高一升高二培优教材.doc
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1、高一升高二数学培优教材第一讲 函数的性质基本性质:1.函数图像的对称性奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意,都有成立;偶函数的图像关于轴对称,对于任意,都有成立。原函数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时,那么此函数的图像就关于直线对称。若函数满足,则的图像就关于直线对称;若函数满足,则的图像就关于点对称。互对称知识:函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性) 特别提示:函数的图像和单调区间。3
2、函数的周期性 对于函数,若存在一个非零常数,使得当为定义域中的每一个值时,都有成立,则称是周期函数,称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。若是的周期,那么也是它的周期。若是周期为的函数,则是周期为的周期函数。若函数的图像关于直线对称,则是周期为的函数。若函数满足,则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数,我们记不超过的最大整数为,通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记,则函数称为小数部分函数,它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质:对任意 (2) 对任意,函数的值域为(3) 高斯函数是一个不减函数,即对于任意(4) 若,后一个式子表明是周期为1的函数
3、。(5) 若 (6) 若二、综合应用例1:设是R上的奇函数,求的值。例2:解方程: 例3:已知定义在R上的函数满足,当,;求证:为奇函数; (2)求在上的最值;例4:给定实数,定义为不大于x的最大整数,则下列结论中不正确的序号是 ( )强化训练:已知,求满足的的值。高一升高二数学培优教材第二讲 二次函数基础知识:1.二次函数的解析式(1)一般式:(2)顶点式:,顶点为(3)两根式:(4)三点式:2二次函数的图像和性质(1)的图像是一条抛物线,顶点坐标是,对称轴方程为,开口与有关。(2)单调性:当时,在上为减函数,在上为增函数;时相反。(3)奇偶性:当时,为偶函数;若对恒成立,则为的对称轴。(4
4、)最值:当时,的最值为,当时,的最值可从中选取;当时,的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。3三个二次之间的关联及根的分布理论:二次方程的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端点函数值的符号;对称轴与区间端点的关系。综合应用:例1:已知二次函数的图像经过三点,求的解析式。例2:已知,若时,恒成立,求的取值范围。例3:已知函数,方程的两根是,又若试比较的大小。强化训练:二次函数满足,且又两个实根,则等于( )A . 0 B 3 C. 6 D. 122已知,并且是方程的两根,则实数的大小关系可能是( ) 3已知函数上有最大值3,最小值2,则的取值范围是( )4设函数,若则的
5、值的符号是_5已知的值域是R,则实数的取值范围是_6若函数在区间上的最大值为,最小值为,求区间。7是否存在二次函数,同时满足: (1); (2)对于一切都有?若存在,写出满足条件的函数的解析式;若不存在,说明理由。高一升高二数学培优教材第三讲 三角恒等变换基础知识:三角的恒等变化:要注意公式间的内在联系和特点,审题时要善于观察差异,寻找联系,实现转化;要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类,采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数,并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 常见的变形公式: 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积
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