大题专练训练31：导数（恒成立问题1）-2021届高三数学二轮复习.doc

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1、二轮大题专练31导数（恒成立问题1）1已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x0，+），f（x）sinx恒成立，求a的取值范围解：（1）函数，故，当a0时，f（x）0，故f（x）在R上单调递增，当a0时，令，当时，f（x）0，所以f（x）单调递增，当时，f（x）0，所以f（x）单调递减，当时，f（x）0，故f（x）单调递增；（2）对任意x0，+），f（x）sinx恒成立，即在0，+）上恒成立，令，又F（x）F（0），所以F（x）在0，+）上单调递增，由F（x），所以F（0）0，即1a0，所以a1（必要性），下证充分性，当a1时，令，则，令，则h（x）xsinx0，故h（x）在0，+

2、）上单调递增，h（x）h（0）0，所以g（x）0，故g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）0，所以F（x）0在0，+）上恒成立，符合题意综上所述，实数a的取值范围为（，12已知函数，（其中为参数）（1）若，且直线与的图象相切，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求正实数的取值范围解：（1）若，则，则，直线恒过定点，则直线的斜率为，设切点，由导数几何意义可得，即，令，观察得（1），又，所以在上递增，所以方程的根仅有，所以；（2）令，则，令，则在，上递增，且，（a），所以存在唯一，使得，所以当时，故函数单调递减，当，时，故函数单调递增，所以由对恒成立，可得，即，令，则，所以在上递减，由

3、（1），所以的解为，所以，令，则在上递增，所以，所以3已知函数（1）证明：当时，无零点；（2）若恒成立，求实数的取值范围解：（1）证明：函数的定义域为，当时，令，则，在，上单调递增，又，存在，使得，即，当时，单调递减，当，时，单调递增，当时，函数无零点（2）恒成立，即恒成立，恒成立，令，则，令，则，函数在上单调递增，又，存在，使得，当时，单调递减，当，时，单调递增，令，则，函数在上单调递增，实数的取值范围为，4函数（1）求的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）由题意得，令，解得：，故，的递增区间是，令，解得：，的递减区间是，综上：的递增区间是，递减区间是，；（2）由恒

4、成立，得，构造函数，则，设，则，当，时，所以，所以即在，上单调递增，则，若，则，所以在，上单调递增，所以恒成立，符合题意，若，则，必存在正实数，满足：当时，单调递减，此时，不符合题意，综上所述，的取值范围是，5已知函数（）若，试求在点处的切线方程；（）当时，试求函数的单调增区间；（）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围解：（）当时，则，在点处的切线斜率（2），在点处的切线方程为（）由，得，由，知，当时，的单调增区间为，当，即时，的单调递增区间为，（）由恒成立，可得恒成立，恒成立，令，则，令，则或，当或时，此时单调递增；当时，此时单调递减，又，实数的取值范围为，6已知函数（1）求曲线在点，处的

5、切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围解：（1），所以又，所以曲线在点，处的切线方程为（2）解法，令，则，令，则，所以是增函数，又，（1），由零点存在定理及是增函数，知存在唯一的，使得，当时，单调递减，当，时，单调递增，所以法1（同构法）：由，得，即，令，则，是增函数，又，所以，两边取自然对数，得，即，所以，由，得，于是，即所以实数的取值范围是，法2（换元法）：由，得，令则两式左右分别相加，得，又是增函数，所以，所以由，得，由，得，于是，即所以实数的取值范围是，解法，先证明：，当且仅当时取等号，令，则所以；，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，所以所以，当且仅当时取

6、等号，因此，当且仅当时取等号，令，则，（1），又为增函数，由零点存在定理，知存在唯一的，使得，所以的最小值为，由题意，又，所以，即，所以实数的取值范围是，7已知函数（1）当时，求在上的单调区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围解：（1）时，则，当时，单调递增；当时，单调递减故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由，得对恒成立，设函数，则，设函数，则，所以在上单调递增因为，又（1），所以有唯一零点，且，故，两边同时取对数得，易证明函数是增函数，所以得，所以，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，则，故的取值范围是，8已知函数，其中（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值解：（1）由，得，所以，所以曲线在点，处的切线方程为（2）由，得因为，且在上单调递增，所以由得，所以函数在上单调递增，由得，所以函数在上单调递减综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（3）由，得在上恒成立设，则由，得，随着变化，与的变化情况如下表所示：，0极小值所以在，上单调递减，在，上单调递增所以函数的最小值为由题意，得，即设，则因为当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，所以当，即，时，有最大值为