专题11.3 二项式定理（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）.docx

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1、专题11.3 二项式定理【考纲要求】1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.【知识清单】知识点1. 二项式定理1. 二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，一直到，.知识点2. 二

2、项式系数的性质1. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的当是偶数时，中间的一项取得最大值当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，2.注意:（1）分清是第项，而不是第项.(2)在通项公式中，含有、这六个参数，只有、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.(3)

3、求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数知识点3. 二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：；（5）证明不等式.【考点梳理】考点一 ： 二项式定理【典例1】（2020北京高考真题）在的展开式中，的系数为（

4、）AB5CD10【典例2】（2020全国高考真题（理）的展开式中x3y3的系数为（ ）A5B10C15D20【典例3】（2020天津高考真题）在的展开式中，的系数是_【典例4】（2020江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是_.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第k1项，再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k1项，由特定项得出k值，最后求出其参数2求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(ab)2(c

5、d)m(a22abb2)(cd)m，然后展开分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2；(3)分别得到(ab)n，(cd)m的通项公式，综合考虑3求形如(abc)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018全国高考真题（理）的展开式中的系数为（ ）A.10B.20C.40D.802.（2017全国高考真题（理）(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.803.（2019天津高考真题（理）是展开式中的常数项为_.4.（2017山东高考真题（理）已知 的展开式中

6、含有 项的系数是54，则n=_.【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；是展开式中的第项，而不是第项；公式中，的指数和为且，不能随便颠倒位置；对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法考点二 ： 二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2020浙江高三月考）二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为_；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有_种（用数字作答）【典例6】（2019全国高三月考）的展开式的各个二

7、项式系数的和为_，含的项的系数是_.【典例7】（2020浙江省高考真题）设，则a5=_；a1+a2 + a3=_【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为a0a2a4.偶数项系数之和为a1a3a5.2二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中

8、间两项的二项式系数相等并最大3展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值【变式探究】1.（2019内蒙古高二期中（理）已知，则自然数等于（ ）A6B5C4D32. (2019石家庄模拟)在(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为 .3.（2020湖南师大附中高三月考）若，则_.【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以

9、下几点：求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；来源:学_科_网证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三 ： 二项式定理的应用【典例8】（2012湖北高考真题（理）设，且，若能被13整

10、除，则（ ）A0B1C11D12【典例9】（2019湖北高二期末（理）的计算结果精确到个位的近似值为（ ）A.106B.107C.108D.109【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：B由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：C由“第行所有数之和为”猜想：D由“，”猜想【典例11】（2019浙江杭十四中高三月考）的展开式中，项的系数为14，则_，展开式各项系数之和为_【总结提

11、升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解2利用二项式定理解决整除问题的思路：观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论3. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1（多选题）（2020江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（ ）ABC中最大的是D当时，除以2000的余数是12.（2019浙江高考模拟）已知，则_，_3.若n是正整数，则7n7n1C7n2C7C除以9的余数是 .4.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是_.第9页，总9页