专题11.6 离散型随机变量的均值与方差（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）.docx

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1、专题11.6 离散型随机变量的均值与方差【考纲要求】1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.【知识清单】知识点1. 离散型随机变量的均值与方差1均值若离散型随机变量X的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；2.方差若离散型随机变量X的分布列为则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差若，其中为常数，则也是随机变量，且若服从两点

2、分布，则3. 六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3) (4)如果相互独立，则(5) (6) 【考点梳理】考点一 ： 离散型随机变量的均值【典例1】（2020浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_；_【典例2】（2020冷水江市第一中学高三期中）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成，共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.乙班同学学习数学

3、平均时间的频数分布表学习数学时间区间频数251016143（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.【规律方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布

4、等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解2. 求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值(2)求概率：求X取每个值的概率(3)写分布列：写出X的分布列(4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在3.若给出的随机变量Y与X的关系为YaXb(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E(Y)【变式探究】1.（2020鸡泽县第一中学高二开学考试）某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为（ ）789100.10.3A0.8B0.6C0.4D0.22.（201

5、5山东高考真题（理）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)考点二 ：离散型随机变量的方差【典例3】（2020全国高考真题（文）设一组样本数据x1，x2，xn的方差为0.01，则数据10x

6、1，10x2，10xn的方差为（ ）A0.01B0.1C1D10【典例4】（2018年理北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示

7、第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小关系【总结提升】均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算【变式探究】1（2018浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（ ）A减小B增大C先减小后增大D先增大后减小2（2019山东高二期末）已知X的分布列如图所示，则X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正确的个数为_.考点三 ：离散型随机变量的均值、方差的综合问题【典例5】（2020全国高考真题（理）在一组样本数据

8、中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）ABCD【典例6】（2018年浙江省高考模拟）已知随机变量的分布列如表所示：若，则（ ）A B C D 【典例7】（2017北京，理17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列

9、和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）【变式探究】1.（2019浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大2.（2019浙江高三月考）已知随机变量的分布列如下表，若，则a=_，_.012Pab3.（2019浙江杭十四中高三月考）已知随机变量的分布列如下表，且，则=_,_.考点四 ：实际问题中的科学决策【典例8】（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的

10、使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否

11、认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由【典例9】（福建高考真题（理）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额为60元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且

12、每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【总结提升】1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值2.均值与方差在决策中的应用注意点（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定（2）两种应用策略当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断若两随机变量均值相同或相差不大，则可通

13、过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.3.几种常用的解题方法(1)转化法将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径(2)正难则反的解题策略当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多【变式探究】1（2020山西应县一中高二期中（理）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送

14、餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105 乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由2（2020山西大同一中高三期中（理）某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：需求量151617181920频数10203020128将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).试写出关于的表达式；求的概率分布列，并计算.（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？ 第10页，总10页