同时也是的中点，在椭圆上，即，代入整理可得，由解得，验证知，四边形可以为矩形3在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）若，求；（）曲线在点，处的切线相交于点，分别交轴于点，两点是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（）若，则，设，所以，联立，得，所以，所以，因为，所以，解得（）由，得，所以，所以直线的方程为，即，又，代入上式，得，同理可得直线的方程为，设，则，且，所以，在直线上，即，又因为直线方程为，即，所以，

3、即点在直线上，由切线，方程得，所以，所以，所以4已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上任取两点，以，为邻边作平行四边形若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由解：（1）由题意：的最大面积，又，联立方程可解得，所以椭圆的方程为：（2）设，由平行四边形法则，所以，所以又因为，即，即又因为点，在椭圆上，则，可得，可得即，又，所以，即又可得，可得所以5已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得

4、？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点（1）解：椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，又椭圆经过点，解得，椭圆的方程为：（2）解：设直线的方程为：，代入，得：，恒成立设，线段的中点为，则，由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，令得：点的横坐标，线段上存在点，使得，其中（3）证明：设直线的方程为：，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由，得：，设，则，则直线的方程为，令得：直线过定点6已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，且两曲线有公共点，（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为，若

5、过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由解：（1）由题意可得，解得，可得抛物线的焦点为，即椭圆的右焦点为，则，解得，可得椭圆的方程为；（2）由题意知与轴不垂直，设的方程为，由得，可得，设，两两不等，则，由，三点共线，有由，三点共线，有与两式相除得解得（舍去）或，所以点在定直线上7已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为（2）设

6、直线的方程为，联立，整理得，则，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点8在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为过定点作直线与抛物线相交于，两点求抛物线的方程；若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解：抛物线的焦点，圆心在线段的垂直平分线上因为抛物线的准线方程为，所以，即因此抛物线的方程为依题意得：点的坐标为，可设，设直线的方程为，直线方程与联立，消去得，所以由韦达定理得，由图可得：，当，；（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线